馮 巖，楊云川，唐宏新

(沈陽(yáng)理工大學(xué) a.裝備工程學(xué)院；b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽(yáng)110159)

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顆粒材料粒度分布特征參數(shù)擬合方法研究

馮 巖a，楊云川a，唐宏新b

(沈陽(yáng)理工大學(xué) a.裝備工程學(xué)院；b.材料科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽(yáng)110159)

應(yīng)用Matlab軟件、高斯-牛頓法和最小二乘法原理，以高爐渣、氧化鎂及菱鎂礦三種材料粒度測(cè)量結(jié)果為研究對(duì)象，以Rosin-Rammler分布函數(shù)為例，編程實(shí)現(xiàn)顆粒材料粒度分布特征參數(shù)擬合的自動(dòng)計(jì)算。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合值的離差平方和、剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算分析以及擬合曲線對(duì)比表明，高斯-牛頓法優(yōu)于文獻(xiàn)中的擬合方法，計(jì)算方法合理、可行。

顆粒材料；Rosin-Rammler分布；高斯-牛頓法；參數(shù)擬合

Rosin-Rammler(R-R)分布函數(shù)是1933年由德國(guó)人P.Rosin和E.Rammler在研究磨碎煤粉的顆粒尺寸分布時(shí)提出的，適用于描述諸如煤粉和水泥等物料粉碎的粒徑分布，在粉體工程中應(yīng)用廣泛[1-2]。R-R分布函數(shù)是雙參數(shù)概率分布函數(shù),探求更為準(zhǔn)確的粒度分布參數(shù)對(duì)于深入認(rèn)識(shí)顆粒材料的內(nèi)在規(guī)律[3]、準(zhǔn)確評(píng)價(jià)顆粒材料性能[4-5]，從而更有效地指導(dǎo)工程實(shí)踐具有重要意義。

分形維數(shù)可作為表征顆粒粒度分布的一個(gè)特征參數(shù)已成共識(shí)[6]，分形維數(shù)測(cè)定取決于顆粒材料粒度分布的測(cè)量和R-R分布特征參量分析的準(zhǔn)確性。目前，在工程實(shí)際應(yīng)用中大多采用分布函數(shù)兩邊取兩次對(duì)數(shù)后對(duì)ln[-ln(y/100)]=mlnx-mlnxe進(jìn)行線性回歸分析計(jì)算特征粒徑xe及分布模數(shù)m(本文稱之為方法一)[6]。李坦平等[7]通過建立數(shù)學(xué)模型并采用極大似然法在一定假設(shè)條件下實(shí)現(xiàn)了對(duì)xe、m的估算。趙三銀等[8]根據(jù)最小二乘法原理，在Excel中采用嘗試法計(jì)算了xe和m,并通過離差平方和、剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算與方法一進(jìn)行了比較(本文稱之為嘗試法)。王亮等[9]通過選擇合適的粒度區(qū)間對(duì)R-R分布函數(shù)進(jìn)行線性回歸，計(jì)算了xe和m，說(shuō)明了粒徑區(qū)間選擇對(duì)回歸分析結(jié)果有影響(本文稱之為方法二)。本文以高爐渣、氧化鎂及菱鎂礦粒度分布測(cè)量結(jié)果為研究對(duì)象，應(yīng)用最小二乘法原理和高斯-牛頓法(稱之為本文方法)編程，實(shí)現(xiàn)R-R分布特征參數(shù)xe與m擬合的自動(dòng)計(jì)算，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合值的離差平方和、剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算與上述三種方法進(jìn)行比較。

1 基本原理

以質(zhì)量正累積率表示的R-R分布函數(shù)為

(1)

式中：y為質(zhì)量正累積率；xe為特征粒徑(μm)；m為分布模數(shù)；x為粒徑。

高斯-牛頓法(Gauss-Newtonmethod)是使數(shù)據(jù)與非線性方程之間的殘差平方和最小的一種算法。其關(guān)鍵在于利用泰勒級(jí)數(shù)展開，以一種線性形式近似地表示原非線性方程后，用最小二乘理論來(lái)計(jì)算參數(shù)新的估計(jì)值，這個(gè)新估計(jì)值使殘差逐步達(dá)到最小。為簡(jiǎn)單起見，將式(1)表示為如下形式：

yi=f(xi;xe,m)+ei

(2)

式中yi是xi、xe、m和隨機(jī)誤差ei的非線性函數(shù)。在xi處將式(2)泰勒展開，并省略一階導(dǎo)數(shù)后面的高階項(xiàng)得

(3)

式中：下標(biāo)為j的是初始值；下標(biāo)為j+1的是預(yù)測(cè)值；△xe= △xe ,j+1-△xe,j；△m=△mj+1-△mj。將式(3)帶入式(2)可得

(4)

上式以矩陣形式表示為

{D}=[Zj]{ΔA}+{E}

(5)

式中：ET=[e1e2… en]；[Zj] 為函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在第j步初始參數(shù)值處的值組成的矩陣：

(6)

(7)

向量{△A}由連續(xù)兩次迭代之間特征參數(shù)值的差組成：

(8)

應(yīng)用線性最小二乘法理論可得如下正規(guī)方程：

[[Zj]T[Zj]]{ΔA}={[Zj]T{D}}

(9)

通過求解式(9)得到{△A}，再用{△A}計(jì)算改進(jìn)后的特征參數(shù)值：

xe,j+1=xe,j+Δxe

(10)

mj+1=mj+Δm

(11)

重復(fù)上述過程，直到求解過程收斂且小于一個(gè)設(shè)定的終止條件[10]。

(12)

(13)

為減少迭代次數(shù)，本文采用插值法確定特征粒徑的迭代初值，因?yàn)閥=36.8%時(shí),x=xe；分布模數(shù)的迭代初值定為1。終止條件設(shè)為εxe、εm同時(shí)小于10-6。

2 結(jié)果與討論

2.1 實(shí)驗(yàn)材料與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文以含鈦高爐渣、氧化鎂、菱鎂礦三種材料為研究對(duì)象，采用南京大學(xué)儀器廠生產(chǎn)的QM-QX2全方位行星式球磨機(jī)進(jìn)行破碎，破碎條件如表1所示。采用遼寧儀表所生產(chǎn)的GSL-101BI型激光粒度儀進(jìn)行粒度測(cè)量，測(cè)量中以水為分散介質(zhì)，折射率取為默認(rèn)值，數(shù)學(xué)模型選用R-R模型、夫郎和費(fèi)衍射理論。

為節(jié)省篇幅，僅以高爐渣為例，原料的D10、D50和D90 (Da表示累計(jì)率為a時(shí)對(duì)應(yīng)的粒徑)分別為：0.37μm、1.98μm、5.73μm，破碎后的粒度分布測(cè)量結(jié)果如表2所示。

表1 三種材料破碎條件

表2 高爐渣粒度分布測(cè)量結(jié)果

表中，xi為粒徑，y為區(qū)間累計(jì)頻率。運(yùn)用高斯-牛頓法編程計(jì)算得到高爐渣、氧化鎂、菱鎂礦三種材料特征粒徑的測(cè)量結(jié)果分別是2.54μm、5.65μm、4.25μm,分布模數(shù)的測(cè)量結(jié)果分別是1.129、1.516、0.928。

2.2 本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)粒度分布分析計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖1為三種方法得到的高爐渣和菱鎂礦R-R分布曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，其中A、B、C和D分別表示實(shí)驗(yàn)曲線、本文方法、方法一和方法二擬合曲線。圖1中B曲線最靠近A曲線，這表明本文方法擬合結(jié)果優(yōu)于方法一和方法二。氧化鎂粉曲線對(duì)比圖沒有列出的原因是三種方法的擬合曲線非常接近。

圖1 不同方法R-R分布擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比

表3為三種方法得到的高爐渣、氧化鎂和菱鎂礦粒度分布特征參數(shù)及數(shù)據(jù)分析計(jì)算結(jié)果。對(duì)比表3中的離差平方和(Δ)，剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差(Se)可以看出，本文方法計(jì)算得到的高爐渣、氧化鎂、菱鎂礦的Δ、Se最小，方法二計(jì)算結(jié)果次之，方法一計(jì)算結(jié)果最大，這說(shuō)明方法二分析計(jì)算結(jié)果優(yōu)于方法一，本文方法分析計(jì)算結(jié)果優(yōu)于方法二。

表3 三種不同方法顆粒材料粒度分布分析計(jì)算結(jié)果 μm

2.3 文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)粒度分布分析計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表4為基于文獻(xiàn)[8]中的礦渣、鋼渣和石灰石粒度分布測(cè)量，應(yīng)用四種方法得到的三種材料特征參數(shù)及數(shù)據(jù)分析計(jì)算結(jié)果。

表4 四種不同方法顆粒材料粒度分布分析計(jì)算結(jié)果 μm

與方法一、方法二的計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明，本文方法計(jì)算得到三種材料的Δ、Se最小，這表明：本文方法分析計(jì)算結(jié)果優(yōu)于方法一和方法二;與文獻(xiàn)[8]中的嘗試法相比，粒度分布特征參數(shù)嘗試計(jì)算結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果相同，不同的是本文實(shí)現(xiàn)了分析計(jì)算的自動(dòng)化。綜上所述，本文基于Matlab平臺(tái)和高斯-牛頓法編寫的R-R分布函數(shù)特征參數(shù)計(jì)算程序合理、可行，實(shí)驗(yàn)曲線擬合結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[8]中的方法。

3 結(jié)論

(1)高斯-牛頓法擬合結(jié)果優(yōu)于方法一和方法二，基于Matlab編制的計(jì)算程序合理、可行。粒度分布特征參數(shù)嘗試法計(jì)算結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果相同，本文方法實(shí)現(xiàn)了特征參數(shù)擬合計(jì)算的自動(dòng)化。

(2)本文方法計(jì)算得到的離差平方和、剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差小于方法一、方法二；方法二在多數(shù)情況下優(yōu)于方法一，僅鋼渣的數(shù)據(jù)分析結(jié)果有些偏差，方法不夠穩(wěn)定。

(3)高斯-牛頓法粒度分布函數(shù)特征參數(shù)的擬合計(jì)算對(duì)于準(zhǔn)確分析顆粒材料的平均粒徑和方差、定量分析材料性能、在線監(jiān)測(cè)以及顆粒材料破碎的自動(dòng)控制等實(shí)際應(yīng)用具有重要意義。

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(責(zé)任編輯：趙麗琴)

Study on Fitting Methods of Particle Size Distribution Characteristic Parameters for Particles

FENG Yan,YANG Yunchuang,TANG Hongxin,

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

Blast furnace slag,magnesium oxide and magnesite were selected as samples in this paper.The characteristic parameters of Rosin-Rammler distribution function were fitted with the Gauss Newton method and the least square principle.The algorithm programming was developed with MATLAB software.The results for the sum of squares of deviations and the residual standard deviation for the particles showed that the iteration method is superior to the fitting methods mentioned in the

and the algorithm is rational and valid.

particles;Rosin-Rammler distribution;Gauss-Newton method;parameters fitting

2015-10-20

遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(L2013087)

馮巖(1988—)，男，碩士研究生；通訊作者：楊云川(1961—)，男，教授，博士，研究方向：分形理論的應(yīng)用。

1003-1251(2016)05-0044-04

TB332

A