袁永鋒

（南京大學(xué)哲學(xué)系，江蘇南京210023）

【邏輯學(xué)研究】

部分交代謝修正

袁永鋒

（南京大學(xué)哲學(xué)系，江蘇南京210023）

代謝修正是信念修正中一種常見(jiàn)的非優(yōu)先復(fù)合修正。在部分交代謝修正過(guò)程中，認(rèn)知主體往往先接受所有新信息為新信念；然后在后續(xù)認(rèn)知過(guò)程中發(fā)現(xiàn)信念沖突，并借助核心信念來(lái)形成若干競(jìng)爭(zhēng)性候選理論；最后通過(guò)這些候選理論來(lái)發(fā)現(xiàn)和放棄不可信信息，進(jìn)而化解信念沖突，并同時(shí)保護(hù)核心信念。它的公理性假定與函數(shù)式構(gòu)造之間具有信念修正領(lǐng)域的“完全性定理”，即表達(dá)定理。

信念修正；部分交代謝修正；核心信念；保留集

［欄目主持人］北京大學(xué)哲學(xué)系陳波教授

［主持人語(yǔ)］本期發(fā)表兩篇邏輯技術(shù)性很強(qiáng)的論文，它們都借助當(dāng)代邏輯學(xué)與其他領(lǐng)域交叉的某種前沿理論去處理某個(gè)具體問(wèn)題，獲得某種形式化的結(jié)果，并著眼于計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識(shí)表示和知識(shí)推理。這種研究方式值得提倡和肯定。袁永鋒的論文討論部分交代謝修正——一種先膨脹后鞏固并同時(shí)保護(hù)理論硬核的信念修正過(guò)程。該文采用AGM研究范式先對(duì)它做公理性刻畫，并通過(guò)“候選理論”和“核心信念”這兩個(gè)概念來(lái)分析闡述認(rèn)知主體對(duì)不可信信息的發(fā)現(xiàn)與清除，進(jìn)而給出了基于保留集的函數(shù)式構(gòu)造，最后證明了公理性假定和函數(shù)式構(gòu)造這兩種形式刻畫方式之間的等價(jià)性，表明了部分交代謝修正算子具有形式上的“完全性”。張曉君、李晟的論文利用廣義量詞理論所揭示的四個(gè)亞里斯多德量詞的單調(diào)性之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，根據(jù)AAA-1和EAE-1這兩個(gè)顯而易見(jiàn)的公理，推出了亞里斯多德三段論的全部24個(gè)有效式。

信念修正（belief revision）理論是利用符號(hào)邏輯的方法來(lái)刻畫認(rèn)知主體信念狀態(tài)的理性改變的研究領(lǐng)域。它是一個(gè)涉及邏輯學(xué)、形式認(rèn)識(shí)論、哲學(xué)和人工智能等學(xué)科的交叉領(lǐng)域。自從1985年阿爾科榮（C. E.Alchourrón）、加鄧福斯（P.G?rdenfors）和麥金森（D.Makinson）在[1]中確立了信念修正理論的AGM研究范式以來(lái)，信念修正理論形成了各種各樣的研究分支（參閱[2][3]）。其中非優(yōu)先復(fù)合修正理論是最新學(xué)術(shù)前沿，研究文獻(xiàn)相對(duì)較少。近兩年袁永鋒等人對(duì)這一主題進(jìn)行了系統(tǒng)研究。袁永鋒和鞠實(shí)兒在[4]中首先提出并刻畫了理性評(píng)價(jià)機(jī)制。袁永鋒、鞠實(shí)兒和文學(xué)鋒在[5]中刻畫了以評(píng)價(jià)結(jié)果為新信息的評(píng)價(jià)復(fù)合修正。這兩篇文章分別實(shí)現(xiàn)了決策-修正模式（參見(jiàn)[6]）的決策模塊和修正模塊。此外，袁永鋒在[7]中提出并刻畫了基于核心集（kernel set）概念的核心代謝修正算子。它的直觀動(dòng)機(jī)是說(shuō)：“如果（由于有限理性的緣故）認(rèn)知主體并不能立刻從新信息中區(qū)分出不可信信息，那么他通常會(huì)先將這些新信息都作為新信念添加進(jìn)信念庫(kù)中；然后在后續(xù)的認(rèn)知過(guò)程中，他可能會(huì)因信念沖突現(xiàn)象的出現(xiàn)而發(fā)現(xiàn)并放棄不可信信息”。這采用的是漢森（S.O.Hansson）在[6]中提出的另一種信念修正模式，即膨脹-鞏固模式。此模式的膨脹模塊僅是對(duì)舊信念庫(kù)和新信息的集合并運(yùn)算，鞏固模塊則需要從這個(gè)并集中剔除不可信信息，以化解信念沖突。但在鞏固過(guò)程中，理性主體并不是同等對(duì)待所有這些信息，有一些可靠無(wú)疑的信念會(huì)被用來(lái)確定可疑信念的范圍，并且它們同時(shí)會(huì)受到認(rèn)知主體的有意的保護(hù)。鑒于此，這里將采用一種基于保留集（remainder set）概念的構(gòu)造方法，來(lái)刻畫這種受可靠信念所影響的內(nèi)部認(rèn)知機(jī)制，即部分交代謝修正。

一、公理性刻畫

本文采用小寫希臘字母（如α，β，φ，ψ等）表示命題語(yǔ)言L中的命題，用⊥表示任意矛盾式，用大寫拉丁字母（如A，B，C，D等）表示L中的命題集，用Cn和├表示邏輯后承，用P（S）表示S的冪集。在刻畫部分交代謝修正之前，先來(lái)看下面這個(gè)部分交代謝修正的例子。

例子1物理學(xué)家費(fèi)教授相信某物理學(xué)理論體系B，尤其是其核心部分A。有一次，他的同事根據(jù)最新實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了假說(shuō)D。費(fèi)教授認(rèn)為D也是符合直觀的，跟理論體系B并無(wú)沖突，也沒(méi)有明顯不可信的信息。因此，他相信了假說(shuō)D。但在后續(xù)理論研究中，他發(fā)現(xiàn)B和D在某個(gè)細(xì)節(jié)上是相互矛盾的。這種矛盾現(xiàn)象導(dǎo)致無(wú)法同時(shí)相信命題φ和ψ。如果相信命題φ，那么會(huì)形成一個(gè)反對(duì)ψ的理論T1；如果相信命題ψ，那么會(huì)形成一個(gè)反對(duì)φ的競(jìng)爭(zhēng)性理論T2。此時(shí)他可以隨意地支持某個(gè)理論即可。但由于這兩個(gè)命題都受到相應(yīng)理論的反對(duì)，他為慎重考慮，認(rèn)為兩者都有錯(cuò)誤的嫌疑，從而都不相信。并且也不再相信支持這二者的部分相關(guān)命題，而只相信這兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)理論（T1和T2）都贊同或支持的那些命題，從而提出了新的理論體系B′。新體系B′并沒(méi)有全盤否定B，依然保留了B理論中的一些可靠的核心內(nèi)容A，同樣B′也沒(méi)有完全否定D假說(shuō)，而是放棄了一些與A相沖突的不可信信息。

這個(gè)例子表明，當(dāng)認(rèn)知主體不能及時(shí)從新信息中區(qū)分出不可信信息時(shí)，他往往會(huì)相信這些新信息。但這種相信可能會(huì)導(dǎo)致信念狀態(tài)的（潛藏的）不一致性。因此，在后續(xù)認(rèn)知過(guò)程中，他可能會(huì)碰到信念沖突而發(fā)現(xiàn)不可信的信息，并將它們清除出去以化解信念沖突。雖然這種“發(fā)現(xiàn)”與“清除”是主觀的認(rèn)知行動(dòng)，但也往往有理性規(guī)則可循。在遇到信念沖突時(shí)，認(rèn)知主體往往會(huì)徘徊于相信哪個(gè)相關(guān)命題，從而形成若干具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的候選理論，并通過(guò)它們進(jìn)行分析和決策。如果只形成一個(gè)候選理論，那么認(rèn)知主體會(huì)直接相信這個(gè)候選理論。但如果形成兩個(gè)及以上的候選理論，那么認(rèn)知主體往往會(huì)對(duì)那些被若干候選理論所反對(duì)的命題產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而只相信那些所有候選理論都贊同、支持的命題。那么候選理論是否是任意形成的呢？答案自然是否定的。只有滿足某些理性條件的候選理論，認(rèn)知主體才會(huì)認(rèn)為它是具有競(jìng)爭(zhēng)性的。顯然，候選理論應(yīng)當(dāng)滿足一致性。除此以外，最自然的條件就是信念的可靠性，只有包含可靠信念的理論才具有作為候選理論的資格。這種可靠信念與其他信念的不同之處在于，認(rèn)知主體認(rèn)為他們能對(duì)它們作出足夠強(qiáng)的辯護(hù)，并且確信這些信念是千真萬(wàn)確的。正如舒卓和朱菁在[8]中所顯示的那般，信念可以粗略分為兩類：一類是為避免錯(cuò)誤而堅(jiān)守克利福德原則形成的具有證據(jù)支持和合理辯護(hù)的可靠信念，另一類是為避免錯(cuò)失真理而放寬信念門檻形成的尚無(wú)決定性證據(jù)支持的其他信念。比如，例1中費(fèi)教授的可靠信念A(yù)和其他信念。這種可靠信念也就是[4]和[5]中考察的那種核心信念（core beliefs）。對(duì)核心信念和其他信念的區(qū)分甚至可以追溯到科學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯（I.Lakatos）。他的科學(xué)研究綱領(lǐng)理論（參閱[9]）區(qū)分了科學(xué)理論的硬核（hard core）和輔助假設(shè)（auxiliary hypotheses）。在遭遇反常事實(shí)時(shí)，科學(xué)家往往不會(huì)輕易地觸動(dòng)理論的硬核，而是通過(guò)調(diào)整硬核的保護(hù)帶——輔助假設(shè)來(lái)化解理論危機(jī)。麥金森在[10]中也對(duì)核心信念和非核心信念作出了區(qū)分，他把核心信念看作是極其神圣而不可改變的。綜上所述，在部分交代謝修正時(shí)，為了解決信念沖突，必須放棄部分信念以恢復(fù)信念狀態(tài)的一致性；但并不是隨意地放棄信念，核心信念或理論硬核會(huì)通過(guò)候選理論來(lái)影響信念修正過(guò)程，并同時(shí)得到保護(hù)。

從例1可知，部分交代謝修正具有新信息、信念狀態(tài)（或理論體系）和部分交代謝修正算子這三個(gè)組件。對(duì)于新信息，本文用命題集來(lái)表征（如D）。對(duì)于信念狀態(tài)，由于要考慮信念庫(kù)中的核心信念，故這里采用下面這個(gè)形式概念來(lái)表征。

定義1[5]一個(gè)信念狀態(tài)（B，A）是一個(gè)滿足下列條件的二元組：

（1）A?B?L，（2）A是一致的，（3）A是相對(duì)于B邏輯封閉的，即Cn（A）∩B?A。

對(duì)于部分交代謝修正算子，本文用◇來(lái)表示。它是一個(gè)基于信念狀態(tài)（B，A）并以新信息D作為輸入的算子，它的輸出是一個(gè)新的信念狀態(tài)（B，A）◇D。（B，A）◇D仍然是一個(gè)二元組，本文用B◇AD和A◇BD分別表示新信念狀態(tài)的信念庫(kù)和核心信念集。

那么如何修正才是理性的部分交代謝修正呢？袁永鋒在[7]中認(rèn)為應(yīng)當(dāng)遵循三個(gè)原則，即極小改變?cè)瓌t（或者說(shuō)極大效用原則）、一致性原則和保護(hù)性原則。根據(jù)這三個(gè)指導(dǎo)原則，下面給出◇的一些合理的公理性假定。對(duì)于所有的D，D1，D2?L，

其中，前七條公理性假定引用自[7]，下面簡(jiǎn)單說(shuō)明它們的直觀思想，以便于理解。M-BelState：修正結(jié)果（B，A）◇D是一個(gè)信念狀態(tài)。M-CoreInvariance：修正前后的核心信念集是邏輯等價(jià)的，因?yàn)橛蒑-CoreInvariance易證Cn（A◇BD）=Cn（A）。M-Inclusion：新信念庫(kù)里的信念只來(lái)源于舊信念庫(kù)或新信息。M-Protection：認(rèn)知主體會(huì)有意地保護(hù)核心信念，而不會(huì)隨意地放棄這些他們堅(jiān)信的“理論硬核”。M-Consistency：經(jīng)過(guò)鞏固的信念狀態(tài)應(yīng)該是穩(wěn)定的、協(xié)調(diào)的，故可以合理地要求新信念庫(kù)滿足一致性。M-RelClosure：新信念庫(kù)里的信息對(duì)認(rèn)知主體而言都是可信的；如果這些可信信息的某些邏輯后承在B∪D里但卻沒(méi)有在修正過(guò)程中保留下來(lái)，那么這種信念修正是不理性的。M-Vacuity：如果B∪D是一致的，那么認(rèn)知主體在鞏固時(shí)無(wú)法從B∪D中區(qū)分出不可信信息；根據(jù)極大效用原則，不需要從B∪D中放棄任何信息，即新信念庫(kù)應(yīng)包含B∪D中的所有信息。最后兩條公理性假定刻畫的是部分交代謝修正的獨(dú)特性質(zhì)。M-Irrelevance的直觀涵義是說(shuō)：如果信念庫(kù)B分別與兩新信息的并集的交集外信息都是矛盾式，那么這些交集外信息都是不可信的，都應(yīng)當(dāng)在修正過(guò)程中被刪除；因此，保留下來(lái)的可信信息只與該交集相關(guān)，從而最終這兩個(gè)新信念庫(kù)應(yīng)該相等。M-Relevance從兩方面作出要求：每一個(gè)被放棄的不可信信息都不僅不能是核心信念集A的邏輯后承，而且必須在某種意義上是不可信的信念。第一個(gè)要求使得核心信念得到保護(hù)。第二個(gè)要求的直觀意思是說(shuō)：能夠在B∪D范圍內(nèi)找到一個(gè)一致子集對(duì)被放棄的ψ構(gòu)成反駁；并且提供這種反駁的這個(gè)一致子集必須以認(rèn)知主體所認(rèn)為的可信信息B◇AD作為基礎(chǔ)。

上述這些公理性假定并不都是相互獨(dú)立的，它們具有下列相互關(guān)系。

命題1令（B，A）∈B。

（1）M-Relevance?M-Protection。

（2）M-Relevance?M-Vacuity。

（3）M-Relevance?M-RelClosure。

（4）M-BelState+M-CoreInvariance?M-Protection。

證明：（1）、（2）和（4）易證，略。

（3）令◇滿足M-Relevance。用反證法，假設(shè)Cn（B◇AD）∩（B∪D）B◇AD，故存在ψ∈（B∪D）B◇AD使得B◇AD├ψ。由ψ∈（B∪D）B◇AD和M-Relevance知：存在C?B∪D使得B◇AD?C且C⊥但C∪{ψ}├⊥。由于B◇AD?C且B◇AD├ψ，故C├ψ，故Cn（C）=Cn（C∪{ψ}）。這與C⊥且C∪{ψ}├⊥產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，M-RelClosure成立。

二、函數(shù)式構(gòu)造

本節(jié)將給出部分交代謝修正算子◇的函數(shù)式構(gòu)造。根據(jù)極大效用原則、一致性原則和上面對(duì)例1的分析闡述易知，這里需要構(gòu)造極大一致的候選理論，故采用阿爾科榮等提出的保留集概念來(lái)構(gòu)造。

定義2[11]125～148令B，C?L。X∈B▽C當(dāng)且僅當(dāng)X滿足下列條件：

（1）X?B，（2）Cn（X）∩C=?，（3）如果X?Y?B，那么Cn（Y）∩C≠?。

這里把B▽C稱為C-保留集，把B▽C的元素稱為C-保留（C-remainder）。由條件（1）和（2）知，此“C-保留”的直觀意思是指在邏輯上去除C中所有內(nèi)容后保留的部分；而且由條件（3）知，這樣的C-保留都是B中極大的。當(dāng)C中只有一個(gè)元素（如{φ}）時(shí)，將B▽C簡(jiǎn)記為B▽?duì)?。如果C是{⊥}，那么C-保留就是B的極大一致子集。

保留集概念具有下面兩個(gè)有趣性質(zhì)，即上界性和等價(jià)性，這兩個(gè)性質(zhì)在后續(xù)定理證明中非常有用。

引理1（上界性[2]38）令B，C?L。如果Z?B且Cn（Z）∩C=?，那么存在X使得Z?X∈B▽C。

引理2（等價(jià)性）令M，N?L。那么M▽⊥=N▽⊥??φ∈（M∪N）（M∩N）（φ├⊥）。

證明：左邊?右邊：令左邊成立。用反證法，假設(shè)?φ∈（M∪N）（M∩N）使得φ⊥。分兩種情況導(dǎo)出矛盾。φ∈MN的情況：由{φ}?M、{φ}⊥和上界性知存在X使得{φ}?X∈M▽⊥，故由左邊得{φ}?X∈N▽⊥，故φ∈N，產(chǎn)生矛盾；φ∈NM的情況：由對(duì)稱性知可類似地導(dǎo)出矛盾，略。由于在這兩種情況下都導(dǎo)出矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，因此右邊成立。

右邊?左邊：令右邊成立，分兩個(gè)方向證明左邊。M▽⊥?N▽⊥：令X∈M▽⊥。故X?M且X⊥。假設(shè)XM∩N，故XN，故存在τ∈XN，故τ∈（M∪N）（M∩N），由右邊得τ├⊥，故由τ∈X得X├⊥。這與X∈M▽⊥相矛盾，故假設(shè)XM∩N錯(cuò)誤，X?M∩N?N成立。下證X∈N▽⊥。用反證法，假設(shè)XN▽⊥。由X?N、X⊥和定義2知存在Y?N使得X?Y且Y⊥。類似地，假設(shè)YM∩N，故由Y?N得YM，故存在τ∈YM，故τ∈（M∪N）（M∩N），由右邊得τ├⊥，故由τ∈Y得Y├⊥，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)YM∩N錯(cuò)誤，Y?M∩N?M成立。由X?Y?M和Y⊥得X?M▽⊥，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)XN▽⊥錯(cuò)誤，X∈N▽⊥成立，故M▽⊥?N▽⊥。M▽⊥?N▽⊥：由對(duì)稱性知可類似地證明。證畢。

部分交代謝修正分為膨脹和鞏固兩個(gè)模塊（或階段）。由于膨脹模塊只是信念庫(kù)和新信息的集合并運(yùn)算，故鞏固模塊才是部分交代謝修正的關(guān)鍵過(guò)程。這里鞏固模塊的主要功能是：在遭遇信念沖突時(shí)，借助核心信念和候選理論來(lái)發(fā)現(xiàn)和去除不可信信息，從而化解信念沖突或理論危機(jī)，并同時(shí)保護(hù)核心信念。那么如何發(fā)現(xiàn)并去除不可信信息呢？這里可仿照一票否決制的投票規(guī)則。在以投票作為決策方法的會(huì)議上，往往會(huì)有若干待議方案，而這些方案中往往會(huì)存在一些相互沖突的方案，需要作出取舍。如果一個(gè)方案遭到一個(gè)及以上投票者的慎重反對(duì)的話，那么這個(gè)方案很可能是有瑕疵或弊端的。如果參與這個(gè)決策會(huì)議的投票者都具有一票否決權(quán)的話，那么只要有一個(gè)投票者反對(duì)某方案，該方案就不會(huì)被采納。只有那些被所有投票者都贊成或支持的方案才會(huì)被采納。部分交代謝修正的鞏固階段也與此類似。就如第一節(jié)對(duì)例1的分析闡述所言，當(dāng)出現(xiàn)信念沖突時(shí)，認(rèn)知主體對(duì)這些沖突信念的不同取舍會(huì)導(dǎo)致不同的競(jìng)爭(zhēng)性候選理論。這些候選理論既會(huì)“支持”一些信念，也會(huì)“反對(duì)”另一些信念。它們就相當(dāng)于上述“投票者”，而每個(gè)信念就相當(dāng)于一個(gè)“待議方案”。被候選理論所反對(duì)的信念很可能是不可信的信息。如果采用“一票否決制”的謹(jǐn)慎態(tài)度，那么這些不可信信息在鞏固過(guò)程中都應(yīng)當(dāng)被放棄。只有那些被所有候選理論都支持的信念，才被保留下來(lái)。

當(dāng)然，候選理論并不是隨便形成的；不是越多越好，也并不是越少越好。雖然它們的形成依賴于認(rèn)知主體的主觀選擇，但其候選資格卻依賴于一些相對(duì)客觀的理性條件。首先，由極大效用原則和一致性原則知，應(yīng)盡可能地保留更多相互一致的有用信息；而且舊信念庫(kù)B∪D里的可信信息都藏在它的極大一致子集里面；故可合理假定這些候選理論是B∪D的⊥-保留。其次，由保護(hù)性原則知，核心信念都應(yīng)當(dāng)在修正過(guò)程中保留下來(lái)，這要求候選理論都應(yīng)當(dāng)包含這些核心信念，即Cn（A）∩（B∪D）；否則，該理論不具有作為候選理論的資格。但是滿足這兩個(gè)理性條件的候選理論可能不止一個(gè)，因此認(rèn)知主體需要進(jìn)一步在眾多候選理論中進(jìn)行挑選。把挑選出來(lái)的若干合格的候選理論作為“投票者”，并把它們都支持的信念保留下來(lái)，而把那些受到一個(gè)及以上候選理論所反對(duì)的信念放棄掉。這就是部分交代謝修正的直觀思想。更簡(jiǎn)潔地說(shuō)，認(rèn)知主體先從⊥-保留集中挑選出若干具備資格的⊥-保留作為候選理論，然后把它們的交運(yùn)算結(jié)果作為新信念庫(kù)，而把其他信念作為不可信信息放棄掉。

如圖，R1和R2是認(rèn)知主體所挑選的兩個(gè)候選理論，它們都滿足上述兩個(gè)理性條件，是包含核心信念Cn（A）∩（B∪D）的⊥-保留。圖中有四個(gè)區(qū)域：R1∩R2、（B∪D）（R1∪R2）、R1（R1∩R2）和R2（R1∩R2）。直觀而言，R1∩R2里的信息比其他區(qū)域更加可信，因?yàn)樗鼈兌际艿剿泻蜻x理論（即R1和R2）的支持（如果X├φ，那么稱X支持φ），如核心信念Cn（A）∩（B∪D）。類似的，（B∪D）（R1∪R2）里的信息與其他區(qū)域的信息相比更加不可信，因?yàn)樗鼈兌际艿剿泻蜻x理論的排斥①如果X├┓φ，那么稱X排斥或反對(duì)φ。由于R1和R2都是⊥-保留，即B∪D的極大一致子集，所以根據(jù)定義2知它們各自與任何其他信念的并集都會(huì)導(dǎo)致矛盾。也就是說(shuō)，候選理論R1和R2各自都排斥其他信念。，如Z1。居于這兩個(gè)區(qū)域中間的是R1（R1∩R2）和R2（R1∩R2），它們內(nèi)部的信息雖然都各自受到了一個(gè)候選理論的支持，但同時(shí)也受到了另一候選理論的排斥，從而也是不太可信的，如Z2。因此，可以理性地假定認(rèn)知主體將候選理論R1和R2都支持的R1∩R2作為部分交代謝修正后保留的可信信息。正如例1中費(fèi)教授的做法。

（圖1）

下面來(lái)定義這種挑選候選理論的代謝選擇函數(shù)。

定義3令（B，A）∈B。γ:P（P（L））→P（L）是基于（B，A）的代謝選擇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的保留集（B∪D）▽⊥，

（1）γ（（B∪D）▽⊥）?（B∪D）▽⊥，

（2）γ（（B∪D）▽⊥）≠?，且對(duì)每個(gè)X∈γ（（B∪D）▽⊥）都有Cn（A）∩（B∪D）?X。

這里有兩點(diǎn)值得注意。第一，條件（2）的可行性取決于（B∪D）▽⊥中是否存在滿足“Cn（A）∩（B∪D）?X”的⊥-保留，使得代謝選擇函數(shù)可以將它們挑選出來(lái)。下面這個(gè)命題說(shuō)明答案是肯定的。

命題2令（B，A）∈B且D?L。那么存在X∈（B∪D）▽⊥使得Cn（A）∩（B∪D）?X成立。

證明：由（B，A）∈B知Cn（A）∩{⊥}=?。由于Cn（A）∩（B∪D）?Cn（A），故Cn（Cn（A）∩（B∪D））∩{⊥}?Cn（A）∩{⊥}，從而Cn（Cn（A）∩（B∪D））∩{⊥}=?。由Cn（A）∩（B∪D）?B∪D、Cn（Cn（A）∩（B∪D））∩{⊥}=?和上界性知存在X使得Cn（A）∩（B∪D）?X∈（B∪D）▽⊥。證畢。

第二，定義3要求γ是函數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)所有D1，D2?L，它必須滿足下面這個(gè)條件：

（#）如果（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥，那么γ（（B∪D1）▽⊥）=γ（（B∪D2）▽⊥）。

那么這個(gè)條件是否與條件（1）、（2）相一致呢？這個(gè)問(wèn)題是關(guān)鍵的，它關(guān)涉到γ是否是可構(gòu)造的。下面命題表明答案是肯定的。

命題3令（B，A）∈B，并且?D?L（γ（（B∪D）▽⊥）={X∈（B∪D）▽⊥|Cn（A）∩（B∪D）?X}）。那么γ滿足定義3的條件（1）、（2）和條件（#）。

證明：條件（1）顯然成立。條件（2）：由命題2易證。條件（#）：令（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥。由等價(jià)性得?φ∈（（B∪D1）∪（B∪D2））（（B∪D1）∩（B∪D2））都有φ├⊥。假設(shè)Cn（A）∩（B∪D1）≠Cn（A）∩（B∪D2）。故存在ψ∈Cn（A）∩（B∪D1）使得ψ?B∪D2或者存在ψ∈Cn（A）∩（B∪D2）使得ψ?B∪D1。當(dāng)前者成立時(shí)，ψ∈（B∪D1）（B∪D2），故ψ├⊥，再由ψ∈Cn（A）得A├⊥，這與（B，A）∈B相矛盾；當(dāng)后者成立時(shí)，可類似地導(dǎo)出矛盾。因此假設(shè)錯(cuò)誤。從而由γ的定義和（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥可得γ（（B∪D1）▽⊥）={X∈（B∪D1）▽⊥|Cn（A）∩（B∪D1）?X}={X∈（B∪D2）▽⊥|Cn（A）∩（B∪D2）?X}=γ（（B∪D2）▽⊥）。即γ（（B∪D1）▽⊥）=γ（（B∪D2）▽⊥）。故條件（#）成立。證畢。

有了代謝選擇函數(shù)，下面來(lái)定義部分交代謝修正算子的函數(shù)式構(gòu)造，將候選理論皆贊成或支持的可信信息保留下來(lái)。

定義4令（B，A）∈B，γ是基于（B，A）的代謝選擇函數(shù)。

（1）由γ構(gòu)造的基于（B，A）的部分交代謝修正算子◇γ是這樣定義的：對(duì)所有的D?L，（B，A）◇γD（B′，A′），其中B′=∩γ（（B∪D）▽⊥），A′=Cn（A）∩B′。

（2）算子◇是基于（B，A）的部分交代謝修正算子當(dāng)且僅當(dāng)存在代謝選擇函數(shù)γ使得對(duì)所有的D?L，都有（B，A）◇D（B，A）◇γD。

例子2令φ和ψ為不相關(guān)的原子命題，信念庫(kù)B={φ，ψ}，核心信念集A={φ}，新信息D={┓φ，φ→ψ，┓φ→┓ψ，ψ}。據(jù)定義2易得（B∪D）▽⊥={{φ，φ→ψ，┓φ→┓ψ，ψ}，{┓φ，φ→ψ，┓φ→┓ψ}，{┓φ，φ→ψ，ψ}}。容易驗(yàn)證，滿足定義3條件（1）（2）的選擇方案只有一個(gè)，即γ（（B∪D）▽⊥）={{φ，φ→ψ，┓φ→┓ψ，ψ}}。由于B中的φ和D中的┓φ→┓ψ都是核心信念集A的邏輯后承，故受到γ的保護(hù)。由γ構(gòu)造的部分交代謝修正算子對(duì)新信息D的修正結(jié)果為（B，A）◇γD（B′，A′），其中B′=∩γ（（B∪D）▽⊥）={φ，φ→ψ，┓φ→┓ψ，ψ}，A′=Cn（A）∩B′={φ，┓φ→┓ψ}。

三、表達(dá)定理

上面第一節(jié)和第二節(jié)分別對(duì)部分交代謝修正算子進(jìn)行了公理性刻畫和函數(shù)式構(gòu)造。它們分別從公理性質(zhì)和可計(jì)算函數(shù)這兩個(gè)方面對(duì)部分交代謝修正過(guò)程進(jìn)行了刻畫。那么這兩種刻畫之間是什么關(guān)系呢？這種函數(shù)式構(gòu)造是否等價(jià)于若干公理性假定的組合呢？這一節(jié)將證明它們之間具有等價(jià)性，即表達(dá)定理。表達(dá)定理是信念修正理論中最重要的結(jié)果，它是信念修正理論領(lǐng)域中的“完全性定理”。

定理1令（B，A）∈B。算子◇是基于（B，A）的部分交代謝修正算子當(dāng)且僅當(dāng)它滿足：M-BelState，M-CoreInvariance，M-Inclusion，M-Consistency，M-Irrelevance和M-Relevance。

證明：（I）函數(shù)式構(gòu)造?公理性假定：

M-BelState和M-Inclusion：容易證明，略。

M-CoreInvariance：由定義4知A◇BD=A′=Cn（A）∩B′，故只要證明Cn（A）∩B′=Cn（A）∩（B∪D）即可。?方向是顯然的。假設(shè)Cn（A）∩B′Cn（A）∩（B∪D），故存在τ∈Cn（A）∩（B∪D）使得τ?B′=∩γ（（B∪D）▽⊥）。由定義3得γ（（B∪D）▽⊥）≠?，再由τ?∩γ（（B∪D）▽⊥）知存在X∈γ（（B∪D）▽⊥）使得τ?X。再由定義3得τ?Cn（A）∩（B∪D），產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤。

M-Consistency：假設(shè)B◇AD├⊥，即∩γ（（B∪D）▽⊥）├⊥。由定義3得γ（（B∪D）▽⊥）≠?，從而每個(gè)X∈γ（（B∪D）▽⊥），都有X├⊥成立，與X∈（B∪D）▽⊥矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤。

M-Irrelevance：令?φ∈（（B∪D1）∪（B∪D2））（（B∪D1）∩（B∪D2））都有φ├⊥。由等價(jià)性得（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥。由γ的定義得γ（（B∪D1）▽⊥）=γ（（B∪D2）▽⊥）。故B◇AD1=∩γ（（B∪D1）▽⊥）=∩γ（（B∪D2）▽⊥）=B◇AD2，即B◇AD1=B◇AD2。故M-Irrelevance成立。

M-Relevance：令ψ∈（B∪D）B◇AD。故ψ∈B∪D且ψ?B◇AD=∩γ（（B∪D）▽⊥）。又由定義3（2）得γ（（B∪D）▽⊥）≠?，故存在X∈γ（（B∪D）▽⊥）使得ψ?X，并由ψ∈B∪D和定義3（2）知ψ?Cn（A），即Aψ。令C=X，由X∈γ（（B∪D）▽⊥）得∩γ（（B∪D）▽⊥）?X，即B◇AD?C。由C∈（B∪D）▽⊥得C是一致的，并且由ψ?X=C和ψ∈B∪D得C?C∪{ψ}?B∪D，故由定義2和C∈（B∪D）▽⊥得C∪{ψ}是不一致的。因此M-Relevance成立。

（II）公理性假定?函數(shù)式構(gòu)造：

定義基于（B，A）的映射γ使其滿足：對(duì)任意的D?L都有γ（（B∪D）▽⊥）={X∈（B∪D）▽⊥|B◇AD?X}。定義基于（B，A）的算子°使其滿足：對(duì)任意的D?L都有（B，A）°D（B′，A′），其中B′=∩γ（（B∪D）▽⊥），A′=Cn（A）∩B′。下面要證明（a）、（b）和（c）。

（a）γ是良定義的函數(shù)：令（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥，這里要證γ（（B∪D1）▽⊥）=γ（（B∪D2）▽⊥）。由等價(jià)性和（B∪D1）▽⊥=（B∪D2）▽⊥可得?φ∈（（B∪D1）∪（B∪D2））（（B∪D1）∩（B∪D2））都有φ├⊥。再由M-Irrelevance得B◇AD1=B◇AD2。因此，γ（（B∪D1）▽⊥）={X∈（B∪D1）▽⊥|B◇AD1?X}= {X∈（B∪D1）▽⊥|B◇AD2?X}={X∈（B∪D2）▽⊥|B◇AD2?X}=γ（（B∪D2）▽⊥）。

（b）γ是基于（B，A）的代謝選擇函數(shù)：條件（1）：顯然滿足。條件（2）：由M-Consistency得B◇AD⊥，由M-Inclusion得B◇AD?B∪D，再由上界性知存在Y使得B◇AD?Y∈（B∪D）▽⊥。故由γ（（B∪D）▽⊥）的定義知Y∈γ（（B∪D）▽⊥）≠?。假設(shè)存在X∈γ（（B∪D）▽⊥）使得Cn（A）∩（B∪D）X成立。故存在τ∈Cn（A）∩（B∪D）使得τ?X。再由X∈γ（（B∪D）▽⊥）={X∈（B∪D）▽⊥|B◇AD?X}得τ?B◇AD。由τ∈B∪D、τ?B◇AD和M-Relevance得Aτ，產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤。因此條件（2）成立。

B◇AD=B′：由γ（（B∪D）▽⊥）的定義知每個(gè)X∈γ（（B∪D）▽⊥）都有B◇AD?X，又由（b）知γ（（B∪D）▽⊥）≠?，故B◇AD?∩（（B∪D）▽⊥）=B′。假設(shè)B′B◇AD，那么存在φ∈B′但φ?B◇AD。由φ∈B′得φ∈∩γ（（B∪D）▽⊥），故?X（（X∈γ（（B∪D）▽⊥））?（φ∈X））。由φ∈∩γ（（B∪D）▽⊥）得φ∈B∪D。由φ?B◇AD、φ∈B∪D和M-Relevance知：存在C?B∪D使得B◇AD?C且C⊥但C∪{φ}├⊥。由C?B∪D、C⊥和上界性知存在Y?C使得Y∈（B∪D）▽⊥。由B◇AD?C和Y?C得B◇AD?Y，加上Y∈（B∪D）▽⊥可知Y∈γ（（B∪D）▽⊥）。在此前提下，再假設(shè)φ∈Y，再由Y?C可得C∪{φ}?Y，由于C∪{φ}├⊥，故Y├⊥，與Y∈（B∪D）▽⊥矛盾，故假設(shè)φ∈Y錯(cuò)誤，φ?Y成立。而由φ?Y和Y∈γ（（B∪D）▽⊥）可得?X（（X∈γ（（B∪D）▽⊥））∧（φ?X）），這與上面的?X（（X∈γ（（B∪D）▽⊥））?（φ∈X））相矛盾，故假設(shè)B′B◇AD錯(cuò)誤，B′?B◇AD成立。因此，B◇AD=B′。

A◇BD=A′：由M-CoreInvariance和°的定義知即證Cn（A）∩（B∪D）=Cn（A）∩B′。?方向是顯然的。假設(shè)Cn（A）∩（B∪D）Cn（A）∩B′，故存在τ∈Cn（A）∩（B∪D）使得τ?B′=∩γ（（B∪D）▽⊥）。再由（b）中已證的γ（（B∪D）▽⊥）≠?可知存在X∈γ（（B∪D）▽⊥）使得τ?X，再由X∈γ（（B∪D）▽⊥）可得τ?B◇AD。由τ∈（B∪D）B◇AD和M-Relevance得Aτ，與τ∈Cn（A）相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤。

B°AD∈B：由B◇AD=B′、A◇BD=A′和M-BelState即得。證畢。

由命題1和定理1易得下面推論。

推論1令（B，A）∈B。如果算子◇是基于（B，A）的部分交代謝修正算子，那么它也滿足：M-Vacuity，M-Protection和M-RelClosure。

四、結(jié)語(yǔ)

部分交代謝修正是一種先膨脹后鞏固并同時(shí)保護(hù)理論硬核的信念修正過(guò)程。本文采用AGM研究范式對(duì)它進(jìn)行了公理性刻畫，并通過(guò)“候選理論”和“核心信念”這兩個(gè)概念來(lái)分析闡述認(rèn)知主體對(duì)不可信信息的發(fā)現(xiàn)與清除，進(jìn)而給出了基于保留集的函數(shù)式構(gòu)造，最后證明了公理性假定和函數(shù)式構(gòu)造這兩種形式刻畫方式之間的等價(jià)性，表明了部分交代謝修正算子具有形式上的“完全性”。這種分析刻畫從符號(hào)邏輯的角度闡述了理論危機(jī)的產(chǎn)生和化解過(guò)程的各種細(xì)節(jié)，能夠促進(jìn)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的信念沖突與修正現(xiàn)象的更加精致的高階認(rèn)知。此外，人工智能研究者也可以從這種形式認(rèn)識(shí)論的思想中得到借鑒，設(shè)計(jì)出更加符合現(xiàn)實(shí)的、更具個(gè)性的、更有原則立場(chǎng)的認(rèn)知主體。

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［責(zé)任編輯：熊顯長(zhǎng)］

B81

A

1001－4799（2016）06－0025－07

2016-05-16

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金青年資助項(xiàng)目：16CZX051；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目：2015M581778

袁永鋒（1986-），男，廣東興寧人，南京大學(xué)哲學(xué)系助理研究員，哲學(xué)博士，主要從事哲學(xué)邏輯研究。