宋謀勝，陳 琳

（ 銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

麥克斯韋關(guān)系式的推導(dǎo)式記憶

宋謀勝*，陳 琳

（ 銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300 ）

以熱力學(xué)基本方程為基礎(chǔ)，根據(jù)內(nèi)能、焓、自由能和Gibbs函數(shù)等四個特性函數(shù)的物理定義式，并結(jié)合全微分、偏導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)方法，推導(dǎo)出了四對Maxwell關(guān)系式，有助于加深對該關(guān)系式的理解和識記。

麥克斯韋關(guān)系； 熱力學(xué)函數(shù)； 推導(dǎo)記憶

由熱力學(xué)基本關(guān)系推導(dǎo)的四對Maxwell關(guān)系，即麥氏關(guān)系，以簡明的形式提供了實驗不可測或難測的熱力學(xué)量與實驗可測量之間的關(guān)系，如體積膨脹系數(shù)、熱容量等。由p、S、V、T四個熱力學(xué)函數(shù)組成的八個兩兩對應(yīng)的一階偏導(dǎo)數(shù)，加之其括號外的角標，致使在實際教學(xué)中記憶麥氏關(guān)系較為困難。為了能記憶麥氏關(guān)系，人們曾提出了許多簡單的記憶方法，如對角線法[1]、四方圖法[2]、聯(lián)相-交換法[3]等。另外，一些學(xué)者還將Jacobi行列式用于麥氏關(guān)系的推導(dǎo)和記憶[4,5]，取得了較好的效果。

為了幫助初學(xué)者掌握和記憶麥氏關(guān)系，筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐，提出了利用熱力學(xué)基本函數(shù)的物理意義表達式和公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)相結(jié)合的推導(dǎo)式記憶法，即一個基礎(chǔ)（熱力學(xué)基本微分方程）、四個熱力學(xué)特性函數(shù)物理表達式（U、H、F、G）、三種數(shù)學(xué)方法（全微分、一階偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)）。該方法關(guān)鍵在于熱力學(xué)基本關(guān)系的物理意義與數(shù)學(xué)意義上的全微分偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，重在理解性推導(dǎo)，能幫助初學(xué)者通過理解推導(dǎo)而記憶麥氏關(guān)系。

1.麥氏關(guān)系的推導(dǎo)基礎(chǔ)

麥氏關(guān)系是從內(nèi)能（U）、焓（H）、自由能（F）和Gibbs函數(shù)（G）四個熱力學(xué)特性函數(shù)的數(shù)學(xué)推演而得出的。根據(jù)物態(tài)方程、內(nèi)能和熵可導(dǎo)出熱力學(xué)基本微分方程

dU=TdS-pdV （1）

該方程又稱熱力學(xué)第一定律，給出了兩個平衡態(tài)的內(nèi)能、熵和體積之間的關(guān)系[6]，是麥氏關(guān)系的推導(dǎo)基礎(chǔ)?，F(xiàn)以（1）式為基礎(chǔ)，根據(jù)內(nèi)能、焓、自由能和Gibbs函數(shù)的物理定義式，并結(jié)合全微分和偏導(dǎo)數(shù)來分別推導(dǎo)四對麥氏關(guān)系。

2.麥氏關(guān)系的推導(dǎo)

2.1.由內(nèi)能函數(shù)（U）來推導(dǎo)

由熱力學(xué)基本微分方程（1）式可知，dU與變量dS、dV相關(guān)，即U與S、V有關(guān)，則U作為S、V的函數(shù)，有U=U( S, V)，其全微分為

將方程（1）和（2）比較可得

由于U是S、V的連續(xù)函數(shù)，將（3）式左邊分別對V、S求二階導(dǎo)數(shù)，右邊分別對V、S求一階導(dǎo)數(shù)。

近年來，國家開始重視產(chǎn)教融合，特別是產(chǎn)教融合平臺的建立，初步搭建了產(chǎn)業(yè)與教育融通的渠道。各地方院校也紛紛推出產(chǎn)教融合的新舉措，拓寬了產(chǎn)教融合的渠道。尤其是在職業(yè)教育與產(chǎn)業(yè)對接、人才培養(yǎng)模式等方面成效顯著。

（4）式即為根據(jù)內(nèi)能的物理意義結(jié)合數(shù)學(xué)的全微分偏導(dǎo)數(shù)而推導(dǎo)出的麥氏關(guān)系之一。

2.2.由焓函數(shù)（H）來推導(dǎo)

熱力學(xué)焓函數(shù)（H）的物理定義為H=U+pV ，其全微分為

將熱力學(xué)基本微分方程（1）式代入，可得

可見，dH與變量dS、dp相關(guān)，則H作為S、p的函數(shù)，有H=H( S, p)，其全微分為

比較方程（6）和（7），可得對應(yīng)關(guān)系

由于H是S、p的連續(xù)函數(shù)，將（8）式左邊分別對p、S求二階導(dǎo)數(shù)、右邊分別對p、S求一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)可交換求導(dǎo)次序，可得（9）式即為根據(jù)焓的物理定義和數(shù)學(xué)的全微分偏導(dǎo)數(shù)而推導(dǎo)出的麥氏關(guān)系之二。

熱力學(xué)自由能函數(shù)（F）的物理定義為F=U-TS，其全微分為

將熱力學(xué)基本微分方程（1）式代入，可得

可以看出dF與變量dT、dV相關(guān)，則F作為T、 V的函數(shù)，有F=F( T, V)，其全微分為

比較方程（11）和（12），可得對應(yīng)關(guān)系

將（13）式左、右兩邊分別對V、T求二階、一階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)?2F/(?T? V)=?2F/(?V? T)，可得這就是根據(jù)自由能的物理定義和及其數(shù)學(xué)上全微分偏導(dǎo)數(shù)而推導(dǎo)出的麥氏關(guān)系之三。

2.4.由Gibbs函數(shù)（G）來推導(dǎo)

Gibbs函數(shù)（G）的物理定義為G=U-TS+pV ，其全微分為

將熱力學(xué)基本微分方程（1）式代入，可得

可見dG與變量dT、dp相關(guān)，則G作為T、p的函數(shù)，有G=G( T, p)，其全微分為

比較（16）（17），可得對應(yīng)關(guān)系

將（18）式左、右兩邊分別對p、T求二階、一階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)?2G/(?T? p)=?2G/(?p? T)，可得

（19）式即為根據(jù)Gibbs函數(shù)的物理定義和及其數(shù)學(xué)全微分偏導(dǎo)數(shù)而推導(dǎo)出的麥氏關(guān)系之四。

3.結(jié)論

以熱力學(xué)基本微分方程為基礎(chǔ)，數(shù)理結(jié)合，根據(jù)內(nèi)能、焓、自由能和Gibbs函數(shù)等四個熱力學(xué)特性函數(shù)的物理定義，并結(jié)合該類函數(shù)的數(shù)學(xué)分析方法，推導(dǎo)出了四對Maxwell關(guān)系式。

[1] 韓雪峰.麥克斯韋關(guān)系的規(guī)律記憶法[J].廊坊師專學(xué)報（自然科學(xué)版），1997，（3）：30-31.

[2] 路瑩.熱力學(xué)關(guān)系和麥克斯韋關(guān)系的教學(xué)研究[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2003，（2）：25-26.

[3] 曹海靜，田冰濤.熱力學(xué)麥克斯韋關(guān)系的簡便記憶方法[J].科技資訊，2012，（21）：203.

[4] 陳沙鷗，吳哲英，李巖.麥克斯韋關(guān)系的矩陣方法推導(dǎo)[J].青島大學(xué)學(xué)報，2000，13（3）：1-5.

[5] 邱敏，牟艷男，張秀平.雅克比行列式與麥克斯韋關(guān)系有機結(jié)合的探討[J].黑河學(xué)院學(xué)報，2010，1（3）：114-116.

[6] 汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理[M].北京：高等教育出版社，2008.

Derived memory of Maxwellian relations

SONG Mousheng, CHEN Lin
(School of Data Sciences, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300, China )

Based on the thermodynamic basic equation, according to the physical definitions of four characteristic functions including internal energy, enthalpy, free energy and Gibbs function, and combining with the total differential, partial derivative, etc. mathematical methods, four Maxwellian relations were derived. It is contributed to enhance the understanding and memory of those relations.

Maxwellian relation, thermodynamic function, derived memory

O551

A

1673-9639 (2016) 04-0044-03

（責(zé)任編輯 佘彥超）（責(zé)任校對 毛 志）

2016-02-17

貴州省物理學(xué)專業(yè)綜合改革試點項目（黔財撥[2012]207）。

宋謀勝（1972-），男，湖南懷化人，教授，博士，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)與研究。

*通訊作者：宋謀勝，E-mail：sms071201@163.com。