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        利用找、用、畫突破相似圖形學(xué)習(xí)的困難

        2016-12-01 19:42:44王裕龍
        初中生世界·九年級 2016年11期

        王裕龍

        “圖形的相似”是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一,是全等圖形的繼續(xù)和延伸,圖形的相似也是我們解決函數(shù)、圓、三角形等綜合性問題的一個常用的知識點,在中考中占據(jù)著重要的地位.下面就相似三角形中幾個常見的難點問題進行剖析,希望能為同學(xué)們在解題的思維、方法等方面提供幫助.

        方法一 “找”—— 找要用到的相似三角形

        例1 (2013·江蘇蘇州)如圖1,點P是菱形ABCD對角線AC上的一點,連接DP并延長DP交邊AB于點E,連接BP并延長BP交邊AD于點F,交CD的延長線于點G.

        (1)求證:△APB≌△APD.

        (2)已知DF∶FA=1∶2,設(shè)線段DP的長為x,線段PF的長為y.

        ①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

        ②當(dāng)x=6時,求線段FG的長.

        【解析】(1)由菱形的性質(zhì),得到AB=AD和AC平分∠BAD,即∠DAC=∠BAC,由“SAS”判斷△APB≌△APD.

        (2)①由已知條件DF∶FA=1∶2,及要得到DP、PF之間的關(guān)系,我們可以思考是否用相似來解決,DF、FA、DP、PF這四條線段能否直接構(gòu)成兩個三角形,即用△AFP和△DPF來證明相似,我們發(fā)現(xiàn)這是不可能的.接下來考慮把其中某些線段轉(zhuǎn)換,由△APB≌△APD得DP=BP,由DF∶FA=1∶2,得AF∶BC=2∶3,這樣由“Z”字型相似,證得:△APF∽△CPB,[FPBP]=[AFBC]=[23],得[yx]=[23],即y=[23]x.

        ②當(dāng)x=6時,y=4,則BF=10,

        由△DGF∽△ABF得[FGBF]=[DFAF]=[12],

        求得FG=5.

        【點評】解題關(guān)鍵是如何找到兩個要用到的相似三角形,這就需要同學(xué)們結(jié)合已知條件及所求結(jié)論來“偵查”有用信息.

        方法二 “用”—— 用相似三角形性質(zhì)測距

        例2 在“測量物體高度”的活動中,三個小組分別選擇測量學(xué)校里不同的三棵樹的高度,在同一時刻的陽光下,他們分別采集到了如下數(shù)據(jù):

        A小組:測量一根長為1米的竹竿的影子長為0.8米,此時甲樹的影長為4米.

        B小組:如圖2①,乙樹AB的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上,測得墻壁上的影子如圖CD=1.2米,落在地面上的影子AC=2.4米.

        C小組:如圖2②,丙樹OP的影子除落在地面上外,還有一部分落在一個斜坡上,測得落在地面上的影子長OQ=2米,斜坡上影子長QR=4米,且∠OQR=150°.

        根據(jù)上述信息分別求甲、乙、丙三棵樹的高.

        【解析】(1)如圖3,已知:XZ=4,求XY.根據(jù)平行投影結(jié)論:在平行光線的照射下,不同物體的物高與其影長成正比.得到[XYXZ]=[10.8],由XZ=4,得XY=5.

        所以甲樹的高度為5米.

        (2)如圖4,因為點B通過太陽光線照射投影在點D處,所以太陽光線的方向是直線BD方向.

        過點C作CE∥BD交AB于點E.根據(jù)平行投影結(jié)論得[AEAC]=[10.8],而AC=2.4,求得AE=3.

        由條件AB∥CD,CE∥BD,

        證得四邊形CDBE是平行四邊形,求得BE=CD=1.2,即AB=AE+BE=4.2.

        所以乙樹的高度為4.2米.

        (3)作法一:

        如圖5,首先確定太陽光線的方向是直線PR方向,得到[PMRM]=[10.8],即PM=[54]RM.

        由圖可知:PO=PM-OM.

        要求出PO的長度,就要分別求出PM、OM的長度,由圖可知RM=MN+RN,此時我們就要分別求出OM、MN、RN的長度,而可證四邊形OMNQ是矩形,

        即OM=NQ,MN=OQ=2,此時就要求出QN、RN的長度,由條件∠OQR=150°,而∠OQN=90°,可得∠NQR=60°,即△NQR是內(nèi)含30°角的直角三角形,因為QR=4,所以QN=2,RN=[23],則RM=2+[23],此時求得PM=[52+523],所以PO=[12+523].所以丙樹的高度為[12+523]米.

        作法二:

        如圖6,使MQ∥PR,

        由[OMOQ]=[10.8],OQ=2,

        求得OM=[52].

        在Rt△NQR中,∠NRQ=30°,QR=4,

        求得QN=2,RN=[23].由[HNNR]=[10.8],求得HN=[523],所以PM=HQ=[523]-2,

        所以PO=[1+532].

        【點評】在用相似解決實際問題時,首先畫出需要的圖形,然后常利用相似的性質(zhì):相似三角形對應(yīng)高的比、周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方,以及投影等知識得到比例式,選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程.

        方法三 “畫”——畫相似圖形覓得解答途徑

        例3 如圖7,在正方形網(wǎng)格中,四邊形TABC的頂點坐標(biāo)分別為T(1,1),A(2,3),B(3,3),C(4,2).

        (1)以點T(1,1)為位似中心,在位似中心的同側(cè),將四邊形TABC放大為原來的2倍,放大后點A,B,C的對應(yīng)點分別為A′,B′,C′,畫出四邊形TA′B′C′;

        (2)寫出點A′,B′,C′的坐標(biāo);

        (3)在(1)中,若D(m,n)為線段BC上任一點,則點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)為( , ).

        【解析】(1)已知位似比是2∶1,分別延長TA、TB、TC至A′、B′、C′,使AA′=TA、BB′=TB、CC′=TC,就可得到四邊形TA′B′C′.

        (2)由圖可得A′,B′,C′的坐標(biāo).A′( 3,5),B′(5,5),C′(7,3).

        (3)構(gòu)造圖8,△TDH∽△TD′H′,相似比2∶1,可得[TH′TH]=[D′H′DH]=2,即[TH′m-1]=[D′H′n-1]=2,求得TH′=2m-2,D′H′=2n-2,

        求得D′坐標(biāo)(2m-1,2n-1).

        【點評】圖形的位似是特殊的相似,這里還要注意的是以T為位似中心,而不是原點,我們抓住相似比2∶1,通過構(gòu)造一個輔助直角三角形準(zhǔn)確求得點D′的坐標(biāo).

        同學(xué)們可利用“找”“用”“畫”這三個方法,不斷提高對相似圖形的處理能力.

        (作者單位:江蘇省常熟市王莊中學(xué))

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