趙婷婷

（銅陵市義安區(qū)第三中學(xué) 安徽銅陵 244100）

特殊四邊形的存在性問(wèn)題解法探索

趙婷婷

（銅陵市義安區(qū)第三中學(xué) 安徽銅陵 244100）

在初中教學(xué)當(dāng)中，幾何是一個(gè)十分重要的科目。而在幾何學(xué)習(xí)當(dāng)中，特殊四邊形是一種主要的幾何圖形，存在著不同的性質(zhì)和變化。在實(shí)際學(xué)習(xí)當(dāng)中，關(guān)于特殊四邊形的存在性問(wèn)題是一種主要的問(wèn)題類(lèi)型，對(duì)于這些問(wèn)題應(yīng)當(dāng)靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。基于此，本文對(duì)特殊四邊形的存在性問(wèn)題解法進(jìn)行了研究，以期推動(dòng)初中幾何教學(xué)的更大進(jìn)步。

特殊四邊形 存在性問(wèn)題 解法探索

引言

特殊四邊形是初中幾何學(xué)習(xí)當(dāng)中的一個(gè)重要部分，在個(gè)各種考試當(dāng)中，特殊四邊形的存在性問(wèn)題是一個(gè)重點(diǎn)題型。因此，對(duì)于這一問(wèn)題的解決方法，學(xué)生應(yīng)當(dāng)進(jìn)行良好的學(xué)習(xí)和掌握，在遇到此類(lèi)題型的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)知道如何進(jìn)行解決。而在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)特殊四邊形的存在性問(wèn)題解法教學(xué)加以明確和重視，從而提升教學(xué)效果。

一、正方形的存在性問(wèn)題解法

對(duì)于正方形的存在性問(wèn)題，基于正方形對(duì)角線相互垂直平分且相等、兩組對(duì)邊分別平行、四條邊相等的性質(zhì)，在解題中進(jìn)行應(yīng)用。

例如在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C在拋物線a x2＋a x－2上，直角△CDA和直角△AOB全等，求解拋物線的解析式，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線部分，求解能夠形成正方形ABPQ的點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)。在解題過(guò)程中，由于兩個(gè)直角△CDA和△AOB全等，因此OD＝3，CD＝1，C點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，1）。由于點(diǎn)C在拋物線上，因此a（－3）2＋a（－3）－2＝1，得出a＝1/2。因此拋物線解析式y(tǒng)＝（1/2）x2＋（1/2）x－2。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，將AB作為正方形的邊，作正方形ABPQ，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P使PE與OB在E垂直，使QG與x軸在G垂直，可知△BAO、△AQC、△PBE相互全等。因此，PE、AG、BO相等，數(shù)值為2，BE、QG、AO相等，數(shù)值為1。因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（2，1）、（1，－1）。根據(jù)之前得到的拋物線解析式，當(dāng)x＝2、1的時(shí)候，y＝1、－1，因此證明了點(diǎn)P和點(diǎn)Q存在。

圖1　直角坐標(biāo)系中正方形存在問(wèn)題

在該問(wèn)題的解決過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到正方形四個(gè)角都是直角的特性，并且四條邊都相等。然后根據(jù)三角形的全等對(duì)構(gòu)成正方形的點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，最后在拋物線表達(dá)式中進(jìn)行代入驗(yàn)算，得出最終結(jié)論。

二、直角梯形的存在性問(wèn)題解法

直角梯形具有一個(gè)底角是直角、一組對(duì)邊相互平行，另一組對(duì)邊不平行的特性，在解題中，可以對(duì)這些特性加以利用。

例如，二次函數(shù)圖像y＝－x2＋a x＋b，在點(diǎn)A（－1/2，0）、點(diǎn)B（2，0）的位置上與x軸相交，在點(diǎn)C與y軸相交。對(duì)拋物線解析式進(jìn)行求解，同時(shí)對(duì)△ABC的形狀進(jìn)行判斷。如果直角梯形的四個(gè)定點(diǎn)分別是A、B、C、P，求解P點(diǎn)的坐標(biāo)。在解題過(guò)程中，可在二次函數(shù)中將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)進(jìn)行代入，從而得出a＝3/2，b＝1。因此得出拋物線解析式y(tǒng)＝－x2＋（3/2）x＋1，當(dāng)x＝0，y＝1，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）。根據(jù)計(jì)算的處在等于5/2，因此證明△ABC是直角三角形。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，由于AC和BC相互垂直，如果BC是底邊，BC和AP平行。BC為y＝（－1/2）x＋1，直線AP可由直線BC平移得到，因此，直線AP為y＝（－1/2）x＋b，代入點(diǎn)A坐標(biāo)能夠得出b＝－1/4，因此直線AP為y＝（－1/2）x－1/4。因此點(diǎn)P同時(shí)在直線AP和拋物線上，計(jì)算得出符合要求的x1＝5/2，因此點(diǎn)P為（5/2，－3/2）。如果AC為底邊，根據(jù)相同的方法計(jì)算得出符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－5/2，－9）。

圖2　直角坐標(biāo)系中直角梯形存在性問(wèn)題

在解決該題的過(guò)程中，對(duì)直角梯形的存在性問(wèn)題進(jìn)行解決，通常是已知三個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)第四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行求解，在明確直角的兩條變的基礎(chǔ)上，分別將其作為題型底邊進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)作平行線的方法對(duì)另一點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解。

三、平行四邊形的存在性問(wèn)題解法

平行四邊形具有對(duì)角線相互平分、兩組對(duì)邊分別平行的特性，因此在解題當(dāng)中應(yīng)當(dāng)加以利用。

例如，在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，點(diǎn)A（－1，3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，－1）在同一條拋物線上，求解拋物線的表達(dá)式。同時(shí)在y軸上有點(diǎn)Q，在拋物線上有點(diǎn)P，為了以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求解點(diǎn)P的坐標(biāo)。在解題過(guò)程中，將拋物線的表達(dá)式設(shè)為y＝a x2＋b x＋c，根據(jù)題意進(jìn)行求解，得出a＝1/3，b＝－2/3，c＝－1。因此，拋物線表達(dá)式為y＝（1/3）x2－（2/3）x－1。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，如果AB是平行四邊形的一條邊，需要滿足AB與PQ相平行，長(zhǎng)度為4，同時(shí)由于Q在y軸上，因此P的橫坐標(biāo)為4或－4，當(dāng)x＝4或－4時(shí)，y＝5/3或7，因此點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5/3）或（－4，7）。如果AB是對(duì)角線，需要滿足AB和PQ互相平分，由于點(diǎn)Q在y軸上，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1。因此，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，經(jīng)過(guò)計(jì)算得出P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1）。由此可知，符合條件要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5/3）或（－4，7）或（2，－1）。

圖3　直角坐標(biāo)系中平行四邊形存在性問(wèn)題

在該題目當(dāng)中，當(dāng)中，涉及到了拋物線上點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的存在性問(wèn)題，在解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和特點(diǎn)，將拋物線上所有符合要求的點(diǎn)進(jìn)行一一找出。在解題當(dāng)中為了避免對(duì)符合要求的點(diǎn)的遺漏，應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)解決。

四、菱形的存在性問(wèn)題解法

菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，并且四邊相等。在拋物線y＝（1/4）x2＋1中，有一點(diǎn)P，同時(shí)y軸有一點(diǎn)A（0，2）。過(guò)點(diǎn)P作PB垂直于x軸，如果△PAB是等邊三角形，求解點(diǎn)P坐標(biāo)。然后在直線AP中有一點(diǎn)M，如果四邊形OAMN是菱形，則求解點(diǎn)N的坐標(biāo)。根據(jù)題意能夠得出，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），并且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由于△PAB是等邊三角形，所以∠ABO為30度，所以直線AB和PB的長(zhǎng)度為4。將y＝4帶入拋物線，得到x為因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或根據(jù)菱形的性質(zhì)，求接觸存在的點(diǎn)N為或或或

五、矩形的存在性問(wèn)題解法

在拋物線y＝ax2＋bx＋c中，存在點(diǎn)A（－3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸l與x軸在點(diǎn)H相交。在坐標(biāo)行當(dāng)中，存在點(diǎn)Q，如果四邊形ACPQ為矩形，求點(diǎn)P坐標(biāo)。根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)，得出拋物線表達(dá)式，利用定點(diǎn)A、C和動(dòng)點(diǎn)P，將矩形存在性轉(zhuǎn)化為直角三角形存在性問(wèn)題，根據(jù)不同情況，利用k1×k2＝－1，k1×k2＝－1進(jìn)行求解，求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（－1，－2）、（－1，4）。

結(jié)語(yǔ)

在特殊四邊形的存在性問(wèn)題研究當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目當(dāng)中的已知條件進(jìn)行分析和歸類(lèi)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)對(duì)已知點(diǎn)的坐標(biāo)加以利用，從而解決相應(yīng)問(wèn)題。

［1］張美旋. “設(shè)計(jì)教學(xué)法”在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中應(yīng)用的有效性探微——以幾何課《平行四邊形》的模塊復(fù)習(xí)為例［J］. 南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào),2015,03：96-99.

［2］王用華,李海東,孫延洲. 基于學(xué)科本質(zhì)與整體建構(gòu)的教學(xué)探索——以人教版“平行四邊形及其性質(zhì)”一課為例［J］. 中小學(xué)教材教學(xué),2015,11：59-62.

［3］白宗燦. 特殊四邊形的存在性問(wèn)題解法舉例［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2012,Z1：54-55.