鄭濤 ，曾琦

（1.中國民航飛行學院計算機學院，四川 廣漢 618307；2.四川大學電氣信息學院，四川 成都 610060）

基于平均碰撞的偽隨機異步FH-CDMA系統(tǒng)性能分析

鄭濤1，曾琦2

（1.中國民航飛行學院計算機學院，四川 廣漢 618307；2.四川大學電氣信息學院，四川 成都 610060）

跳頻多址接入（FH-CDMA）系統(tǒng)采用具有偽隨機特性的多進制序列（如RS序列、多項式序列和低碰撞區(qū)序列等）作為跳頻碼。目前，基于偽隨機跳頻碼的FH-CDMA系統(tǒng)的誤碼率性能估計一般采用仿真方法得到，缺少有效的理論分析手段。提出了基于平均碰撞方法，對頻點碰撞情況進行建模，簡化了多用戶的干擾分析過程，建立了偽隨機跳頻序列碰撞特性與系統(tǒng)理論誤碼率性能的數(shù)值關系。通過理論分析和MATLAB仿真測試可知，提出的偽隨機跳頻的平均碰撞分析是一種有效的多用戶跳頻頻點碰撞和誤碼性能的估計方法；另外，給出了偽隨機跳頻序列可達到的最優(yōu)誤碼率性能的下界。

平均碰撞；誤碼率；偽隨機跳頻序列集；跳頻系統(tǒng)

1 引言

跳頻碼分多址接入（FH-CDMA）系統(tǒng)具有抗干擾、安全可靠及容易組網等特點，因而在軍事無線電通信、移動通信、雷達和聲納回波定位系統(tǒng)中得到了大量的應用。在FH-CDMA系統(tǒng)中，跳頻序列集中每個序列唯一地分配給不同用戶使用。在同一時刻，當至少一個用戶與參考用戶使用相同頻點時，則產生多用戶干擾（MAI）。這種相互干擾的大小密切依賴跳頻序列的互碰撞特性[1]。

目前，對FH-CDMA系統(tǒng)理論的性能分析均采用具有良好統(tǒng)計特性的完全隨機的跳頻序列[2,3]。然而，在實際工程中，F(xiàn)H-CDMA系統(tǒng)一般采用具有偽隨機特性的跳頻序列集，如經典的RS碼、素數(shù)跳頻序列和無碰撞區(qū)序列等[4,5]。然而，這類跳頻序列的頻點碰撞情況與其漢明相關值緊密聯(lián)系，不具有良好的統(tǒng)計特性；對采用這類跳頻序列的FH-CDMA系統(tǒng)性能多采用計算機仿真方法得到，而缺少有效的理論分析[6,7]。本文針對一般的偽隨機跳頻序列，提出了一種有效的多用戶頻點碰撞理論的分析模型，即采用跳頻序列集的平均碰撞對多用戶的互碰撞進行分析。利用該模型可以避免討論偽隨機跳頻序列具體的漢明相關特性，從而簡化了頻點碰撞的分析過程。

[8]首次給出了偽隨機跳頻序列平均碰撞的定義，由定義可知，平均碰撞是從跳頻序列的整個周期來描述頻點的碰撞特性，因此，與已有的漢明互相關特性相比，平均碰撞更適合表征跳頻系統(tǒng)的平均誤碼特性。參考文獻[9]建立了在跳頻序列周期時延（Z=L）下，平均碰撞概率、頻隙個數(shù)q、序列周期長度L、序列個數(shù)M等參數(shù)之間的最優(yōu)數(shù)值關系。參考文獻[10]給出了偽隨機跳頻序列集平均部分漢明相關的理論界。近些年，出現(xiàn)了不少滿足平均碰撞最優(yōu)的跳頻序列集構造算法[11,12]。

在實際的異步FH-CDMA系統(tǒng)中，跳頻序列的時延一般在任意碼片內（0＜Z＜＜L），參考文獻[9]建立的最優(yōu)數(shù)值關系并不實用。因此，本文將參考文獻[9]的結論推廣到一般情況，給出任意時延Z下，平均碰撞概率、頻隙個數(shù)q、序列長度L、序列個數(shù)M等參數(shù)之間的數(shù)值關系。然后，基于平均碰撞概念和上述數(shù)值關系，分析了偽隨機跳頻序列帶來的多用戶干擾模型，推導了偽隨機異步FH-CDMA系統(tǒng)的理論誤碼率性能，建立了系統(tǒng)誤碼率與跳頻序列性能之間的理論界。最后，通過MATLAB軟件仿真和數(shù)值計算，給出利用平均碰撞概念分析FH-CDMA系統(tǒng)誤碼率性能的有效性和可行性。

2 跳頻序列集的平均碰撞

令 C={c(1),c(2),…,c(M)}是一個大小為 M、長度為 L的偽隨機跳頻序列集，其中，第k個跳頻序列為，序列中的每個元素屬于一個大小為q的頻隙集合F={f1,f2,…,fq}。對于任意兩個跳頻序列c(x),c(y)∈C和任意正整數(shù)時延τ，c(x)和 c(y)在時延τ的漢明相關函數(shù) H(x,y;τ)定義為：

在實際FH-CDMA系統(tǒng)中，多用戶一般為異步接入跳頻網（即相對時延為若干個跳頻碼片）。根據平均碰撞的定義，任意時延Z下（0≤Z≤L），跳頻序列集 C的平均自碰撞旁瓣值Ab(C)和平均互碰撞Ad(C)為：

其中，Sb(C)和Sd(C)分別表示在時延Z內，序列集C中所有序列自碰撞旁瓣總和以及平均互碰撞的總和，它們可以表示為：

為了簡化和方便，令Sb=Sb(C),Sd=Sd(C),Ab=Ab(C)，Ad=Ad(C)。

本文首先推導時延為Z時，偽隨機跳頻序列集平均碰撞（Ad、Ab）與其他參數(shù)（q、L、M 等）之間的數(shù)值關系。

引理1[1]令跳頻序列集C的大小為M，序列長度為L，且頻隙集F的大小為q。對于任意整數(shù)時延Z，有：

引理2 對于引理1所述的跳頻序列集C，其漢明相關值可進一步得到如下等式：

證明 由SLa和SLc的定義，有：

由此得到引理2。證畢。

定理1 令跳頻序列集C的大小為M，序列長度為L，Ab和Ad分別表示跳頻序列集C的平均自碰撞旁瓣值和平均互碰撞值，且頻隙集F的大小為q。對于任意整數(shù)時延Z，有：

證明 由引理1和引理2，有：

由此，定理1證畢。當取等號時，這類偽隨機跳頻序列被稱為平均碰撞最優(yōu)跳頻序列集。該定理給出了序列平均自/互碰撞值與其他參數(shù)（M、L、q）之間的數(shù)值關系。當Z=L-1時，由式（7）可以導出以下推論。

推論1 令Ab和Ad分別表示跳頻序列集在整個周期L內平均自碰撞旁瓣值和平均互碰撞值，可以得出：

式（9）的結論已由參考文獻[8]得到。因此，式（7）是參考文獻[8]結論的推廣。

3 基于平均碰撞的FH-CDMA系統(tǒng)性能分析

在FH-CDMA系統(tǒng)中，多用戶干擾是影響系統(tǒng)誤碼率性能的主要因素之一，而多用戶干擾又與跳頻序列的碰撞模型緊密聯(lián)系。本節(jié)利用平均碰撞模型分析基于偽隨機跳頻序列FH-CDMA系統(tǒng)的性能?；诘?節(jié)得到的平均碰撞最優(yōu)數(shù)值關系，討論利用平均碰撞概念分析FH-CDMA系統(tǒng)性能的可行性和有效性。

FH-CDMA系統(tǒng)收發(fā)端的一般模型如圖1所示。本文考慮FH-CDMA系統(tǒng)有M個跳頻用戶，每個用戶采用一跳發(fā)送一個調制符號的方式，調制方式一般采用FSK調制，解跳端采用非相干解調。系統(tǒng)使用的偽隨機跳頻序列集表示為C={=C(q,M,L,Hm），其中，q為跳頻頻隙集大小，M表示跳頻序列個數(shù)，L表示跳頻序列周期，Hm表示漢明自相關旁瓣/互相關最大值。

圖1 FH-CDMA系統(tǒng)收發(fā)端簡化模型

為了分析方便，假設FH-CDMA系統(tǒng)相鄰頻點上的調制符號不存在相互干擾，信道為AWGN信道，則在接收端，期望用戶數(shù)據只受到多用戶干擾和AWGN干擾，參考文獻[13]給出了該FH-CDMA系統(tǒng)誤碼率的一般表達式：

其中，Pr(m,SNR)表示信噪比為SNR且m個用戶頻點干擾時的誤碼率，Pr(0,SNR)表示無頻點干擾時的誤碼率。ph表示參考符號頻點受到一個干擾用戶頻點碰撞的概率。為了分析方便，本文合理地假設，只要受到碰撞（m=1,2,…,M-1），參考數(shù)據的誤碼率 Pr(m,SNR)=1/2，Pr(m,SNR)的準確表達式可參看參考文獻[13]。

對于任意的偽隨機跳頻序列集C={C(m)}m=M在特定的跳頻接入時延Z下，某個頻點互碰撞概率ph可以表示為：

將式（11）代入式（10），可得采用偽隨機跳頻序列 C={C(m)}m=M的FH-CDMA系統(tǒng)的誤碼率性能。進一步結合式（7），可得ph的最小值，即：

式（12）代入式（10）所得的誤碼率表征了當參數(shù)q、M、L和Z一定時，某類偽隨機跳頻序列C使得FH-CDMA系統(tǒng)達到最優(yōu)的理論誤碼率值，并建立了系統(tǒng)誤碼率與跳頻序列參數(shù)的理論界。

4 仿真分析與討論

本節(jié)采用MATLAB軟件，針對3個典型的偽隨機跳頻序列集(E1、E2、E3)進行系統(tǒng)誤碼率性能的測試。比較平均互碰撞模型和實際碰撞模型的誤碼率差異。上述偽隨機跳頻序列集分為兩大類：滿足Peng-Fan界的漢明最優(yōu)跳頻序列集（大多數(shù)構造的偽隨機跳頻序列滿足該條件）及滿足平均碰撞最優(yōu)的跳頻序列集。

（1）經典素數(shù)跳頻序列集E1={{0,1,3,2,4};{0,2,1,4,3};{0,3,4,1,2};{0,4,2,3,1}}，它的漢明相關性分別為：

通過計算可得 Ab=0和 Ad=1，代入式（7）可知，E1滿足平均碰撞最優(yōu)跳頻序列集。同時，E1也是滿足Peng-Fan界[1]的漢明最優(yōu)跳頻序列集。

（2）3次 跳頻序列集 E2={{0,1,1,6,1,6,6};{0,2,2,5,2,5,5};{0,3,3,4,3,4,4};{0,4,4,3,4,3,3};{0,5,5,2,5,2,2};{0,6,6,1,6,1,1}}，它的漢明相關性分別為：

序列集E2的Ab=2，Ad=23/35，E2是平均碰撞最優(yōu)跳頻序列集，但不滿足Peng-Fan界。

（3）參考文獻[9]提出的滿足 Peng-Fan界的漢明最優(yōu)跳頻序列集E3，如下所示：該跳頻序列的漢明相關性分別表示為：

參數(shù)滿足M=q=5,L=24,Hb=4,Hd=5。通過計算可得Ab=4，Ad=115/24，該序列是平均碰撞最優(yōu)跳頻序列集。

在下面的仿真分析中，多用戶接入時延Z=2個碼片，調制方式采用非相干的2FSK調制。圖2～圖4分別表示FH-CDMA系統(tǒng)采用偽隨機跳頻序列集E1、E2、E3的理論誤碼率曲線和仿真曲線，仿真還給出了不同用戶數(shù)M的性能曲線。

圖2 跳頻系統(tǒng)采用序列集E1的誤碼率曲線

圖3 跳頻系統(tǒng)采用序列集E2的誤碼率曲線

圖4 跳頻系統(tǒng)采用序列集E3的誤碼率曲線

從圖2和圖4可以看出，對于滿足Peng-Fan界的漢明最優(yōu)跳頻序列集（如 E1、E3），式（12）計算得到的理論誤碼率性能與實際仿真曲線十分接近，此時，平均碰撞模型是估計偽隨機FH-CDMA系統(tǒng)理論誤碼率的一種很好的簡化模型。然而，對于非漢明最優(yōu)跳頻序列（如E2），采用平均碰撞得到的理論誤碼率小于實際誤碼率，如圖3所示。圖3中的理論誤碼率曲線也說明了當參數(shù)q、M、L和Z一定時，可尋找到一類偽隨機跳頻序列的構造算法，使得系統(tǒng)誤碼率性能可達到理論的下界。

下面對上述結論進行簡要的分析。由漢明最優(yōu)跳頻序列集（Peng-Fan界）的知識[1]可知，漢明最優(yōu)跳頻序列集（E1和E3）中各頻點出現(xiàn)的概率是相同的，且頻點碰撞是均勻出現(xiàn)的。而平均碰撞模型也正利用了頻點碰撞的均勻特性。因此，對于漢明最優(yōu)跳頻序列集，采用平均碰撞模型能準確地分析其誤碼率性能，避免討論偽隨機跳頻序列具體的碰撞模型；同時，對于不滿足漢明最優(yōu)跳頻序列集的情況，平均碰撞模型只給出了采用偽隨機跳頻序列的FH-CDMA系統(tǒng)誤碼率可達到的理論下界。

除了上述3個特定跳頻序列以外，本文還測試了多個特定偽隨機跳頻序列集，方法與結論與之類似，這里不再贅述。

5 結束語

針對采用偽隨機跳頻序列的異步FH-CDMA系統(tǒng)，本文提出了基于平均碰撞模型的FH-CDMA系統(tǒng)多址干擾分析方法。首先，給出了偽隨機跳頻序列平均碰撞率與頻隙個數(shù)q、序列長度L、序列個數(shù)M、相對時延 Z等參數(shù)的數(shù)值約束關系。然后，利用該約束關系，給出了任意時延、任意跳頻用戶數(shù)下FH-CDMA系統(tǒng)理論誤碼率的求解方法及其表達式。最后通過理論分析與MATLAB仿真分析，給出了利用平均碰撞模型分析跳頻實際碰撞的可行性。

通過分析可知，對于漢明最優(yōu)的偽隨機跳頻序列集（大多數(shù)構造得到的偽隨機跳頻序列都滿足該條件），本文提出的平均碰撞分析方法能非常準確地描述該FH-CDMA系統(tǒng)的實際碰撞情況；同時，平均碰撞模型給出了采用偽隨機跳頻序列的FH-CDMA系統(tǒng)誤碼率可達到的理論下界。通過尋找合適的偽隨機跳頻序列的構造算法，可使得FH-CDMA系統(tǒng)的誤碼率性能逼近該理論界。

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Performance analysis for pseudo-random asynchronous FH-CDMA system based on average-hit method

ZHENG Tao1,ZENG Qi2
1.College of Computer,the Civil Aviation Flight University of China,Guanghan 618307,China 2.School of Electrical Engineering and Information,Sichuan University,Chengdu 610060,China

The pseudo-random M-ary sequence(such as RS code,polynomial code and low-hit zone FH code and so forth)is widely adopted as FH code in FH-CDMA system.However,the performance of FH-CDMA system employing FH sequence is usually evaluated by simulation,and lack of substantial theoretical analysis.A systematic method for modeling the frequency-hit according to the pre-assigned FH code was proposed;then with the proposed model,the analysis for multi-access interference(MAI)was simplified.The numerical relation between the properties of pseudo-random FH code and the error-rate performance of FH-CDMA system was established.Theoretical and simulation results show that the proposed average-hit model is an efficient method to evaluate the frequency hit and the error-rate of pseudo-randomly FH-CDMA system.Meanwhile,the optimal error-rate low-bound of FH-CDMA system which can achieved by pseudo-random FH code is shown in the conclusion.

average-hit,error-rate,pseudo-random FH code,FH system

TN914

A

10.11959/j.issn.1000-0801.2016126

2016-03-07；

2016-04-08

鄭 濤 （1980-），男 ，中 國 民 航 飛 行 學 院 計 算機學院副教授，主要研究方向為移動通信、計算機網絡。

曾琦（1983-），男，博士，四川大學電氣信息學院講師，主要研究方向為擴頻通信、網絡控制系統(tǒng)。