包永梅

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070 )

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新的函數(shù)變換與Newell方程新的精確解

包永梅

(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070 )

為了構(gòu)造非線性數(shù)學(xué)物理方程N(yùn)ewell方程新的精確解，基于輔助方程法思想，對Newell方程做行波變換得到常微分方程，利用新的函數(shù)變換即反正切函數(shù)變換,并借助Riccati輔助方程解得到了Newell方程新的精確解.

Newell方程；函數(shù)變換；精確解

一直以來尋找非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解是一項(xiàng)非常重要的工作.目前已被很多數(shù)學(xué)學(xué)者研究，并提出了許多有效的方法.如齊次平衡法[1]、輔助方程法[2]、試探函數(shù)法[3-4]、Hirota雙線性方法[5]、函數(shù)變換法[6]、雙曲函數(shù)展開法[7]等.由于Newell方程在非線性數(shù)學(xué)物理理論研究中應(yīng)用廣泛，主要在流體力學(xué)、電磁場、海岸波浪的模擬、非線性晶格的振動(dòng)等領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用.

Newell方程為

(1)

文獻(xiàn)[10]利用雙曲函數(shù)展開法及改進(jìn)的試探函數(shù)法得到了方程(1)的孤波精確解.除了文獻(xiàn)[10]以外，還尚未發(fā)現(xiàn)其他文獻(xiàn)報(bào)到得到其他類型的精確解.

本文受到文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，利用新的函數(shù)變換，借助Riccati輔助方程解，得到了Newell方程新的精確類孤子解、三角函數(shù)解.

1 Newell方程新的精確解

對于Newell方程(1)，設(shè)有行波解

(2)

其中k與ω為待定常數(shù).

將(2)式代入方程(1)，對ξ積分一次得到如下形式的常微分方程:

(3)

對方程(3)做新的函數(shù)變換

(4)

其中z(ξ)滿足Riccati方程，即

(5)

由變換(4)容易得到

(6)

(7)

(8)

將(6)～(8)式與(5)式相結(jié)合代入方程(3)，再比較zi(i=0,2,4,6,8)的系數(shù)，并令其為零，得到下面方程組

求解方程組(9)得兩組解

(10)

(11)

綜上，根據(jù)(4)，(10)，(11)式，方程(1)的精確解可以表示為:

(12)

(13)

因此，只要給出Riccati方程z′(ξ)=R+z2(ξ)的解的形式就可以得到Newell方程的精確解.文獻(xiàn)[9]中給出的Riccati方程解整理分類可以得到如下解：

1)R>0時(shí)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2)R<0時(shí)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

然后，把Riccati方程解(14)～(29)式，代入(12)，(13)式得到Newell方程的精確解：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

2 結(jié)束語

[1] 范恩貴,張鴻慶.非線性孤子方程的齊次平衡法[J].物理學(xué)報(bào),1998,47(3):353.

[2] 斯仁道爾吉.輔助方程法與非線性發(fā)展方程的孤立波解[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版),2003,32(1):1.

[3] 套格圖桑,斯仁道爾吉,王慶鵬.兩類試探函數(shù)法構(gòu)造差分微分方程的精確解[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版),2010,39(4):325．

[4] 謝元喜,唐駕時(shí).用試探函數(shù)法求 KdV-Burgers 方程的精確解析解[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,32(6):118.

[5] 張解放,郭冠平.(2+1)維破裂孤子方程的新多孤子解[J].物理學(xué)報(bào),2006,52(10):2359.

[6] 韓家驊,張苗,劉忠飛,等.新的函數(shù)變換法與一類非線性波方程的精確孤波解[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,30(2):48.

[8] CHEN W,CHEN H L,DAI Z D.Interaction of three waves for the extension(2+1)-dimensional sine-gordon equation[J].CommunTheorPhys,2014,62:707.

[9] Sirendaoreji.A new application of the extended tanh-function method[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版),2007,36(4):391．

[10] 謝元喜.Newell方程的精確解[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,28(1):5.

(責(zé)任編輯 孫對兄)

New function transformation and new exact solutions of Newell equation

BAO Yong-mei

(School of Mathematics and Statistics,Inner Mongolia Finance and Economics University,Huhhot 010070,Inner Mongolia,China)

In this paper,in order to construct new exact solutions for nonlinear mathematical physical Newell equation,ordinary differential equations is obtained by make traveling wave transformation to Newell equations.Based on the thought of the auxiliary equation method,new exact solutions of Newell equation are obtained by using new function transformation that is anti tangent function transformation and with Riccati auxiliary equation.

Newell equation;function transformation;exact solution

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.009

2015-09-12;修改稿收到日期:2015-12-01

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015MS0113)

包永梅(1982—)，女,內(nèi)蒙古通遼市人，講師.主要研究方向?yàn)楣铝⒆优c可積系統(tǒng)理論及其應(yīng)用.

E-mail:yongmei200871@163.com

O 175.29

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0040-03