張東偉，郭 英，齊子森，侯文林，張 波

(1.空軍工程大學 信息與導航學院，710077 西安；2.空軍工程大學 裝備發(fā)展與運用研究中心，710051 西安)

?

跳頻信號2D-DOA與極化參數(shù)的欠定估計

張東偉1,2，郭 英1，齊子森1，侯文林1，張 波1

(1.空軍工程大學 信息與導航學院，710077 西安；2.空軍工程大學 裝備發(fā)展與運用研究中心，710051 西安)

為在欠定條件下估計跳頻(frequency hopping，F(xiàn)H)信號二維波達方向(two dimensional direction of arrival，2D-DOA)和極化參數(shù)，從而有效輔助FH網(wǎng)臺分選和信號識別、跟蹤等，提出基于空間極化時頻分析的聯(lián)合估計算法.在建立FH信號極化敏感陣列快拍數(shù)據(jù)模型基礎上，推導空間極化時頻分布(spatial polarimetric time frequency distributions，SPTFD)的線性時頻擴展形式SPSTFT，同時給出一種組合時頻分布方法定位各跳(hop)信號在時頻面上的自項區(qū)域，據(jù)此構造各hop的SPTFD和SPSTFT矩陣.利用SPSTFT/SPTFD矩陣中蘊含的信源極化-空域特征信息采取兩種不同方法估計2D-DOA和極化參數(shù).新算法無需多維參數(shù)尋優(yōu)和配對，計算量小.仿真結果表明,本算法能在欠定條件下有效估計FH信號2D-DOA和極化參數(shù),SPTFD矩陣法估計精度高，并能處理發(fā)生頻率碰撞的hop.

跳頻；極化；波達方向；聯(lián)合估計；時頻分布；信號處理

FH通信具有抗干擾、抗偵收等諸多優(yōu)點，已逐漸成為軍事通信領域重要的反截獲技術手段，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中應用廣泛并發(fā)揮了巨大威力[1].FH信號偵察研究一直是通信偵察和無線頻譜監(jiān)測等領域的熱點問題.

信號波達方向(DOA)是通信偵察中非常關鍵的參數(shù)，其對FH網(wǎng)臺分選和信號確認等任務具有重要支撐作用[2].文獻[2-4]將FH信號視為窄帶信號進行DOA估計，所提方法無法適用于短波和超短波環(huán)境(跳頻帶寬與射頻中心頻率的比值較大)，也不能用于欠定條件(信源數(shù)大于天線數(shù))；文獻[5-7]提出了基于空間時頻分布的FH信號一維DOA估計方法，可實現(xiàn)欠定估計，但無法給出俯仰角信息.極化狀態(tài)是電磁波的固有屬性，當陣列系統(tǒng)引入極化信息時，其導向矢量的空間維度加倍，協(xié)方差矩陣進行子空間分解亦可多一個自由度，利于提高空間分辨力(DOA估計精度)[8].此外，極化信息本身對于輔助信號分選和目標識別同樣具有重要作用[9].可見，極化結合信源方位能夠顯著提高FH信號辨識度，進而在FH網(wǎng)臺分選和信號識別等應用中發(fā)揮重要作用.因此，對FH信號二維波達方向(2D-DOA)和極化參數(shù)進行聯(lián)合估計意義重大,然而，目前鮮有關于該問題的研究報道.文獻[10]給出一種基于電磁矢量天線的方法，但僅能估計5個以內的FH信號.鑒于欠定情況在實際環(huán)境中經常出現(xiàn)，故亟待尋求適用于欠定條件的FH信號2D-DOA與極化參數(shù)聯(lián)合估計方法.

本文用正交電偶極子構造L型極化敏感陣列，首先，建立FH信號的陣列數(shù)據(jù)模型，并采用空間極化時頻分布[11](spatial polarimetric time frequency distributions，SPTFD)與其線性時頻擴展形式SPSTFT分別對FH信號各hop的2D-DOA和極化參數(shù)進行聯(lián)合估計；其次，研究各hop的SPTFD/SPSTFT矩陣構造方法.理論分析證明，所提方法無需高維參數(shù)尋優(yōu)與配對；最后，通過3組仿真實驗驗證了算法的有效性，并根據(jù)實驗結果重點探討了算法在欠定條件和頻率碰撞發(fā)生時的適用性.

1 FH信號的極化敏感陣列數(shù)據(jù)模型

設FH信號sn(t)的跳周期為Tn，在觀測時間Δt內共包含K個跳，第k(k=1,2,…,K)跳載頻為ωnk，起始跳持續(xù)時長為Δt0n，則sn(t)可表示為[1]

式中：t′=t-(k-1)Tn-Δt0n；vn(t)為sn(t)的基帶復包絡；φnk為第k跳的初相；rect(t)為單位矩形窗.

陣列結構如圖1所示，x軸和y軸方向的M元均勻線陣分別定義為ULA1和ULA2，陣元間距分別為d1、d2，滿足：max(d1,d2)

(1)

式中:γy、γz分別為沿y軸和z軸方向的電場分量.將圖1中信源S與x、y軸的夾角δ、β分別作為新的俯仰角和方位角定義，兩種角度之間的轉換關系為

(2)

(3)

式中:δ∈[0,π),β∈[0,π).由式(2)可知，經典的角度定義，俯仰角和方位角耦合在一起，無法單獨求解，采用新的角度定義可實現(xiàn)俯仰角、方位角的獨立估計[13].本文理論闡述部分將δ、β稱為俯仰角和方位角；將θ、φ稱為原始俯仰角和原始方位角.假設陣元增益為1，并忽略單陣元共點接收通道不一致及互耦影響，則ULA1對信源S的導向矢量為

(4)

式中：p=e-j2πd1cos(δ)/λ，λ=c/f(其中c為光速，f為瞬時頻率)為信號波長； “?”為Kronecker積.同理，子陣ULA2的導向矢量為

(5)

式中q=e-j2πd2cos(β)/λ.陣列對信源S的導向矢量為

若存在N個FH信號s1～sN，在某個頻率駐留時間(相鄰跳時刻之間時間段)內，陣列流型矩陣為

則陣列快拍數(shù)據(jù)矩陣為

(6)

式中：S(t)為信源的N×1維數(shù)據(jù)矢量；N(t)為陣列的4M×1維噪聲數(shù)據(jù)矢量.

圖1 L型正交電偶極子陣列

2 FH信號各hop的SPTFD/SPSTFT矩陣構造

基于陣列快拍數(shù)據(jù)X(t)，提取FH信號各hop時頻點構造其SPTFD矩陣是估計2D-DOA和極化參數(shù)的基礎.但構造SPTFD矩陣的時頻分布計算次數(shù)正比于接收通道數(shù)平方，難以滿足一些快速估計場合對于實時性的需求；此外，常規(guī)二次型時頻分布存在交叉項干擾，不利于提取各hop自項時頻點，影響算法性能.

2.1 SPTFD及其線性時頻擴展形式SPSTFT

2.1.1 SPTFD的定義[11]

對于信號x1(t)和x2(t)，離散時間形式的Cohen互時頻分布為

其中φ(l,τ)為核函數(shù).SPTFD矩陣定義為

(7)

式中E[·]代表求期望運算.E[DXX(t,f)]與流型矩陣A具有相同的子空間特性.為保證E[DXX(t,f)]滿秩，實際中一般通過提取關注信號的多個自項時頻點并對時頻點進行聯(lián)合對角化或平均處理來估計E[DXX(t,f)].

2.1.2 空間極化短時傅里葉變換(SPSTFT)

相比于Cohen分布，STFT計算量小、無交叉項干擾，實際中FH信號出現(xiàn)頻率碰撞的概率很小，無需借助SPTFD矩陣的多源處理能力，因此在要求快速估計場合，可將Cohen分布用STFT替代.極化敏感陣列信號的STFT形式為

(8)

式中，g(t)為窗函數(shù).以STFTxi(t,f)為元素構造SPSTFT矩陣，結合式(6)有

(9)

對式(9)求期望，得

(10)

由式(8)～(10)可見，SPSTFT矩陣保留了信源的空域和極化域特征信息，且構造SPSTFT矩陣的計算量顯著低于SPTFD矩陣.

2.2 組合時頻分布及SPSTFT/SPTFD矩陣構造

2.2.1SPWVD&WVD組合時頻分布

Wigner-Ville分布(WVD)是時頻分布的基礎形式，具有理論上最佳的時頻分辨性能.但FH信號是典型的多分量信號，其WVD結果存在嚴重交叉項干擾，導致難以提取自項時頻點.平滑偽WVD(SPWVD)經過時、頻域兩次平滑，在交叉項抑制、時頻聚焦性和抗噪能力3方面取得了很好平衡.本文將WVD和SPWVD進行組合，給出一種新的適合于FH信號的時頻分析方法SPWVD&WVD.將參考陣元的SPWVD、WVD結果分別記為SPWVDx1x1(t,f) 和WVDx1x1(t,f).

Step1 將SPWVDx1x1(t,f)與WVDx1x1(t,f)點乘，得到時頻模具矩陣TFMx1x1(t,f)，即

其中“⊙”為Hadamard積.

Step2 將TFMx1x1(t,f)進行截斷處理得到自項時頻地圖TFAx1x1(t,f)并降噪，有

(11)

式中Th為截斷門限，計算公式為

Th=μ·Mean{abs[TFMx1x1(t,f)]}.

式中:μ為門限因子,Mean{·}代表取均值.

Step3 將TFAx1x1(t,f)與SPWVDx1x1(t,f)點乘得到組合時頻分布TFSYx1x1(t,f)，即

(12)

圖2為3個FH信號在信噪比5dB時WVD、SPWVD和SPWVD&WVD結果.容易看出，SPWVD&WVD的顯示效果很好，在保留WVD時頻聚焦性能的同時，對交叉干擾項和噪聲也進行了很好抑制.

2.2.2SPSTFT/SPTFD矩陣的高效構造

由式(11)、(12)知，TFSYx1x1(t,f)中各hop的自項區(qū)為SPWVDx1x1(t,f)中對應hop的子集，因此，根據(jù)參考陣元確定的各hop自項區(qū)域提取時頻點構造SPSTFT/SPTFD矩陣.對于SPTFD，時頻分布采用與SPWVD性能近似計算量卻大為降低的SPW分布.圖2FH信號在信噪比5dB時WVD、SPWVD和SPWVD&WVD組合時頻分布結果

3 2D-DOA與極化參數(shù)聯(lián)合估計

3.1 基于SPSTFT矩陣的快速估計方法

(13)

式中:p=e-j2πd1cos(δi)/λin,q=e-j2πd2cos(βi)/λin(λin= c/fin，fin為載頻值).

(14)

由式(14)可得極化參數(shù)估計值為:

其中

由上述推導可見，該方法直接通過SPSTFT矩陣元素估計2D-DOA和極化參數(shù)，且時頻分析采取可利用FFT快速實現(xiàn)的STFT，計算量很小.

3.2 基于SPTFD矩陣的高精度估計方法

3.2.1 信源方位和極化參數(shù)“去耦合”

當某hop出現(xiàn)頻率碰撞的多源情況時，SPSTFT矩陣的快速估計方法不再適用(當然，本方法同樣適用于無頻率碰撞情況).此時根據(jù)式(7)構造SPTFD矩陣E{DXX(t,f)}|in，對其進行特征值分解求得噪聲子空間UN，根據(jù)子空間原理有

(15)

考慮噪聲和有限快拍數(shù)影響，通過求解以下問題估計2D-DOA和極化參數(shù)

(16)

(17)

式中:F(δ,β)中只包含由波程差導致的相位差；Ω中只包含極化參數(shù).將式(17)代入式(15)得

(18)

當且僅當(δ,β)為信源真實方位時，式(18)成立.由于Ω不全為0，根據(jù)秩損理論[14]，可通過2維搜索得到成對的俯仰角和方位角

(19)

其中χmin[·]表示求矩陣最小特征值運算.

3.2.2 2D-DOA估計

由式(19)估計2D-DOA仍需2維搜索，以下尋找滿足旋轉不變關系的成對子陣，根據(jù)ESPRIT原理首先估計俯仰角，從而降低搜索維度，進一步降低運算量.重寫流型矩陣為

設Ap1和Ap2分別為由A的第1,3,…,2M-1行和第2,4,…,2M行元素組成的子陣，即滿足

類似地，有

span(Ap1)=span(US1)=span(Ap2)=span(US2),

所以，US2=US1T-1ΦpT=US1Ψp.由此可見，矩陣Ψp的特征值即為Φp對角元素pk，則俯仰角估計值為

(20)

其中，Ψp利用最小二乘ESPRIT算法[15]求得，即

將式(20)得到的俯仰角估計值代入式(19)，可得到方位角的計算方法為

至此完成了2D-DOA估計，且俯仰角與方位角實現(xiàn)了自動配對.

3.2.3 極化參數(shù)估計

(21)

其中emin[·]為求矩陣最小特征值對應的特征矢量運算.結合極化矢量表達式(1)，可得極化比為

(22)

因此極化參數(shù)估計值為:

其中

式中：cosθk、cosφk分別由式(2)求得.

上述分析可知：1) 基于SPTFD矩陣的方法采用參數(shù)“去耦”結合秩損原理可在保證估計精度前提下降低搜索空間維度，顯著降低算法計算量，同時實現(xiàn)俯仰角、方位角和極化參數(shù)間的自動配對；2) 空間存在的FH信號總數(shù)可能大于偵察系統(tǒng)的接收天線數(shù)，但本文算法在時-頻二維聯(lián)合域上將FH信號分解為一個個hop，通過對各hop依次進行估計來實現(xiàn)所有FH信號的2D-DOA和極化參數(shù)估計，由于對各hop估計時為超定條件(發(fā)生頻率碰撞的概率很小，即使發(fā)生，此hop對應的信號數(shù)目一般也小于陣元數(shù))，因此本文算法能適用于FH信號數(shù)目大于陣元數(shù)的欠定條件.

3.3 算法步驟

根據(jù)以上推導和闡述，可得本文算法流程如圖3所示(基于SPSTFT矩陣的方法記為方法1，基于SPTFD矩陣的方法記為方法2).

圖3 算法流程

4 仿真實驗與數(shù)值分析

L型陣列的兩ULA陣元間距均為1.5 m.5個遠場FH信號記為FH1～FH5，跳周期均為10 us，載頻在0～0.5(歸一化頻率)之間隨機跳變，待估參數(shù)分別為[θ1,φ1,γ1,η1]=[20°,30°,40°,45°]、[θ2,φ2,γ2,η2]=[30°,40° ,50°,60°]、[θ3,φ3,γ3,η3]=[40°,50°,60°,75°]、[θ4,φ4,γ4,η4]=[50°,60°,75°,45°]、[θ5,φ5,γ5,η5]=[60°,70°,35°,45°] ；采樣率fs=100 MHz，采樣點數(shù)3 000，角度搜索步長0.05°；STFT平滑窗h(τ)長335點，SPWVD的平滑窗h(τ)長335點，g(u)窗長101點；各hop選取800個時頻點構造SPSTFT/SPTFD矩陣，截斷因子μ取0.1.均方根誤差(root mean square error，RMSE)定義為

實驗1 暫無頻率碰撞，空間存在FH1、FH2和FH3，ULA陣元數(shù)M設為4，信噪比SNR從-6dB以2dB間隔遞增到40dB，各SNR下進行100次Monte-Carlo試驗.分別統(tǒng)計入射信號θ、φ、γ和η的(總體)估計成功概率(成功概率定義見文獻[14])及RMSE，如圖4，5所示.

圖4 方法1估計性能與信噪比的關系

圖4，5表明，隨著SNR的提高，所有參數(shù)的估計成功概率均逐漸變高：SNR>20dB時，方法1的總體估計成功概率接近100%(同一指標方法2要求SNR>10dB)；兩方法性能差異主要在于方法1未充分利用陣列孔徑，且不是子空間類方法，不具超分辨能力.俯仰角和方位角的估計成功概率較高，受SNR和2D-DOA估計精度的綜合影響，極化參數(shù)的估計成功概率相對較低，但當SNR>8dB時(方法2)也逐漸接近100%.兩方法的RMSE均較小，方法1的RMSE值略大于方法2，且在SNR<10dB時下降趨勢不明顯.方法2俯仰角的RMSE值最小，方位角次之，極化參數(shù)略差，原因在于：俯仰角是由ESPRIT算法率先求得，估計精度主要受噪聲影響；方位角是在求得俯仰角后將其回代入譜估計器，通過一維角度搜索得到，故誤差還包括俯仰角估計誤差；極化參數(shù)誤差則受2D-DOA估計誤差和噪聲的綜合影響.

圖5 方法2估計性能與信噪比的關系

實驗2 為測試陣元數(shù)目對方法1的估計性能影響，SNR分別取8、12、16dB，ULA陣元數(shù)從4以1為步進遞增至20，其余仿真條件同實驗1，得到性能曲線如圖6所示.

由圖6(a)可見，陣元數(shù)對方法1的性能具有較大影響：隨著陣元數(shù)增加，總體估計成功概率逐漸提高(SNR=16dB，陣元數(shù)大于16時達到100%).圖6(b)為SNR=12dB時各參數(shù)RMSE值與陣元數(shù)的關系曲線，結果表明，陣元增加時，各參數(shù)的RMSE值均逐步降低，相比之下，極化參數(shù)的RMSE值下降不明顯.

實驗3 5個FH信號同時存在，設定任意兩FH信號發(fā)生頻率碰撞的概率為1(每次試驗隨機選擇一個hop發(fā)生碰撞)，3個信號以上碰撞概率為0，其余仿真條件與實驗1相同，方法2的估計結果如圖7所示.

圖6 方法1估計性能與陣元數(shù)的關系

圖7 頻率碰撞時方法2估計性能與信噪比的關系

圖7表明，當FH信號存在大概率頻率碰撞時，方法2的估計性能仍然非常優(yōu)良：SNR>12dB時，總體估計成功概率接近100%；SNR>8dB時所有參數(shù)RMSE值均小于1°.對比圖7與圖4發(fā)現(xiàn)，實驗3估計性能略差于實驗1，原因主要有： 1)頻率碰撞時相應hop為多源估計，性能差于無碰撞的單源情況； 2) 5個信號共存一定程度上加劇了信號間互擾.本實驗設定的碰撞概率條件非?？量蹋堰h超實際情況，因此方法2處理頻率碰撞的FH信號同樣具有優(yōu)異性能.

方法2(利用z軸子陣估計俯仰角，傳統(tǒng)算法可估計的信源數(shù)小于M)基于單臂4陣元實現(xiàn)了5個FH信號的有效估計，驗證了其在欠定條件下的估計能力.

5 結 論

1)新方法利用SPWVD&WVD組合時頻分布定位各跳自項，從而降低了FH交叉項對參數(shù)估計精度的影響；設計的SPTFD/SPSTFT矩陣構造方法降低了該處理環(huán)節(jié)計算量；極化和方位信息“去耦合”避免了多維參數(shù)尋優(yōu)和配對.

2)理論分析和仿真實驗證明：基于SPSTFT矩陣的方法在計算量方面優(yōu)勢明顯，是快速估計場合的備選方案；基于SPTFD矩陣的方法估計性能優(yōu)于SPSTFT矩陣法，并能處理發(fā)生頻率碰撞的hop，但計算量略高于SPSTFT矩陣法.

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(編輯 張 紅)

Underdetermined estimation of 2D-DOA and polarization for frequency hopping signals

ZHANG Dongwei1,2, GUO Ying1, QI Zisen1, HOU Wenlin1, ZHANG Bo1

(1.Institute of Information and Navigation, Air Force Engineering University, 710077 Xi’an, China；2.Research Center of Equipment Development and Application, Air Force Engineering University, 710051 Xi’an, China)

In order to sort frequency-hopping networks, identify and track signals effectively, an novel joint estimation algorithm based on spatial polarimetric time-frequency analysis is proposed as the solution for the two dimensional direction of arrival (2D-DOA) and polarization estimation of Frequency Hopping (FH) signals in underdetermined condition. First, the data model for polarization sensitive array of FH signals is built. On this basis, the SPSTFT, the extendable form of spatial polarimetric time frequency distributions, is derived. Meanwhile, a new combined time-frequency(TF) analysis method is presented to locate the auto term region of each hop in the TF plane. Consequently, the SPTFD and SPSTFT matrix for each hop is generated. Finally, depending on the spatial and polarization information getting from SPTFD and SPSTFT matrix, the 2D-DOA and polarization are estimated by two different methods. With splendid estimation precision, this novel method requires less computation burden without multiple-parameter optimization and pair-matching. Simulation results show that the proposed algorithm could estimate 2D-DOA and polarization in underdetermined condition effectively, and the SPTFD matrix method has high estimation accuracy.Besides, the collision hop could be processed.

frequency hopping；polarization；direction of arrival；joint estimation; time-frequency distribution; signal processing

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.020

2014-12-21.

國家自然科學基金 (61401499)；陜西省電子信息系統(tǒng)綜合集成重點實驗室資助項目(201501A).

張東偉(1987—)，男，博士研究生；

郭 英(1961—)，女，教授，博士生導師.

張東偉，zdw_dsp616@163.com.

TN911.7

A

0367-6234(2016)04-0121-08