陳昌忠， 何 平

(四川理工學(xué)院 自動化與電子信息學(xué)院， 四川 自貢 643000)

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Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的投影同步

陳昌忠， 何 平*

(四川理工學(xué)院 自動化與電子信息學(xué)院， 四川 自貢 643000)

基于小增益理論，本文研究了一個新型Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的投影同步問題.一個更為一般的達(dá)成投影同步的充分條件被推得.數(shù)值仿真驗證了本文所設(shè)計的投影同步的有效性.

Victor-Carmen混沌系統(tǒng); 投影同步; 小增益理論

[11]中，Victor Grigoras和Carmen Grigoras在線性振蕩環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，通過引入非線性動態(tài)，得到了一個新型的混沌系統(tǒng)，如下所示：

(1)

圖1 Victor-Carmen混沌系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of the Victor-Carmen chaotic system (1)

其中，x=[x1， x2， x3]T是Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a， b， α， β， γ是系統(tǒng)參數(shù).

設(shè)定參數(shù)a=5， b=9， α=50， β=20， γ=4.1時，系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出復(fù)雜的混沌性.當(dāng)取初始條件為x(0)=[5， 1，-5]T時，Victor-Carmen混沌系統(tǒng)(1)的相圖如圖1所示.

通過計算可得系統(tǒng)的平衡點為

O1(0，0，0)、O2(-0.3468，0.0628，0.01104)、

O3(-2.064，1.382，0.02987)、

O4(0.2500，-0.002231，2'242)、

O5(4.787，2.948，-0.03248).

2 同步控制器設(shè)計

將系統(tǒng)(1)看作驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)如下所示.

(2)

定義誤差向量

(3)

則誤差動力學(xué)系統(tǒng)可以寫為

(4)

在不同初始條件下，在沒有控制器u作用下，響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)的軌跡將不能達(dá)成同步.然而，在合適的同步控制器作用下，響應(yīng)系統(tǒng)(2)和驅(qū)動系統(tǒng)(1)在任何初始條件下達(dá)成投影同步，為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，選擇控制器如下所示.

(5)

其中，參數(shù)k是稍后確定的投影同步控制器增益.

3 主要定理

定理若控制器增益k滿足條件

(6)

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)可以在同步控制器(5)的作用下達(dá)到關(guān)于標(biāo)量因子η的投影同步，其中ε1和ε2是充分小的正常數(shù)，即0<ε1<1，0<ε2<1.

證明將同步控制器(5)代入誤差動力系統(tǒng)(4)可得

(7)

根據(jù)一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)易知

e1(t)=exp(-t)e1(0).

(8)

則有

(9)

因此系統(tǒng)(7)可以簡化為

(10-1)

(10-2)

其中，將系統(tǒng)(10-1)、(10-2)看作兩個系統(tǒng)的互聯(lián)形式，將e2和e3分別視為子系統(tǒng)(10-1)的狀態(tài)和輸入，并對其構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(11)

將Lyapunov函數(shù)(11)沿系統(tǒng)(10-1)微分可得

(12)

選擇

(13)

其中，若ε1(0<ε1<1)是一個充分小的正常數(shù)，

(14)

則將(14)式代入(12)式可得

(15)

取K∞函數(shù)

(16)

則函數(shù)(11)是正則且正定的(proper & positive)，因此，函數(shù)(11)是系統(tǒng)(10-1)的ISS-Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)(10-1)是ISS的，且有

(17)

將e3和e2分別視為子系統(tǒng)(10-2)的狀態(tài)和輸入，并對其構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(18)

將Lyapunov函數(shù)(18)給系統(tǒng)(10-2)微分可得

(19)

選擇

(20)

其中，ε2(0<ε2<1)的一個充分小的正常數(shù).假設(shè)

(21)

則有

(22)

同理取K∞函數(shù)

(23)

則函數(shù)(18)是正則且正定的(proper & positive)，函數(shù)(18)是系統(tǒng)(10-2)的ISS-Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)(10-2)是ISS的，且有

(24)

因此，根據(jù)(17)和(24)式可得

(25)

由條件(6)可知

γ2(γ1(r))≤r，?r>0，

(26)

由小增益定理可知，系統(tǒng)(10)的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，則有

(27)

由(9)和(27)知，誤差系統(tǒng)(7)是全局漸近穩(wěn)定的，則在同步控制器(5)的條件下，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)達(dá)成關(guān)于標(biāo)量因子的投影同步.證畢.

4 系統(tǒng)仿真

選擇標(biāo)量因子η=3，則初始誤差為

驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)在控制器u的作用下投影同步誤差的動態(tài)響應(yīng)曲線如圖2-圖4所示.

圖2～圖4 表示了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的投影同步誤差，可以看出同步誤差很快收斂到零.

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e1Fig.2 PS error e1of drive system (1) and response system (2)

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e2Fig.3 PS error e2 of drive system (1) and response system (2)

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e3Fig.4 PS error e3 of drive system (1) and response system (2)

本文的投影同步包含了已有的完全同步和反同步，即，當(dāng)η=1時，即為完成同步，η=-1時，即為反同步.

5 總結(jié)

本文研究了一個新型三維混沌系統(tǒng)的投影同步問題，其創(chuàng)新性在以下兩方面：1)簡要分析了Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的特性；2)基于小增益定理達(dá)成了其投影同步問題，包含了反同步與完全同步.最后，數(shù)值仿真表明了本文方法的有效性.

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Projective synchronization of the Victor-Carmen chaotic system

CHEN Changzhong, HE Ping

(School of Automation and Electronic Information, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong, Sichuan 643000)

The projective synchronization between two identical Victor-Carmen chaotic systems is investigated. Moreover, the general sufficient condition to achieve projective synchronization is obtained by using the small-gain theorem. Numerical simulation is then provided to show the effectiveness and feasibility of the proposed method.

Victor-Carmen chaotic system； projective synchronization； small-gain theorem

2015-11-17.

四川省教育廳基金項目(14ZA0203、14ZB0210)；四川理工學(xué)院科研基金項目(2014PY14)；人工智能四川省重點實驗室基金項目(2013RYJ01、2014RYY02)；企業(yè)信息化與物聯(lián)網(wǎng)測控技術(shù)四川省高校重點實驗室開放基金項目(2014WYJ01、2013WYY06).

1000-1190(2016)04-0521-04

O415.5

A

1 Victor-Carmen混沌系統(tǒng)

*通訊聯(lián)系人. E-mail: pinghe@suse.edu.cn.

過去30年，由于在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，對混沌同步的研究受到了廣大學(xué)者的親睞[1-2]，相關(guān)報道層出不窮[3-6]，諸多同步控制方法相繼被報道，譬如微分幾何方法[7]，滑?？刂品椒╗8]，魯棒控制[9]，最優(yōu)控制方法[10]等，這些混沌同步在生物、化學(xué)、醫(yī)藥、信息、電子、保密通信等領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用.在諸多同步體制中，投影同步是最為感興趣的問題之一.最近，Victor Grigoras和Carmen Grigoras通過在線振蕩環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上引入非線性動態(tài)，得到了一個新型的三維混沌系統(tǒng)[11]，而并沒有對其同步問題予以研究.本文則基于小增益定理[12]研究其投影同步問題，從后文的分析可以看出，本文的同步控制器只需要確定額外的一個參數(shù)，其分析也是簡潔的.