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        如何讓學(xué)生更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

        2016-12-05 03:54:57于爾江
        新教育時代電子雜志(教師版) 2016年22期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

        于爾江

        (舒蘭市第十三中學(xué)校 吉林舒蘭 132600)

        如何讓學(xué)生更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

        于爾江

        (舒蘭市第十三中學(xué)校 吉林舒蘭 132600)

        二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,又是十分重要的最基本的初等函數(shù),它在中學(xué)中起著承上啟下的作用,它與一元二次方程、一元二次不等式的綜合運用,是初中考試的熱點內(nèi)容。

        數(shù)學(xué)教學(xué) 二次函數(shù) 一元二次方程

        我根據(jù)自己多年的教學(xué)實踐和研究,采用“循序漸進(jìn),由淺入深”的原則,先抓住課本,通過歸納,由厚到薄,再在一定深度上向四周擴(kuò)展,由薄到厚,實現(xiàn)知識點的全覆蓋。

        一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

        二次函數(shù),就是自變量的最高次數(shù)是“二次”的多項式函數(shù)。二次函數(shù)的一般解析式是:

        y=ax2+bx+c(a≠0)a≠0這個約束條件很重要,如果a=0且b≠0,上式就變成一次函數(shù)了。所以,我用長框框上,以示重要!a≠0

        看到二次函數(shù)的解析式后,我們立刻就會想到一元二次方程ax2+bx+c(a≠0),如果把上面的二次函數(shù)解析式中的“y”換成“0”,二次函數(shù)的解析式就成了一元二次方程了。如果把一元二次方程等號右邊的“0”換成“y”,一元二次方程就變成二次函數(shù)了。可見,二次函數(shù)是一元二次方程的繼續(xù)和延展,一元二次方程是二次函數(shù)在“y=0”情況下的特例。即一元二次方程是兩個函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和y=0的聯(lián)立:

        y=0是函數(shù),是一個特殊的函數(shù)。是唯一一個既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)!

        函數(shù)y=0的定義域是全體函數(shù),值域是y=0,圖像是全部的x軸。

        二次函數(shù)的圖像叫拋物線,二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)也叫拋物線的方程。

        二、二次函數(shù)的解析式和圖像

        解析式和圖像是函數(shù)的對立統(tǒng)一的兩個方面,是互相依存的,不能分割的。我們將通過解析式來畫出函數(shù)的圖像,再通過對圖像的對比和觀察來歸納出一般規(guī)律。

        二次函數(shù)的圖像非常重要,很多題目都要結(jié)合圖像來做,特別是一元二次不等式、一元二次方程解的分布等等。

        由于圖像具有直觀、簡單的特點,所以,用圖像理解記憶公式定理更快捷、更牢靠。熟練的掌握二次函數(shù)的圖像后,可以把很多知識點都串在圖像上,提高解題效率。

        二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的形狀是由a決定的,a、b、c共同決定著拋物線頂點的位置;二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像形狀是相同的,是可以重合的,y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像就是y=ax2(a≠0)圖像移動后的結(jié)果。

        對一般式進(jìn)行配方,可以得到頂點式;展開頂點式,可以整理成一般式。當(dāng)二次函數(shù)與X軸有交點時,才能寫交點式的解析式,若是與X軸沒有交點,就寫不出來交點了(在實數(shù)范圍內(nèi))。當(dāng)然,展開交點式,經(jīng)整理,就是一般式了。一般式是二次函數(shù)的通用的解析式。如果題里給定的條件里有頂點坐標(biāo),用頂點式解題會使用簡化的;如果題里給定的的條件里有與X軸的交點坐標(biāo),用交點式解題同樣會使問題簡化的。

        二次函數(shù)圖像上幾個重要的點.

        1.頂點.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為

        2.與X軸的交點。y=ax2+bx+c(a≠0)與X軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的兩個解,

        3.與y 軸的交點。二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸必有交點f(0),f(0)=c。

        三、例題

        例1,已知函數(shù)f(x)=(m2-4m+3)xm2-3+1問m為何值時,(1)f(x)為正比例函數(shù);(2)f(x)為反比例函數(shù);(3)f(x)為二次函數(shù)。

        解:(1)f(x)為正比例函數(shù),即f(x)=ax(x≠0),

        例2.二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(1,4)、(2,0)、(3,4)三點,求其解析式。

        解:設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),將點(1,4)、(2,0)、(3,4)坐標(biāo)代入,得:

        另解:由于點(1,4)、(3,4)是等高的點,所以該二點關(guān)于對稱軸對稱,所以對稱軸為所以,點(2,0)是頂點。

        設(shè)解析式為y=a(x-2)2+0,將點(1,4)坐標(biāo)代入:a(1-2)2=4,a=4,

        四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教育

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)教育,這是一個很大的課題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),一百個狀元就有一百個方法,我的體會是:多練、多悟、總結(jié)、反思。

        數(shù)學(xué)教育,不單是教學(xué)生怎樣解題,怎樣應(yīng)試,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生有一顆熱愛數(shù)學(xué)喜歡數(shù)學(xué)的恒心,有一種嚴(yán)密思維的習(xí)慣。

        數(shù)學(xué)是工具性的學(xué)科,更是理工科的基礎(chǔ)性學(xué)科,隨著自然科學(xué)與社會科學(xué)的不斷融合,文科學(xué)科理科化的現(xiàn)象正不斷加深,我們所熟知的經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、會計學(xué)更是與數(shù)學(xué)緊密相聯(lián),學(xué)不好數(shù)學(xué),就學(xué)不好物理、化學(xué)、生物,同樣也學(xué)不好經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、會計學(xué)等熱門專業(yè)。

        例如,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求函數(shù)的建立、供給函數(shù)的建立、邊際分析、道格拉斯方程、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計等,都需要有非常好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

        被譽為現(xiàn)代會計學(xué)之父的盧卡.帕喬利,在《數(shù)學(xué)大全》的第三卷第九部第十一篇,運用方程的思想,從會計等式切入,引出六個會計要素,建立了完美的會計學(xué)體系。但,盧卡.帕喬利首先是一位數(shù)學(xué)家,有多部數(shù)學(xué)著作傳世。

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),豐富多彩;數(shù)學(xué)教育,任重道遠(yuǎn)。

        如何培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)?這已成為數(shù)學(xué)教育工作者特別是初等教育工作者迫切解決的課題。

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