謝小娟，張愛清，馮友宏

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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雙線性變換原理的多角度比較分析*

謝小娟，張愛清，馮友宏

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

從三個(gè)不同的角度對(duì)雙線性變換式引出進(jìn)行了推導(dǎo)，首先是從表征系統(tǒng)的差分方程和微分方程近似的角度，其次從解決脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊問題的角度，最后是對(duì)z=esT的數(shù)學(xué)近似的角度。分析比較發(fā)現(xiàn)，從解決脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊問題的角度來分析邏輯性最強(qiáng)，教與學(xué)的效果會(huì)更好。

數(shù)字濾波器；雙線性變換；原理推導(dǎo)

數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的基本手段之一。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，如果沒有強(qiáng)調(diào)特殊要求，一般采用雙線性變換法進(jìn)行連續(xù)傳遞函數(shù)Ha(s)和離散傳遞函數(shù)H(z)的映射[1，2]，即：

(1)

1 差分方程和微分方程近似的角度[3]

雙線性變換法基本思想可以用表征數(shù)字濾波器H(z)的差分方程作為模擬濾波器H(s)所對(duì)應(yīng)的微分方程的近似解(采用梯形近似積分),如果模擬傳遞函數(shù)H(s)可展開成部分分式之和：

由于各項(xiàng)具有相同的形式，研究其中一項(xiàng)就足以說明整體的規(guī)律。每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分系統(tǒng)

y′(t)+λy(t)=Ax(t).

(1)

對(duì)上式取拉氏變換，得模擬系統(tǒng)函數(shù)

(2)

在一個(gè)抽樣間隔(n-1)T→nT中對(duì)(1)式積分：

用梯形面積代替曲線積分，上式變?yōu)椋?/p>

兩邊取z變換，整理得：

(3)

比較Ha(s)和H(z)的表達(dá)式(2)和(3)，得：

2 克服脈沖響應(yīng)不變法缺點(diǎn)的角度

脈沖響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器的數(shù)字化，其基本原理是從時(shí)域出發(fā)，假定模擬系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，而數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，滿足：

h(n)=h(t)|t=nT.

由此可以導(dǎo)出模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)之間的映射關(guān)系為：

(4)

假定模擬濾波器是頻率帶限的或者高頻衰減很大的情況下，則有：

(5)

即模擬濾波器在滿足嚴(yán)格帶限的條件下，此時(shí)s與z是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，Ha(s)可以通過z=esT的映射關(guān)系直接得到H(z)。而雙線性變換法，本質(zhì)上也是一種從Ha(s)到H(z)的映射，那么關(guān)鍵就是找出一種s=f(z)的映射關(guān)系，既要滿足數(shù)字化的兩個(gè)基本要求即頻響一致性和穩(wěn)定性一致性，同時(shí)又能保證Ha(s)即使在不滿足嚴(yán)格帶限的條件下也能夠通過s=f(z)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到H(z)。而雙線性變換法通過引入中間變量s1并結(jié)合z=esT的映射關(guān)系，成功找到了滿足上述要求的變換式，即雙線性變式。具體實(shí)現(xiàn)是首先經(jīng)過s到s1平面壓縮，將不帶限的Ha(s)壓縮成了嚴(yán)格帶限的Ha(s1)，其次對(duì)Ha(s1)按照脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字化，則滿足(2)式的條件，此時(shí)可將這個(gè)嚴(yán)格帶限的Ha(s1)通過z=esT直接映射成H(z)。其理由是由于Ha(s1)是嚴(yán)格帶限的，因此如果在s1平面進(jìn)行采樣后得到的采樣信號(hào)的拉式變換Ha′(s1)是不會(huì)發(fā)生混疊的，因此可以直接讓Ha(s1)通過z=es1T轉(zhuǎn)換成H(z)。它和讓Ha′(s1)通過z=es1T轉(zhuǎn)換為H(z)在一個(gè)周期內(nèi)是完全相等的，因此，我們可以直接讓Ha′(s1)通過z=es1T轉(zhuǎn)換成H(z)。最后綜合s到z的映射，即為雙線性變換式[4]。

3 對(duì)z=esT數(shù)學(xué)近似的角度[5]

根據(jù)脈沖響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)數(shù)字化，模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)之間的映射關(guān)系滿足(4)式。此外也可以由z變換的定義的引出，即借助抽樣信號(hào)的拉式變換引出z變換定義，都可得到s與z滿足z=esT的標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。

假定采樣周期T足夠小的情況下，利用級(jí)數(shù)展開可得：

忽略高階項(xiàng)，則可得雙線性變換式為：

也可以從數(shù)值積分的梯形法對(duì)應(yīng)得到。設(shè)積分器為：

兩邊求拉式變換后可推導(dǎo)出積分器系統(tǒng)函數(shù)為：

當(dāng)用梯形法求積分運(yùn)算可得算式如下：

兩邊z變換后可推導(dǎo)出數(shù)字積分器為：

4 結(jié)論

通過比較分析，從脈沖響應(yīng)不變法的角度推導(dǎo)雙變換式，相比較其它兩種推導(dǎo)方法在原理上稍顯復(fù)雜，但它卻具有以下三方面的突出優(yōu)點(diǎn)。首先推導(dǎo)過程與脈沖響應(yīng)不變法聯(lián)系緊密，在教和學(xué)上承上啟下，邏輯性強(qiáng)，便于學(xué)生理解掌握。其次可以很自然地從原理上得出其優(yōu)缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)是由于s平面到s1平面的壓縮可以有效克服脈沖響應(yīng)不變法之頻譜混疊問題，缺點(diǎn)是s平面到s1平面的壓縮會(huì)導(dǎo)致的模擬頻率與數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系，進(jìn)而使得DF較AF頻響會(huì)出現(xiàn)失真變形。最后可以自然地得出其應(yīng)用場(chǎng)合和改善方法，即只有當(dāng)失真是允許的或能被補(bǔ)償時(shí)，才能采用雙線性變換。如對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。綜合來看，在數(shù)字信號(hào)處理課程中關(guān)于雙線性變換化的教學(xué)，應(yīng)重點(diǎn)采用從脈沖響應(yīng)不變法的角度進(jìn)行推導(dǎo)，如學(xué)時(shí)允許，可適當(dāng)了解其兩種方法為宜。

[1] 王世一.數(shù)字信號(hào)處理(修訂版)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2006.

[2] 吳鎮(zhèn)揚(yáng).數(shù)字信號(hào)處理的原理與實(shí)現(xiàn)[M].南京:東南大學(xué)出版社,1999.

[3] 童曉兵，張玉明，徐以濤.“數(shù)字信號(hào)處理”課程中雙線性變換法的探討[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2014,36(2):68-70.

[4] 劉姝延，馬秋明，吳志，等.用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,21(5):26-29.

[5] 于海生，丁軍航.微型計(jì)算機(jī)控制技術(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

Multi Angle Comparative Analysis of the Principle of Bilinear Transformation

Xie Xiaojuan,Zhang Aiqing,Feng Youhong

(AcademicofPhysicsandElectricityInformation,AnhuiNormalUniversity,WuhuAnhui241000,China)

In this paper,the derivation of bilinear transformation is derived from three different perspectives.The first is from the point of view of differential equation and differential equation,the second is from the solution for the problem of frequency spectrum aliasing of the impulse response,and the last is from the view of the mathematical approximation of z=esT.By comparative analysis,the second one is with the strongest logic and is better for teaching and learning.

digital filter; bilinear transformation; principle derivation

2016-07-11

國家自然科學(xué)基金(No.61401004)網(wǎng)絡(luò)多媒體流QoS特征稀疏表示及柔性跨域映射方法研究。

謝小娟(1982-)，女，廣西桂林人，講師，碩士研究生，研究方向：信號(hào)處理。

1674-4578(2016)05-0029-02

TN713+.7

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