李欣然，陳鴻琳*，冷 華，陳國(guó)民

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.國(guó)網(wǎng)湖南省電力公司電力科學(xué)研究院，

?

中長(zhǎng)期電量預(yù)測(cè)的傅里葉-馬爾科夫修正模型

李欣然1，陳鴻琳1*，冷 華2，陳國(guó)民3

(1.湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2.國(guó)網(wǎng)湖南省電力公司電力科學(xué)研究院，

湖南 長(zhǎng)沙 410007；3.湖南城市學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000)

灰色模型在中長(zhǎng)期電量預(yù)測(cè)中只對(duì)電量呈近似指數(shù)規(guī)律單調(diào)增長(zhǎng)的序列才有較高的預(yù)測(cè)精度.隨著電量變化隨機(jī)波動(dòng)性的增強(qiáng)，建立新的修正預(yù)測(cè)模型是十分必要的.針對(duì)灰色模型抗干擾能力差的問(wèn)題，提出了灰色預(yù)測(cè)的傅里葉-馬爾科夫修正模型，先利用傅里葉級(jí)數(shù)法，提取周期信息，優(yōu)化電量變化的指數(shù)率，再采用馬爾科夫鏈法，將電量波動(dòng)隨機(jī)性嵌入模型之中，從而對(duì)灰色預(yù)測(cè)的原始?xì)埐钸M(jìn)行二重修正，提高預(yù)測(cè)模型的適應(yīng)性和靈活性.通過(guò)實(shí)例分析以及對(duì)比驗(yàn)證表明，該模型有效地提高了預(yù)測(cè)精度.

電量預(yù)測(cè); 灰色模型; 殘差修正; 傅里葉級(jí)數(shù); 馬爾科夫鏈

中長(zhǎng)期電量預(yù)測(cè)多指年度預(yù)測(cè)和月度預(yù)測(cè)，對(duì)電力部門(mén)的發(fā)展規(guī)劃有重要意義，電量預(yù)測(cè)有利于提高電網(wǎng)運(yùn)行的安全性和經(jīng)濟(jì)性.當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，用電需求呈逐年遞增的趨勢(shì)時(shí)，灰色預(yù)測(cè)模型[1]能較好地以指數(shù)形式擬合中長(zhǎng)期用電量情況.但是用電量還受到政治、經(jīng)濟(jì)事件以及氣候因素的影響，具有一定的隨機(jī)性與波動(dòng)性，電量并不是按照絕對(duì)的指數(shù)規(guī)律逐年遞增，近年來(lái)卻出現(xiàn)了增速放緩的現(xiàn)象，有的地區(qū)甚至出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)，此時(shí)若不對(duì)灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.

實(shí)際上，對(duì)時(shí)間序列殘差的修正由來(lái)已久亦非常普遍[2-3]，電力系統(tǒng)應(yīng)用中多先對(duì)殘差絕對(duì)值進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，繼而采用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移來(lái)判斷殘差的正負(fù)符號(hào)，以修正原預(yù)測(cè)模型[4].而殘差序列一般波動(dòng)劇烈，沒(méi)有明顯的規(guī)律，用含有明顯指數(shù)規(guī)律的灰色模型對(duì)其進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)都將存在較大的誤差.此外，在將馬爾科夫理論用于電力系統(tǒng)時(shí)，有學(xué)者運(yùn)用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣直接修正殘差值[5]，有一定改善.

本文利用傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)時(shí)間序列殘差的良好修正效果[6-7]，將其運(yùn)用到灰色預(yù)測(cè)模型，作為一次修正，周期信號(hào)或者任何滿(mǎn)足條件可延拓的信號(hào)都可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，從而可以提煉出數(shù)據(jù)樣本序列中隱含的周期信息，改善灰色模型自身的機(jī)理缺點(diǎn)，使預(yù)測(cè)結(jié)果不再呈現(xiàn)單一的指數(shù)增長(zhǎng)，以適應(yīng)不同變化規(guī)律的電量序列；同時(shí)對(duì)原始?xì)埐钸M(jìn)行馬爾科夫預(yù)測(cè)，作為二次修正，馬爾科夫預(yù)測(cè)能夠反映狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程，提高其隨機(jī)靈動(dòng)性.因而本文提出了一種傅里葉-馬爾科夫殘差修正的中長(zhǎng)期電量灰色預(yù)測(cè)模型(GM-FM，Grey Model-Fourier Markov Residual Correction).在此基礎(chǔ)上，以實(shí)際用電量數(shù)據(jù)做算例分析，并與現(xiàn)有修正方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，本文所提模型較大程度地提高了預(yù)測(cè)精度.

1 灰色GM(1,1)模型

灰色系統(tǒng)理論主要通過(guò)對(duì)部分已知信息的生成、開(kāi)發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控，灰色預(yù)測(cè)是一種對(duì)含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法.

本文采用灰色系統(tǒng)中最廣泛應(yīng)用的GM(1,1)模型，其建立過(guò)程如下[8]：

1)計(jì)算原始序列x(0)的一次累加生成序列x(1)：

x(0)=[x(0)(k)|k=1,2,…，n]=

[x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(n)],

(1)

x(1)=[x(1)(k)|k=1,2,…,n]=

[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]．

(2)

式中：

(3)

本文研究中長(zhǎng)期電量預(yù)測(cè)，則序列x對(duì)應(yīng)用電量，具體為連續(xù)幾年的年用電量.累加生成的序列具有非減遞增的特點(diǎn)，具有近似的指數(shù)規(guī)律.

計(jì)算公式如下，B為數(shù)據(jù)矩陣，Yn為數(shù)據(jù)向量，

(4)

(5)

(6)

3)將參數(shù)代回微分方程求解，進(jìn)行一次累減還原得到原始數(shù)列：

(7)

可得:

(8)

式中：t=0,1,2,….

累減還原得預(yù)測(cè)模型，代入計(jì)算便可得預(yù)測(cè)電量．

(9)

通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行累加生成可以弱化隨機(jī)性，得到指數(shù)規(guī)律性較強(qiáng)的曲線(xiàn).而電力系統(tǒng)的發(fā)展與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)一樣受到各種因素的制約，不可能永遠(yuǎn)按照某一速度發(fā)展，有時(shí)發(fā)展較快，有時(shí)發(fā)展較慢[9].從而GM(1,1)模型的應(yīng)用有很大的局限性，只有當(dāng)系統(tǒng)基本按指數(shù)規(guī)律發(fā)展，且發(fā)展速度不是很快時(shí)，才能得到精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)結(jié)果.為了改進(jìn)GM(1,1)建模機(jī)理本身的缺陷，通過(guò)修正殘差，即實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之差，來(lái)提高預(yù)測(cè)精度.

2 傅里葉殘差修正

如前所述，電量受眾多因素影響，不同時(shí)期會(huì)以不同的指數(shù)率變化.傅里葉級(jí)數(shù)是周期函數(shù)，可提煉出數(shù)據(jù)樣本序列中隱含的周期信息，起到降噪作用[6-7,10-11].事實(shí)上，任何周期函數(shù)或滿(mǎn)足條件的可延拓的非周期函數(shù)都可以展開(kāi)成為傅里葉級(jí)數(shù)，并且可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，成為一種特殊的三角級(jí)數(shù).而三角函數(shù)又根據(jù)歐拉公式可化為指數(shù)形式，故傅里葉級(jí)數(shù)也可稱(chēng)為一種指數(shù)級(jí)數(shù)，這恰好能與GM(1,1)模型相結(jié)合，提煉數(shù)據(jù)序列不同的指數(shù)信息，并改善GM(1,1)模型中累加生成單一指數(shù)變化率的局限性.傅里葉殘差修正的具體步驟如下：

1)定義殘差序列Er，并展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)形式：

Er={Er(2),Er(3)，…,Er(n)}T．

(10)

式中：

(11)

2)殘差序列的傅里葉級(jí)數(shù)可近似展開(kāi)為[7]：

(12)

式中：k=2,3,…,n，T=n-1，ka=[(n-1)/2]-1，符號(hào)“[]”表示不超過(guò)且最接近的整數(shù).參數(shù)

C=[a0,a1,b1,…,aka,bka]T．

(13)

可用最小二乘法[12]求得：

C=(PTP)-1PTEr．

(14)

式中：P如式(15)所示.

(15)

3)初始預(yù)測(cè)值經(jīng)過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行修正：

(16)

傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)灰色模型的殘差修正還可以應(yīng)用于灰色Verhulst模型[14]等改進(jìn)灰色模型中，同樣取得了較好的改進(jìn)精度.但是電量的變化不僅僅只有呈近似指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的特點(diǎn)，還有很強(qiáng)的隨機(jī)性，受到各類(lèi)事件的影響.因此，在傅里葉修正殘差改善預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步通過(guò)馬爾科夫鏈來(lái)預(yù)測(cè)殘差，進(jìn)行二重修正，以提高預(yù)測(cè)精度.

3 馬爾科夫殘差預(yù)測(cè)

馬爾科夫鏈?zhǔn)侵笇?duì)于任一隨機(jī)過(guò)程，某一時(shí)刻之后的狀態(tài)只與該時(shí)刻有關(guān)，與該時(shí)刻之前的狀態(tài)無(wú)直接關(guān)系[15].該方法促進(jìn)了隨機(jī)過(guò)程理論的發(fā)展，即Markov過(guò)程，成為了概率論的新分支.用電量變化受到諸多因素的影響，其增長(zhǎng)速率及是否增長(zhǎng)都是不能完全確定的，表現(xiàn)出馬爾可夫殘差預(yù)測(cè)的性質(zhì)，具備較強(qiáng)的隨機(jī)性，采用馬爾科夫殘差預(yù)測(cè)可以改善序列的隨機(jī)特征，優(yōu)化預(yù)測(cè)結(jié)果.設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)Y在時(shí)刻t處于狀態(tài)in，則在t+1時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)與t時(shí)刻之前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，換而言之初始時(shí)刻到t-1時(shí)刻的隨機(jī)過(guò)程均不影響t+1時(shí)刻，即：

(17)

{Yn}為Markov鏈，記：

(18)

(19)

(20)

是序列中處于狀態(tài)Ei的原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).定義m步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(21)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣每一行的概率和應(yīng)為1，轉(zhuǎn)移概率指示著狀態(tài)轉(zhuǎn)移的趨勢(shì)，且可被用來(lái)預(yù)測(cè)下一步的狀態(tài).當(dāng)使用一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣時(shí)，若Markov鏈中，前一時(shí)刻的數(shù)據(jù)位于狀態(tài)E2，則R(1)的第二行被采用；當(dāng)利用前兩個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)時(shí)，前兩個(gè)時(shí)刻的序列經(jīng)過(guò)兩步轉(zhuǎn)移到待預(yù)測(cè)時(shí)刻，若其數(shù)據(jù)處于狀態(tài)E1，則采用R(2)的第一行.而狀態(tài)區(qū)間的劃分一般結(jié)合數(shù)據(jù)序列的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，每個(gè)區(qū)間的中心即兩端點(diǎn)平均值記為狀態(tài)中心vi.

使用馬爾科夫理論進(jìn)行殘差預(yù)測(cè)時(shí)，本文將初始灰色預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值得到的殘差序列劃分為n個(gè)狀態(tài)E，考慮r步轉(zhuǎn)移過(guò)程就用到r個(gè)轉(zhuǎn)移概率向量(矩陣的行)，待預(yù)測(cè)時(shí)刻殘差狀態(tài)的概率為這r個(gè)向量的和，向量的元素記為w1,w2,…,wn，n為劃分的狀態(tài)E的個(gè)數(shù)，則待預(yù)測(cè)時(shí)刻即下一時(shí)刻的殘差修正預(yù)測(cè)值為：

M(k+1)=λ1*v1+λ2*v2+…+λn*vn．

(22)

式中：

λi=wi/(w1+w2+…+wn)．

(23)

為狀態(tài)權(quán)重，vi為狀態(tài)區(qū)間中心.

因此，經(jīng)過(guò)Markov二次修正后的GM-FM模型預(yù)測(cè)結(jié)果為：

(24)

4 實(shí)例分析

為了方便有效地證明本文所提預(yù)測(cè)模型的優(yōu)勢(shì)，采用現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)中長(zhǎng)期電量灰色預(yù)測(cè)或改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)算例的原始數(shù)據(jù)，再對(duì)比預(yù)測(cè)誤差.以中國(guó)2000-2010年的全社會(huì)用電量[16]來(lái)建模分析，如表1所示，其中2000-2009年作為樣本，預(yù)測(cè)2010年的用電量.

表1 中國(guó)2000-2010年全社會(huì)用電量

通過(guò)求解得到初步灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示，“*”表示實(shí)際上未知.可見(jiàn)灰色模型的擬合和預(yù)測(cè)精度能滿(mǎn)足一定要求，但是仍存在較大的誤差.

表2 初步預(yù)測(cè)結(jié)果

殘差序列從2001-2009年共9個(gè)數(shù)據(jù)，代入計(jì)算公式結(jié)果如式(25)和式(26):

P=

(25)

(26)

將n+1即11代入E(k)得到2010年的傅里葉殘差修正值為-976.260 3，故一次修正后的預(yù)測(cè)值為：

43 523.794+(-976.260 3)=42 547.533 7．

(27)

經(jīng)過(guò)傅里葉殘差修正后的預(yù)測(cè)值精度顯著提高，相對(duì)誤差下降至-1.47%.

本文根據(jù)殘差序列的平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ將殘差序列劃分為3個(gè)狀態(tài)區(qū)間：[μ-1.9σ, μ-0.6σ]，[μ -0.6σ, μ +0.6σ]，[μ+0.6σ, μ+1.9σ]，分別對(duì)應(yīng)狀態(tài)E1，E2和E3，區(qū)間應(yīng)囊括整個(gè)殘差范圍.其中μ=-67.871 5，σ=1 051.204 2，3個(gè)狀態(tài)區(qū)間范圍為[-2 065.159 5，-698.594]，[-698.594，562.851 0]，[562.851 0，1 929.416 5]，對(duì)應(yīng)狀態(tài)如表3所示.

計(jì)算得其3步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

(28)

采用2007-2009年的狀態(tài)轉(zhuǎn)移來(lái)預(yù)測(cè)2010年的殘差值，共3步轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移概率如表4所示.

表4 GM-FM預(yù)測(cè)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移表

由w求得狀態(tài)權(quán)重λ1=0.5，λ2=5/18，λ3=4/18，且有狀態(tài)中心v1=-1 381.876 8，v2=-67.871 5，v3=-1 246.133 7，則2010年的Markov殘差預(yù)測(cè)值為：

M(k+1)=M(11)=λ1*v1+λ2*v2+λ3*v3=

-690.938 4-18.853 2+276.918 6=

-432.872 95．

(29)

從而，可知最終經(jīng)過(guò)二次修正后的2010年全社會(huì)用電量GM-FM預(yù)測(cè)值為：

43 523.794-976.260 3-432.873=

42 114.66．

(30)

本文改進(jìn)后GM-FM模型與GM模型的預(yù)測(cè)精度對(duì)比分析如表5所示，曲線(xiàn)及其放大圖如圖1所示．可見(jiàn)本文所提方法的擬合精度和預(yù)測(cè)精度均明顯提高，證明了GM-FM模型的有效性.

此外，對(duì)文獻(xiàn)[5]中1979-1989年石家莊售電量數(shù)據(jù)對(duì)1989年的售電量進(jìn)行了預(yù)測(cè)驗(yàn)證，并與之所提的馬爾科夫預(yù)測(cè)殘差及其殘差符號(hào)的方法做了對(duì)比，同樣證明本文所提模型具有更高的預(yù)測(cè)精度.本文所提方法具體數(shù)據(jù)如表6所示，曲線(xiàn)及其放大圖如圖2所示，其中由3步轉(zhuǎn)移矩陣得到的Markov殘差預(yù)測(cè)值為0.021 6，與該文獻(xiàn)的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如表7所示.

表5 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

年份

年份

年份售電量/(TW·h)GM預(yù)測(cè)值殘差Fourier修正GM-FM預(yù)測(cè)值誤差/%197920.4720.47000.00000.0000020.47000.00000198021.3920.602610.78740.55402821.156640.23336198122.0421.956930.08300.37922122.33615-0.29615198223.3623.40028-0.0403-0.363523.036780.32322198324.0624.9385-0.8785-0.5671924.37131-0.31131198426.5126.57784-0.0678-0.3296826.248160.26184198527.9828.32494-0.3449-0.1641528.1608-0.18080198630.430.186890.21310.1351630.322050.07794198732.4832.171240.30880.27445332.445690.03431198834.4234.286030.13400.27639734.56242-0.14242198937.5636.539831.02020.55402837.115460.44454

年份

年份

年份售電量馬爾科夫灰色殘差修正模型GM-FM模型預(yù)測(cè)值誤差%預(yù)測(cè)值誤差%198937.5635.61765.1737.115461.18

另外，對(duì)比同樣由傅里葉分析思想發(fā)展而來(lái)的小波分析方法，其通常需要先對(duì)原始序列進(jìn)行小波分解，再根據(jù)分解后的信號(hào)特征選用合適的方法進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，最后重構(gòu)(疊加)近似序列和細(xì)節(jié)序列的預(yù)測(cè)結(jié)果得到總的預(yù)測(cè)值.將本文中已有的2000-2009年的用電量作為原始序列進(jìn)行小波分解，小波函數(shù)采用Daubechies系列的db3小波，作3層分解，結(jié)果如圖3所示，分別為近似序列(趨勢(shì)項(xiàng))a3和細(xì)節(jié)序列(高頻分量)d3，d2和d1.

圖3 小波分解序列

由圖可見(jiàn)，分解后的近似序列有更平穩(wěn)的指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律，但其細(xì)節(jié)序列都波動(dòng)復(fù)雜，非線(xiàn)性極強(qiáng)，選用哪種或哪幾種合適的預(yù)測(cè)方法是工作的一大難點(diǎn)，模型變得復(fù)雜，且解構(gòu)、重構(gòu)后的預(yù)測(cè)結(jié)果難免存在機(jī)理上的誤差.更加值得一提的是，選用何種小波函數(shù)進(jìn)行何種尺度的分解需要依靠經(jīng)驗(yàn)和試驗(yàn)，選擇不當(dāng)可能帶來(lái)很大的誤差.相比之下，本文所提方法不需要采用多種不同模型的組合預(yù)測(cè)，提取序列自身的信號(hào)特征，進(jìn)行預(yù)測(cè)和修正，更為簡(jiǎn)單，且效果良好.

5 結(jié) 論

灰色模型能較好地預(yù)測(cè)中長(zhǎng)期電量，但電量數(shù)據(jù)增長(zhǎng)速度有時(shí)快有時(shí)慢，更有諸多因素的隨機(jī)影響，單純的灰色模型對(duì)數(shù)據(jù)波動(dòng)且不按單一指數(shù)規(guī)律變化的序列適應(yīng)性不強(qiáng).本文通過(guò)分析電量預(yù)測(cè)的殘差數(shù)列，利用傅里葉級(jí)數(shù)和馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了二重修正，改善了灰色模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)適應(yīng)能力不足的缺點(diǎn)，使其具備更為靈活的指數(shù)率以及隨機(jī)適應(yīng)性等特點(diǎn)，顯著提高了預(yù)測(cè)精度，通過(guò)對(duì)2010年中國(guó)全社會(huì)的用電量以及石家莊1989年的售電量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性，且通過(guò)對(duì)比可知，模型預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于現(xiàn)有的一般單純使用馬爾科夫修正殘差的方法.

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Mid-long Term Load Forecasting Model with Fourier Series and Markov Theory Residual Error Correction

LI Xin-ran1，CHEN Hong-lin1?，LENG Hua2，CHEN Guo-min3

(1. College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082, China; 2. Electrical Research Institute of State Grid Hunan Electric Power Company, Changsha,Hunan 410007, China; 3. School of Mechanical and Electrical Engineering,Hunan City Univ, Yiyang,Hunan 413000, China)

Gray model is widely used in mid-long term electricity demand forecasting, but the model fits exponentially increasing data more precisely. Due to China's economic growth rate fluctuations, the increase in electricity consumption is slowing down, and electricity varies stochastically. So it is necessary to propose a new model to reflect the new situation. To solve the problem of the poor anti-interference ability of grey model, this paper proposes a model with Fourier series and Markov theory residual error correction based on grey model. This model applies Fourier series method to optimize electricity changing rate, and Markov chain method to embed the random property in gray forecasting model for doubly correcting the residual error, which can improve the adaptability and flexibility. The proposed model is verified by actual load data, and it indeed improves the forecasting accuracy.

load forecasting; grey model; residual error correction; Froier series; Markov chain theory

1674-2974(2016)10-0062-08

2015-11-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51277056),National Natural Science Foundation of China(51277056)

李欣然(1957-)，男，湖南漣源人，湖南大學(xué)教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:lin_xiuxian@yeah.net

TM715

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