李湘江

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

卵圓方程研究

李湘江

(長(zhǎng)沙理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

卵圓是生活中非常常見(jiàn)的圖形，但數(shù)學(xué)和工程學(xué)中對(duì)卵圓沒(méi)有明確的定義。對(duì)于卵圓的研究仍然停留在圓和橢圓的階段。根據(jù)卵圓的描述性定義，給出了卵圓的卵心、卵圓的長(zhǎng)半徑、卵圓的短半徑和卵圓的對(duì)稱(chēng)半徑等概念，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)首次提出了一種三次卵圓方程及標(biāo)準(zhǔn)卵圓方程。給出某些三次方程是否為卵圓方程的判別方法，以及卵圓長(zhǎng)、短半徑和卵圓對(duì)稱(chēng)半徑的求法。在一定程度上解決了卵圓無(wú)單一數(shù)學(xué)表達(dá)的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)真實(shí)雞蛋照片的圖像分析，取得照片中雞蛋的長(zhǎng)、短半徑和對(duì)稱(chēng)半徑的實(shí)際參數(shù)值，代入卵圓方程，運(yùn)用計(jì)算機(jī)程序繪制卵圓方程圖形，與真實(shí)雞蛋照片進(jìn)行比照，能達(dá)到高度吻合的效果。

卵圓；卵圓方程；卵心；長(zhǎng)半徑；短半徑；對(duì)稱(chēng)半徑

自然界是如此的美妙和神奇，為科學(xué)與工程學(xué)提供了各種各樣的素材和靈感。人們從拋體運(yùn)動(dòng)獲得了拋物線(xiàn)及其方程，從天體運(yùn)動(dòng)獲得了橢圓及其方程，而常見(jiàn)的各種鳥(niǎo)類(lèi)、禽類(lèi)和爬行動(dòng)物的卵的縱截面形狀，被人們習(xí)慣地稱(chēng)之為卵圓或卵形線(xiàn)。盡管人們對(duì)卵圓的直觀認(rèn)識(shí)由來(lái)已久，但至今未能對(duì)卵圓有一個(gè)明確的定義，仍然停留在圓[1]和橢圓[2]階段，更未能給出卵圓的曲線(xiàn)方程；卵圓曲線(xiàn)大都是通過(guò)圓和橢圓的拼湊或組合形式即分段函數(shù)的形式給出[3]。本文通過(guò)分析，獲得了三次曲線(xiàn)中的一種卵圓方程及標(biāo)準(zhǔn)卵圓方程。

1 卵圓及其相關(guān)概念

眾所周知，卵圓類(lèi)似于橢圓，但是一頭大，一頭小，且有一條對(duì)稱(chēng)軸。這可視為卵圓的一種描述性定義。若取這條對(duì)稱(chēng)軸為x軸，小頭方向?yàn)閤軸的正向，把通過(guò)卵圓上、下的兩個(gè)頂點(diǎn)S、T的直線(xiàn)設(shè)為y軸，并設(shè)卵圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)即卵圓左、右兩個(gè)頂點(diǎn)為Q、P。并將線(xiàn)段ST與PQ的交點(diǎn)即坐標(biāo)系的原點(diǎn)O(0,0)稱(chēng)為卵圓的卵心，線(xiàn)段OP稱(chēng)為卵圓的長(zhǎng)半徑，其長(zhǎng)度記為a；線(xiàn)段OQ稱(chēng)為卵圓的短半徑，其長(zhǎng)度記為b；線(xiàn)段OS(或OT)稱(chēng)為卵圓的對(duì)稱(chēng)半徑，其長(zhǎng)度記為c。線(xiàn)段PQ稱(chēng)為卵圓的直徑，其長(zhǎng)度記為d，顯然d = a + b，線(xiàn)段ST稱(chēng)為卵圓的對(duì)稱(chēng)直徑，顯然ST = 2c。并將卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑a、b、c稱(chēng)為卵圓的3個(gè)特征參數(shù)。卵圓及其在直角坐標(biāo)系的示意圖如圖1所示。

圖1 卵圓及其在直角坐標(biāo)系示意圖

2 卵圓方程推導(dǎo)

下面來(lái)探求以正數(shù)a、b、c (a＞b)為卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑，以原點(diǎn)O(0,0)為卵心的卵圓的方程。

一般的二次方程表達(dá)式為

上式所表示的曲線(xiàn)不外乎為橢圓(圓是橢圓的特例)、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)，或脫化成兩條直線(xiàn)或一點(diǎn)，或者為空集[4]。故卵圓方程不可能在二次方程中找到。

因此轉(zhuǎn)而考慮如下的三次方程

因?yàn)槁褕A是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的，故其方程中，關(guān)于y的一次項(xiàng)不能出現(xiàn)，而關(guān)于y的平方項(xiàng)一定出現(xiàn)；又卵圓不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故式(1)中的常數(shù)項(xiàng)不能為零。因此式(1)中只有當(dāng)?shù)诙⑽?、七?xiàng)不出現(xiàn)時(shí)，才有可能成為卵圓方程，于是卵圓方程可在如下的三次方程中來(lái)尋找

其中，系數(shù)A、B、C、D、E均不為零。

下面進(jìn)一步探求式(2)中的系數(shù)要滿(mǎn)足何種條件方能成為卵圓方程呢？為此，用 A(A≠0)去除式(2)的兩邊，令首項(xiàng)(三次項(xiàng))的系數(shù)為1，得到

(4)

當(dāng)已知卵圓的長(zhǎng)、短和對(duì)稱(chēng)半徑分別為a、b、 c (a＞b)時(shí)，可確定卵圓方程式(3)中的系數(shù)K、L、M、N。為此，先將式(3)變成顯函數(shù)形式

并求出導(dǎo)數(shù)，得到化簡(jiǎn)式

因?yàn)轫旤c(diǎn)P(a,0)、Q(-b,0)、S(0,c)均在卵圓上，故這3點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足式(3)，從而得到

又頂點(diǎn)S(0,c)應(yīng)是卵圓曲線(xiàn)的極值點(diǎn)，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零，從而由式(6)得到

聯(lián)立式(7)、(8)即可解得

將式(9)代入式(3)，即得

或

或

式(10)～(13)就是已知卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑a、b、c的3個(gè)特征參數(shù)，以原點(diǎn)O(0,0)為卵心的卵圓方程。其中式(12)稱(chēng)為卵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由式(9)可知：K＞0、L＞0、M＜0且N=LM，故卵圓方程又可表示為

其中，K＞0、L＞0、M＜0。且由式(9)的前3個(gè)等式反解之，可得卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑

又比較式(2)與式(11)可得

故知，當(dāng)A＞0、B＞0、C＞0時(shí)

式(17)為卵圓方程，且由式(16)的前3個(gè)等式反解可得卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑

在式(12)及式(13)中，令

則知，當(dāng)α＞0、β＞0、γ＞0時(shí)

均亦為卵圓方程，且由式(19)反解可得卵圓的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑

當(dāng)b=a時(shí)，即卵圓的短半徑與長(zhǎng)半徑相等時(shí)，由式(12)可得

式(23)即為橢圓方程。故卵圓是橢圓的擴(kuò)充或推廣，而橢圓是卵圓的特款。

3 實(shí)例與仿真驗(yàn)證

3.1 實(shí)例

下面給出一個(gè)具體的三次卵圓方程，取a=6、b=4、c=3，則由式(10)或式(11)、式(12)、式(13)即得其卵圓方程

方程式(24)在區(qū)間[-4,6]上，用計(jì)算機(jī)繪制的圖形如圖2所示。

或

圖2 方程式(24)的圖形

3.2 仿真驗(yàn)證

圖 2的圖形看上去像一個(gè)卵圓，直觀上符合卵圓的描述性定義。但到目前為止，數(shù)學(xué)和工程學(xué)對(duì)卵圓還沒(méi)有明確定義。為了驗(yàn)證本文所建卵圓方程圖形效果，在網(wǎng)上下載了一張雞蛋的照片，

如圖3所示。

圖 3是未做任何修改的原照片，只將圖片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)并剪裁成合適大小，用 VB6.0編寫(xiě)了一個(gè)繪圖程序。程序界面上的繪圖區(qū)將雞蛋照片作為繪圖背景。通過(guò)像素分析和計(jì)算，獲得圖片中雞蛋圖像橫向最大像素為386，縱向最大像素為294，在雞蛋圖像橫向和縱向最大像素處畫(huà)兩條直線(xiàn)作為x、y軸，x軸與y軸的交點(diǎn)即為雞蛋的卵心，并將卵心位置設(shè)定為繪圖區(qū)的原點(diǎn)。程序界面如圖4所示。

圖3 雞蛋照片

圖4 繪圖程序界面

按卵圓方程的需求量取雞蛋以像素為單位的長(zhǎng)、短、對(duì)稱(chēng)半徑3個(gè)參數(shù)值，得出a=206、b=180、c=147。則由式(13)即得其卵圓方程

繪圖程序使用方程式(25)在區(qū)間[-180,206]中進(jìn)行計(jì)算并通過(guò)描點(diǎn)法繪制圖形。程序界面右側(cè)文本框中顯示方程取點(diǎn)的計(jì)算值。程序運(yùn)行結(jié)果如圖5所示。

圖5 繪圖程序運(yùn)行結(jié)果

圖 5中雞蛋外輪廓的黑色圖線(xiàn)是繪圖程序根據(jù)卵圓方程式(25)繪制的卵圓圖形，與圖片中雞蛋外輪廓高度重合。這充分說(shuō)明本文所得卵圓方程的圖形確實(shí)是卵圓。

4 結(jié) 論

在工程中，繪制卵圓及卵形曲線(xiàn)通常是用多段圓弧來(lái)近似連接而成，或由經(jīng)過(guò)若干個(gè)點(diǎn)的自由曲線(xiàn)構(gòu)成，或以橢圓為初始曲線(xiàn)利用幾何變換生成[5]，或利用多焦點(diǎn)圓及橢圓生成[3]等方法，在高等級(jí)公路工程設(shè)計(jì)與計(jì)算中卵形曲線(xiàn)就是難度較大的一種曲線(xiàn)[6]。上面從卵圓的描述性定義出發(fā)，在三次方程中得到了一種卵圓方程，解決了卵圓無(wú)單一數(shù)學(xué)表達(dá)式的問(wèn)題。有了卵圓方程就可以通過(guò)計(jì)算機(jī)繪制精確的卵圓曲線(xiàn)，比其他輔助方法繪制的卵圓曲線(xiàn)更快捷、優(yōu)美，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)繪制卵圓圖形最快速、最直接的方法?？梢灶A(yù)見(jiàn)，由于有了這種卵圓的三次方程，將會(huì)給卵圓及其應(yīng)用研究帶來(lái)極大方便。

[1] 劉紹學(xué). 數(shù)學(xué)必修 2[M]. 北京: 人民教育出版社, 2007: 118-122.

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The Study on the Oval Equation

Li Xiangjiang

(School of Computer and Communication Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha Hunan 410114, China)

Oval is a very common graphics in life, however it is not clearly defined in mathematics and engineering. It is still in the stage of circle and ellipse for studying the oval. In this paper, according to the descriptive definition of oval, a kind of cubic and standard equation is firstly given by mathematical analysis and derivation. A determ ining method is proposed whether a cubic equation is an oval equation or not, and the approach is given about how to calculate long, short and symmetry radius. To some extension, the proposed method can solve the problem about the oval w ithout a mathematical expression. By analyzing the real images of an egg, the real parameter values of long, short and symmetry radius are obtained. These values are input to the oval equation, the graphics is drawn using computer program. Compared w ith the real images of eggs, the highly consistent results can be achieved.

oval; oval equation; oval center; long radius; short radius; symmetric radius

O 182.1

10.11996/JG.j.2095-302X.2016040467

A

2095-302X(2016)04-0467-04

2015-12-15；定稿日期：2016-01-05

李湘江(1972?)，男，湖南湘陰人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，高級(jí)程序員，碩士。主要研究方向?yàn)閳D形圖像、軟件工程及計(jì)算機(jī)測(cè)控。E-mail：cslixj@163.com