吳志群

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）在教學(xué)建議中指出：“教師應(yīng)該揭示知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.”數(shù)學(xué)思想是經(jīng)過(guò)概括后對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從具體數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知過(guò)程中提煉出的觀點(diǎn)，揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律.它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)貫穿著兩條主線，第一條是數(shù)學(xué)知識(shí)，第二條是數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)知識(shí)是明線，用文字的形式寫(xiě)在教材里，反映了知識(shí)之間的縱向聯(lián)系；數(shù)學(xué)思想是暗線，反映知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，需要老師在教材中加以揭示.數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的軀體，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.

在全縣研訓(xùn)活動(dòng)中，筆者參加設(shè)計(jì)一節(jié)公開(kāi)課，課題為北師大版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第四章《三角形》第三節(jié)“探索三角形全等的條件”.現(xiàn)摘錄主要環(huán)節(jié)，結(jié)合自己的思考，淺議結(jié)合數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)教學(xué).

1環(huán)節(jié)再現(xiàn)

環(huán)節(jié)1舊知回顧，新知引入

問(wèn)1到目前為止，已學(xué)過(guò)哪些方法判定兩個(gè)三角形全等？怎么得到的？

（生：三邊：邊邊邊“SSS”；兩角一邊：角邊角“ASA”，角角邊“AAS”）

設(shè)計(jì)意圖括號(hào)部分是預(yù)設(shè)學(xué)生的回答（下同），回顧三角形全等的條件及探索方法，喚醒已有知識(shí)的認(rèn)知.

情景引入如圖1，池塘兩側(cè)A，B處各有一棵樹(shù)，只有一條米尺，利用現(xiàn)有米尺無(wú)法直接量出A，B問(wèn)的距離.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，測(cè)出A，B問(wèn)的距離，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)有意義的問(wèn)題情境，具有挑戰(zhàn)性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.

環(huán)節(jié)2自主探究，合作提升

問(wèn)2根據(jù)探索三角形全等的條件，至少需要三個(gè)條件，除了上述情況外，還有哪種情況？

（生：兩邊一角相等）

問(wèn)3有幾種可能的情況呢？

（生：兩邊及夾角“邊角邊”或兩邊及其一邊的對(duì)角“邊邊角”）

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)有效設(shè)問(wèn)和追問(wèn)，感悟類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法和養(yǎng)成對(duì)比的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生善于反思總結(jié)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神.

活動(dòng)1

（探究：兩邊及夾角“SAS”）已知三角形兩條邊分別為3cm，4cm，它們所夾的角為30°，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？與同伴交流，你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生動(dòng)手操作，畫(huà)滿(mǎn)足特殊角的三角形，運(yùn)用30°三角板容易操作，培養(yǎng)形象思維能力和動(dòng)手操作能力，自主探究后，通過(guò)交流比較，達(dá)到合作提升.

活動(dòng)2同桌之間商量好，任意確定一個(gè)角的度數(shù)及兩條線段的長(zhǎng)度.畫(huà)三角形，以這兩條線段作為三角形的兩邊，它們的夾角就是確定的已知角，觀察比較，同桌問(wèn)的兩個(gè)三角形是否會(huì)全等.

歸納基本事實(shí)（公理）：兩邊及夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊角邊”或“SAS”，（公理的幾何語(yǔ)言板書(shū)一略）

設(shè)計(jì)意圖分組合作活動(dòng)，同桌一小組，組數(shù)最大化，條件完全開(kāi)放，條件一般化，以期有各種角度（銳角、直角、鈍角）和長(zhǎng)度，說(shuō)明結(jié)論的合理性，理解“邊角邊”公理知識(shí)的形成，培養(yǎng)合情推理能力和動(dòng)手操作能力.通過(guò)板書(shū)幾何語(yǔ)言，養(yǎng)成幾何語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的互譯，培養(yǎng)審題能力和板書(shū)語(yǔ)言能力。

活動(dòng)3（探究：兩邊一對(duì)角“SSA”）已知三角形兩條邊分別為3cm，5cm，長(zhǎng)度為3cm的邊所對(duì)的角為30°，你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？與同伴交流，你畫(huà)的三角形與同伴畫(huà)的一定全等嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

設(shè)計(jì)意圖給學(xué)生充分的時(shí)間與空間，結(jié)合數(shù)學(xué)畫(huà)圖.

使學(xué)生完整地經(jīng)歷動(dòng)手操作、總結(jié)結(jié)論的活動(dòng)過(guò)程，深刻體會(huì)實(shí)踐是科學(xué)判斷問(wèn)題的有力依據(jù)，再次感悟通過(guò)舉反例說(shuō)明假命題的知識(shí)方法.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)某個(gè)問(wèn)題作出正確判斷、合理決策的能力.

環(huán)節(jié)3引導(dǎo)發(fā)展，成效評(píng)價(jià)

例題如圖2，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，請(qǐng)說(shuō)明AABC≌AADC.

問(wèn)4上題條件不變，BC與DC會(huì)相等嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖新知應(yīng)用，應(yīng)用“邊角邊”知識(shí)證明三角形全等和線段相等的問(wèn)題，加強(qiáng)知識(shí)理解和應(yīng)用.培養(yǎng)邏輯思維能力和演繹推理能力.

問(wèn)題解決解決情境引入中的問(wèn)題.

小明設(shè)計(jì)方案：如圖3，先在池塘旁取一個(gè)能直接到達(dá)A，B處的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)至E點(diǎn)，使CE=AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至D點(diǎn)，使CD=BC，連結(jié)DE，用米尺測(cè)出DE的長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)度就等于A，B兩點(diǎn)的距離.你能說(shuō)明理由嗎？

設(shè)計(jì)意圖首尾呼應(yīng)，充分應(yīng)用情境素材，能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題，感悟?qū)W數(shù)學(xué)知識(shí)意義.

練一練（1）如圖4，在下列圖中，找出全等三角形.

（2）如圖5，在AABD和AACD中，∠BAD=∠CAD，要使AABD≌AACD，只需添加一個(gè)什么條件？為什么？

設(shè)計(jì)意圖給學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，第1題獨(dú)立嘗試解決，當(dāng)堂檢測(cè)學(xué)生掌握“邊角邊”公理的情況，適時(shí)作出恰當(dāng)評(píng)價(jià)，第2題通過(guò)一個(gè)條件開(kāi)放，讓學(xué)生總結(jié)判斷三角形全等的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邊學(xué)習(xí)邊總結(jié)的好習(xí)慣.

2揭示數(shù)學(xué)思想

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教材設(shè)計(jì)建議中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握的.因此，平時(shí)要主動(dòng)設(shè)計(jì)利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的課堂教學(xué)，基于課標(biāo)和教學(xué)大綱，筆者研讀教材，解讀本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透，設(shè)計(jì)以上教學(xué)過(guò)程，在教學(xué)中有效地滲透思想，表面上是教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也在滲透數(shù)學(xué)思想，從而提高課堂教學(xué)的有效性.以下揭示本節(jié)教學(xué)表象的數(shù)學(xué)思想。

2.1揭示特殊與一般思想

人們對(duì)一類(lèi)新事物的認(rèn)識(shí)往往是通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的認(rèn)識(shí)與研究，逐漸積累對(duì)這類(lèi)事物的了解，逐漸形成對(duì)這類(lèi)事物總體的認(rèn)識(shí).本節(jié)課環(huán)節(jié)二探究“邊角邊”公理中，活動(dòng)1設(shè)計(jì)30度的特殊角和3厘米、4厘米的特殊邊，內(nèi)容具體、容易操作，探究特殊條件下公理的存在；接著，活動(dòng)2中條件完全開(kāi)放，探究在一般條件下公理存在，從而歸納出“SAS”公理，水到渠成.在探究“SSA”成立與否中，用特殊反例說(shuō)明一般結(jié)論不成立.由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，這種認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.在環(huán)節(jié)三中，運(yùn)用探究出“SAS”公理（即一般結(jié)論），解決本節(jié)例題和情境問(wèn)題，用所得到的特點(diǎn)和規(guī)律解決這類(lèi)事物中的新問(wèn)題，這種認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程是由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程.這就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般思想.這是本節(jié)課滲透的最重要的數(shù)學(xué)思想。

2.2揭示分類(lèi)與整合思想

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教學(xué)建議中指出：分類(lèi)是一種重要的數(shù)學(xué)思想.在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常需要通過(guò)分類(lèi)討論解決問(wèn)題，分類(lèi)的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程.本節(jié)課中分類(lèi)與整合思想也處于重要地位，在探究“兩邊一角”中，根據(jù)角相對(duì)兩邊不同位置，分“邊角邊”和“邊邊角”兩種情況分別探究.在活動(dòng)2中，探究“SAS”的一般情況又分鈍角、銳角和直角三種情況，從而整合得到“SAS”公理；在活動(dòng)3探究“SSA”中，通過(guò)特殊值驗(yàn)證，分類(lèi)得到兩種不全等圖形，從而整合得到“SSA”不成立，最后整合只有“SAS”成立，而“SSA”不成立.還有在環(huán)節(jié)三練習(xí)2中，要根據(jù)不同判定，分三種情況討論，整合有三個(gè)答案.在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若問(wèn)題包含了多種情況，就必須抓住問(wèn)題發(fā)展方向的主要因素，劃分為若干部分分別研究，最后整合在一起.這種“合一分一合”的解決問(wèn)題的思想，就是分類(lèi)與整合思想.

2.3揭示數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.在探究“SAS”和“SSA”活動(dòng)中，給出角和線段的數(shù)值，通過(guò)畫(huà)出相應(yīng)的圖形，來(lái)探究命題的成立與否，要成立必需滿(mǎn)足圖形重合，若不重合則不成立.如圖6，根據(jù)相同的數(shù)值，畫(huà)出不同的圖形，非常直觀說(shuō)明“SSA”不成立，借助形的直觀性來(lái)解決數(shù)的問(wèn)題.如圖4，數(shù)形結(jié)合很容易找出全等三角形，從而解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休，”

2.4揭示建模思想

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教材設(shè)計(jì)建議中指出：模型思想是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心之一，教材應(yīng)當(dāng)圍繞核心內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì).模型思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.因此，在情境引入中，設(shè)計(jì)測(cè)量池塘兩樹(shù)的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，學(xué)了新知后，必需建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助學(xué)生形成模型思想，滲透數(shù)學(xué)建模思想.

2.5揭示化歸與轉(zhuǎn)化思想

為了滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)教材內(nèi)容，在環(huán)節(jié)三例題的教學(xué)中，設(shè)計(jì)一個(gè)證明線段相等的問(wèn)題4，該問(wèn)題必需轉(zhuǎn)化證明三角形全等的路徑來(lái)解決.化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略.常將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)化歸轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

3設(shè)計(jì)啟示

由于結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透，本節(jié)課設(shè)計(jì)時(shí)主線明了，層次清晰，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)效果很好.為了設(shè)計(jì)有效課堂教學(xué)，結(jié)合數(shù)學(xué)思想的設(shè)計(jì)也是很好的途徑.以下筆者將一些經(jīng)驗(yàn)和心得，與同仁分享，以期拋磚引玉.

3.1參透課標(biāo)，解讀教材，挖掘數(shù)學(xué)思想

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)里，數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，數(shù)學(xué)思想是一條暗線，它隱含于知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中.教師要參透課標(biāo)，宏觀把握有關(guān)數(shù)學(xué)思想的要求與目標(biāo)，認(rèn)真解讀教材，活用教材，挖掘教材中可以滲透的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，首先需要從對(duì)教材的分析入手，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，如本節(jié)課就蘊(yùn)含五種數(shù)學(xué)思想.

3.2新知建構(gòu)，鞏固應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想

對(duì)于數(shù)學(xué)而言，知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想的發(fā)生過(guò)程.如本節(jié)課中，“SAS”判定公理的新知構(gòu)建過(guò)程，也就是特殊與一般思想、分類(lèi)與整合思想的發(fā)生過(guò)程.因此，設(shè)計(jì)時(shí)要考慮到教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想的時(shí)機(jī).如概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的選擇過(guò)程、思路的探索過(guò)程、規(guī)律被揭示過(guò)程等，都是滲透數(shù)學(xué)思想的極好機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)思想不能機(jī)械記憶，也不能只喊“口號(hào)”，只有將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維意識(shí)和習(xí)慣才有意義.如：通過(guò)例題、練習(xí)題學(xué)習(xí)，不僅能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)思想和建模思想有更加深刻的認(rèn)識(shí).

3.3課堂小結(jié)，構(gòu)建系統(tǒng)，歸納數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想貫穿在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材的知識(shí)中，以隱形的方式蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的體系中，教師在教學(xué)中，要適時(shí)歸納和概括數(shù)學(xué)思想.設(shè)計(jì)時(shí)要設(shè)置一些歸納數(shù)學(xué)思想的步驟，設(shè)置有關(guān)歸納數(shù)學(xué)思想的問(wèn)題，并適時(shí)地強(qiáng)化，讓學(xué)生在腦海中留下深刻的印象.這樣有意識(shí)、有目的地結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)建構(gòu)，歸納數(shù)學(xué)思想，可避免單純追求數(shù)學(xué)思想教學(xué)的問(wèn)題。

總之，不管是課前設(shè)計(jì)，還是課中的實(shí)踐，都是為了提高教學(xué)效率.教師要樹(shù)立讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的意識(shí)，自覺(jué)滲透數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想要與數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中有機(jī)結(jié)合，自然滲透數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是一個(gè)慢過(guò)程，不能急功近利，要循序漸進(jìn)，反復(fù)滲透數(shù)學(xué)思想。