張 方， 周凌波， 姜金輝， 王 軻

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

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基于頻域法的隨機(jī)振動(dòng)疲勞加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)

張 方， 周凌波， 姜金輝， 王 軻

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

基于結(jié)構(gòu)疲勞壽命頻域分析法中的Bendat法和Dirlik法，通過理論推導(dǎo)分析證明并建立了隨機(jī)振動(dòng)疲勞試驗(yàn)中激勵(lì)譜量級(jí)、響應(yīng)應(yīng)力水平和疲勞壽命之間的線性關(guān)系式?；谟邢拊抡娴姆治鼋Y(jié)果，提出了一種利用此等效關(guān)系進(jìn)行加速試驗(yàn)激勵(lì)譜量級(jí)確定的方法。算例表明，該加速方法可縮短試驗(yàn)時(shí)間，為改進(jìn)設(shè)計(jì)和提高質(zhì)量等工作提供參考依據(jù)。

振動(dòng)疲勞； 隨機(jī)振動(dòng)； 加速試驗(yàn)； 頻域法； 壽命估算

引 言

航空飛行器在起飛、機(jī)動(dòng)和著陸等過程中都會(huì)產(chǎn)生或經(jīng)受復(fù)雜的振動(dòng)激勵(lì)，特別是隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)，引起相關(guān)的振動(dòng)環(huán)境問題，如設(shè)備適應(yīng)性與人員舒適性、可靠性、結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞與耐久性等[1]。因此，對(duì)加筋板等典型航空結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)疲勞壽命分析，在航空飛行器的設(shè)計(jì)、制造、使用和維護(hù)等階段都具有重要意義[2-3]。

結(jié)構(gòu)的疲勞壽命分析方法主要有兩種[4]：a.基于統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)的時(shí)域分析法；b.基于功率譜密度(power spectral density，簡稱PSD)函數(shù)的頻域分析法。頻域分析法通過有限元分析或?qū)嶋H測量得到結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力響應(yīng)的PSD函數(shù)，利用統(tǒng)計(jì)原理獲得相應(yīng)PSD函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，再結(jié)合應(yīng)力的概率密度函數(shù)，選取適用的累積損傷準(zhǔn)則及破壞判據(jù)進(jìn)行疲勞壽命估計(jì)。相對(duì)于時(shí)域分析法[5]，頻域分析法具有方法簡便、計(jì)算量小和無需繁瑣循環(huán)計(jì)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，特別是在疲勞循環(huán)載荷含動(dòng)力學(xué)載荷特征時(shí)只能采用頻域法進(jìn)行處理，因而在汽車、機(jī)械和航空航天等領(lǐng)域得到廣泛的重視[6-8]。

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞試驗(yàn)是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)疲勞壽命分析必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，但是在實(shí)際載荷激勵(lì)下的試驗(yàn)時(shí)間通常較長，所以一般采用加速試驗(yàn)的方法來縮短試驗(yàn)時(shí)間,提高試驗(yàn)效率,降低試驗(yàn)成本，以較快得出結(jié)構(gòu)的疲勞特性，為改進(jìn)設(shè)計(jì)和提高質(zhì)量等環(huán)節(jié)提供依據(jù)[9]。加速振動(dòng)試驗(yàn)通常采用兩種設(shè)計(jì)方法[10]：a.保持振動(dòng)特性不變，通過改變隨機(jī)振動(dòng)的頻率特性實(shí)現(xiàn)加速；b.保持頻率特性的相似性，在一定范圍內(nèi)人為提高振動(dòng)量級(jí)實(shí)現(xiàn)加速。

筆者采用第2種加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，在維持試驗(yàn)激勵(lì)譜譜型不變的前提下，通過提高激勵(lì)譜的量級(jí)來實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)加速，其關(guān)鍵是建立不同激勵(lì)譜量級(jí)、響應(yīng)應(yīng)力水平與疲勞壽命相互之間的關(guān)系，即疲勞損傷等效關(guān)系。因此，筆者基于疲勞壽命的頻域分析法對(duì)隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)下的疲勞壽命問題進(jìn)行研究，根據(jù)推導(dǎo)出的等效關(guān)系提出了一種確定加速試驗(yàn)所需激勵(lì)譜量級(jí)的設(shè)計(jì)方法。

1 疲勞壽命頻域分析法

1.1 PSD函數(shù)

工程上一般通過以下關(guān)系式來確定結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)點(diǎn)(b點(diǎn))處響應(yīng)的應(yīng)力PSD函數(shù)

(1)

其中：Wa(f)為作用在a點(diǎn)的激勵(lì)PSD函數(shù)；Hba(f)為結(jié)構(gòu)在a點(diǎn)處激勵(lì)b點(diǎn)處響應(yīng)的頻響函數(shù)。

PSD函數(shù)的n階慣性矩定義為

(2)

由0階慣性矩得到應(yīng)力響應(yīng)和輸入激勵(lì)的均方根(root mean square，簡稱RMS)值分別為

(3a)

(3b)

(4)

(5)

其中：K為與結(jié)構(gòu)固有特性有關(guān)的一個(gè)常數(shù)。

1.2 譜參數(shù)

頻域中通常使用各階慣性矩來近似估算隨機(jī)過程的零值正穿頻率E[0]以及峰值頻率E[P]

(6a)

(6b)

頻域中描述隨機(jī)過程譜參數(shù)通常使用譜型不規(guī)則因子γ和譜寬系數(shù)ε

(7a)

(7b)

根據(jù)式(2)和式(4)，得到以下關(guān)系式

(8)

1.3 累積損傷理論

根據(jù)Miner線性累積損傷理論，結(jié)構(gòu)的疲勞累積損傷D可以表示為

(9)

(10)

其中：Di為第i次循環(huán)的累積損傷；n(Si)為應(yīng)力幅值在Si時(shí)T時(shí)間內(nèi)的實(shí)際應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；N(Si)為應(yīng)力幅值在Si時(shí)的疲勞破壞循環(huán)數(shù)；p(Si)為應(yīng)力幅值在Si時(shí)的概率密度函數(shù)。

若已獲得材料的S-N曲線SmN(S)=C，帶入式(9)和式(10)得到

(11)

當(dāng)ΔSi→0時(shí)，式(11)寫成積分形式為

(12)

一般情況下，當(dāng)D=1時(shí)，即認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞破壞[11]，由此推出結(jié)構(gòu)的疲勞壽命為

(13)

由式(13)可見，采用頻域法進(jìn)行疲勞壽命估算的關(guān)鍵是將應(yīng)力響應(yīng)譜的PSD函數(shù)轉(zhuǎn)化為應(yīng)力幅值的概率密度函數(shù)p(S)。目前，獲得近似p(S)已有一些經(jīng)典的處理方法，例如，針對(duì)窄帶隨機(jī)過程的Bendat法和針對(duì)寬帶隨機(jī)過程的Dirlik法[12-13]。

2 加速試驗(yàn)疲勞損傷等效關(guān)系

2.1 窄帶隨機(jī)過程等效關(guān)系

工程中一般認(rèn)為當(dāng)譜寬系數(shù)ε<0.35時(shí)，隨機(jī)過程可以視為窄帶過程[14]。窄帶過程響應(yīng)的峰值頻率與零均值正穿頻率相近，可以近似認(rèn)為E[P]=E[0]。

對(duì)于理想的窄帶過程，一般采用Bendat法，將應(yīng)力幅值的概率密度函數(shù)近似為瑞利分布

(14)

代入式(13)，得到Bendat法的疲勞壽命為

(15)

第2類歐拉積分又稱作Gamma函數(shù)，其表達(dá)式為

(16)

式(15)可通過數(shù)學(xué)變換表示為Gamma函數(shù)的形式

(17)

由式(5)和式(17)可知，Bendat法計(jì)算得到的壽命T與σRMS和gRMS在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中皆為線性關(guān)系

lgT=-mlgσRMS+lgA

(18a)

(18b)

2.2 寬帶隨機(jī)過程等效關(guān)系

工程中一般認(rèn)為當(dāng)譜寬系數(shù)ε>0.35時(shí)，隨機(jī)過程可以視為寬帶過程[14]。對(duì)于寬帶隨機(jī)過程的頻域疲勞壽命分析通常采用Dirlik法，即認(rèn)為寬帶過程的應(yīng)力概率密度函數(shù)為一個(gè)指數(shù)分布與兩個(gè)瑞利分布之和

(19)

式(19)也可通過數(shù)學(xué)變換表示為Gamma函數(shù)的形式

(20)

由式(5)和式(20)可知，Dirlik法計(jì)算得到的壽命T與σRMS和gRMS在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中皆為線性關(guān)系

lgT=-mlgσRMS+lgB

(21a)

(21b)

2.3 加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)

由式(18)和式(21)可以總結(jié)出，結(jié)構(gòu)在給定的激勵(lì)譜型下，采用Bendat法和Dirlik法計(jì)算的隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命都具有表現(xiàn)形式一致的T(s)，σRMS(MPa)和gRMS(g)之間的線性關(guān)系。基于有限元分析，利用線性關(guān)系得到對(duì)某一結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行仿真壽命監(jiān)測的曲線圖，從而確定進(jìn)行振動(dòng)疲勞加速試驗(yàn)所需的激勵(lì)譜量級(jí)。

基于頻域法的隨機(jī)振動(dòng)疲勞加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法流程如圖1所示。首先，根據(jù)載荷條件和邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行頻響分析，加載相同譜型、不同加速度量級(jí)(g)的激勵(lì)譜，得到應(yīng)力響應(yīng)的PSD函數(shù)和應(yīng)力RMS值(MPa)；其次，根據(jù)累積損傷準(zhǔn)則和S-N曲線參數(shù)，針對(duì)窄帶和寬帶問題分別選擇Bendat法和Dirlik法計(jì)算出響應(yīng)的疲勞壽命(s)；然后，根據(jù)式(5)、式(18)和式(21)得到gRMS-σRMS，σRMS-T的關(guān)系式；最后，根據(jù)加速試驗(yàn)的期望時(shí)間得到試驗(yàn)所需使用的激勵(lì)譜量級(jí)(g)。

圖1 隨機(jī)振動(dòng)疲勞加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法流程圖Fig.1 Random vibration fatigue accelerated test design flow chart

3 算例分析

采用Dirlik法進(jìn)行算例研究。某加筋板試驗(yàn)件長為480 mm，寬為430 mm，加強(qiáng)筋和L型邊與底板通過鉚釘連接，加強(qiáng)筋與L型邊通過角片用螺栓裝配相連，加筋板四側(cè)的L型邊與外部夾具采用螺栓進(jìn)行裝配連接。加筋板受到夾具通過螺栓傳遞過來的垂直于底板方向的10g加速度隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ)激勵(lì)。

使用Hypermesh軟件建立加筋板的有限元模型，如圖2所示。劃分的有限元單元共計(jì)56 779個(gè)，單元類型為2D-PShell，連接類型為RBE2。該加筋板采用2024鋁合金材料，熱處理方式為T4，表面粗糙度Ra=3.2，其物理、力學(xué)及疲勞性能參數(shù)如表1所示。通過MSC.Patran和Nastran軟件進(jìn)行頻響分析，找到危險(xiǎn)點(diǎn)位于有限元模型編號(hào)為25 612的單元處，即角片與加強(qiáng)筋連接的螺孔邊緣位置，如圖3所示。

隨機(jī)振動(dòng)的應(yīng)力響應(yīng)為隨機(jī)過程，定義應(yīng)力均方集中系數(shù)KRMS為危險(xiǎn)點(diǎn)處應(yīng)力均方根值與對(duì)應(yīng)點(diǎn)處名義應(yīng)力均方根值之比[15]，應(yīng)力響應(yīng)計(jì)算采用Von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則[16]，危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力均方集中系數(shù)KRMS=2.56。

表1 2024-T4材料的物理及力學(xué)性能

圖2 加筋板有限元模型 圖3 危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力響應(yīng)云圖 Fig.2 Finite element model of the stiffened plate Fig.3 Stress response of the dangerous point

施加的加速度隨機(jī)基礎(chǔ)激勵(lì)譜型如圖4所示，其中, 10lg(W1/W2)=15dB。

圖4 加速度隨機(jī)基礎(chǔ)激勵(lì)譜Fig.4 Acceleration random base excitation PSD

加載實(shí)際使用激勵(lì)載荷(10g加速度)，當(dāng)阻尼比ζ=0.005時(shí)，按照Dirlik法的壽命估算結(jié)果，需要進(jìn)行1 743.33 h的試驗(yàn)，這顯然在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)。因此，基于有限元結(jié)果，需要按照壽命等效關(guān)系設(shè)計(jì)加速試驗(yàn)間接評(píng)估加筋板的壽命。

由于有限元軟件仿真中需要自定義結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)，所以考慮ζ=0.005,0.01,0.015這3種常見的結(jié)構(gòu)阻尼比情況進(jìn)行分析。根據(jù)式(5)和式(21)，通過有限元仿真，理論上采用單點(diǎn)法就可以確定gRMS(g)，σRMS(MPa)和壽命T(s)的關(guān)系，但是建模和計(jì)算過程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生舍入誤差和截?cái)嗾`差，因此采用多點(diǎn)法(本算例采用5個(gè)點(diǎn))來擬合，以減小誤差影響，結(jié)果如表2所示。得到的gRMS-σRMS，gRMS-T曲線如圖5，6所示。由表2、圖5和圖6可見，擬合得到的關(guān)系式與理論表達(dá)式吻合很好，由此可以根據(jù)所期望的加速試驗(yàn)時(shí)間來確定激勵(lì)譜的加速度量級(jí)。

圖5 gRMS-σRMS曲線Fig.5 gRMS-σRMS graph

圖6 gRMS-T曲線Fig.6 gRMS-T graph

阻尼比gRMS/gσRMS/MPaT/sKgRMS-T關(guān)系式1050.866.2760×1061576.289.1204×104ζ=0.00520101.74.5250×1035.086lgT=-10.438lggRMS+17.23625127.14.4060×10230152.66.5678×1011036.152.3752×1081554.233.4517×106ζ=0.012072.311.7125×1053.617lgT=-10.438lggRMS+18.8142590.381.6675×10430108.52.4856×1031029.502.0319×1091544.242.9529×107ζ=0.0152058.991.4650×1062.950lgT=-10.438lggRMS+19.7462573.741.4265×1053088.492.1264×104

一般振動(dòng)疲勞加速試驗(yàn)的理想試驗(yàn)時(shí)間在1 h左右，根據(jù)關(guān)系式和壽命圖可以推出所需施加的激勵(lì)譜量級(jí)供試驗(yàn)參考，如表3所示。

表3 激勵(lì)譜RMS值

4 結(jié)束語

基于結(jié)構(gòu)疲勞壽命頻域分析法中的Bendat法和Dirlik法，通過理論推導(dǎo)分析，證明并建立了隨機(jī)振動(dòng)疲勞試驗(yàn)中激勵(lì)譜量級(jí)gRMS(g)、響應(yīng)應(yīng)力水平σRMS(MPa)和疲勞壽命T(s)之間的線性關(guān)系式。提出了可以利用此等效關(guān)系，基于有限元仿真的分析結(jié)果來進(jìn)行加速試驗(yàn)激勵(lì)譜量級(jí)確定的一種方法。算例表明，該加速方法可以大大縮短試驗(yàn)時(shí)間，為改進(jìn)設(shè)計(jì)和提高質(zhì)量等工作提供參考依據(jù)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.008

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305197)；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012ZA52001)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20123218120005)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2014-07-02；

2014-08-21

V215.5; TH113.1

張方,男，1962年8月生，教授。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)載荷識(shí)別、機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、噪聲與振動(dòng)控制及振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)分析等。曾發(fā)表《動(dòng)載荷識(shí)別的時(shí)間有限元模型理論及其應(yīng)用》(《振動(dòng)與沖擊》1998年第17卷第2期)等論文。

E-mail: zhangf@nuaa.edu.cn

簡介：周凌波，男，1990年2月生，碩士。主要研究方向?yàn)殡S機(jī)振動(dòng)疲勞。E-mail: zhoulingbo@nuaa.edu.cn