趙明華，肖 堯，徐卓君，楊超煒

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

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基于莫爾破壞判據的溶洞頂板沖切破壞研究

趙明華，肖 堯，徐卓君，楊超煒

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

在現(xiàn)有巖溶區(qū)嵌巖樁承載機理研究的基礎上，參考較為成熟的混凝土板沖切破壞研究成果，針對巖溶區(qū)巖體特點引進莫爾二次拋物線型巖石破壞判據，通過變分原理求得沖切破壞體的曲線方程，并基于功能原理推導出了溶洞頂板抗沖切極限承載力，由此導得溶洞頂板最小安全厚度。參數分析表明：破壞體d1/d(下部直徑與樁徑比)隨σc/σt(抗壓與抗拉強度比)增大而呈非線性增大。最后用工程實例對溶洞頂板最小安全厚度計算公式進行了驗證，充分證明了計算結果的正確性，對巖溶區(qū)嵌巖樁初步設計具有較好的實踐意義。

橋梁工程；溶洞頂板；莫爾二次拋物線型破壞判據；安全厚度；沖切破壞

0 引言

我國巖溶地質分布范圍十分廣泛，由于勘察較為粗糙，在實際工程中容易出現(xiàn)橋梁樁基選址錯誤的情況；然而由于變更橋址代價太大，所以樁基無可避免會作用在巖溶地基上[1]。巖溶區(qū)樁基設計的關鍵是保證溶洞頂板的穩(wěn)定性，因此溶洞頂板成為了研究的主要對象。目前，許多學者在這方面做了相關的研究。黎斌等[2]基于三維有限單元法，對樁基礎下的溶洞頂板進行了應力分析計算，并采用多元線性回歸的方法求得樁底到溶洞頂部距離臨界值與溶洞大小和單樁設計荷載之間的關系式；趙明華等[3-5]分別從抗沖切、抗剪切、抗彎拉3個方面對頂板厚度進行驗算，并分析了節(jié)理裂隙對頂板承載能力的影響；曹文貴等[6]用數值流行方法確定了溶洞頂板最小安全厚度；趙明華等[7]引進突變理論，建立了巖溶區(qū)橋梁樁基承載力及其下伏溶洞頂板安全厚度的尖點突變模型；張慧樂等[8-9]基于室內模型試驗，對巖溶區(qū)嵌巖樁的承載能力和破壞模式進行了研究，根據其試驗結果可知：當溶洞頂板較薄，溶洞跨徑較大時，容易發(fā)生沖切破壞。因此本文側重研究溶洞頂板沖切破壞。

混凝土板沖切破壞理論研究已經比較成熟。Jiang和Shen[10]基于Mohr-coulomb準則和功能原理導出了混凝土板抗沖切極限荷載，并利用變分原理求得了沖切破壞體曲線方程；Yankelevsky和Leibowitz[11]建立了混凝土板沖切破壞的新模型，并導出了板受荷時承載力與位移的數學表達式。在此基礎上，趙明華等[12]引入格里菲斯巖石強度破壞理論推導出了溶洞頂板沖切破壞極限承載力；雷勇等[13]基于Hoek-Brown巖石強度準則剪應力形式推導出了溶洞頂板最小安全厚度，并給出了各參數對承載力的影響分析。

溶洞頂板在沖切破壞過程中，應力狀態(tài)極為復雜，而且?guī)r石材料在受力時具有一定的非線性，現(xiàn)有的技術成果并不能解決工程中遇到的所有問題。因此，本文在現(xiàn)有研究基礎之上，參考混凝土板沖切破壞相關理論成果，并引入莫爾二次拋物線型巖石破壞判據，通過變分原理推導沖切破壞曲線方程，并基于功能原理推導溶洞頂板抗沖切極限承載力，以此求得溶洞頂板最小安全厚度。本文的研究成果能彌補現(xiàn)有理論研究在某些工程條件下的不足，具有較強的實踐意義。

1 莫爾二次拋物線型巖石破壞判據

莫爾(Mohr,1900)統(tǒng)一考慮了三向應力狀態(tài)下的庫侖-納維爾判據后認為：材料在極限狀態(tài)下，剪切面上的剪應力就達到了隨法向應力和材料性質而定的極限值。一般認為，該理論比較全面地反映了巖石的強度特征，它既適用于塑性巖石也適用于脆性巖石的剪切破壞[14]。巖性較硬至較軟弱的巖石強度包絡線近似于二次拋物線，如圖1所示。

圖1 二次拋物線型莫爾強度包絡線Fig.1 Quadratic parabolic Mohr strength envelope

圖1中，σ1、σ3分別為大小主應力；σc、σt分別為巖石的抗壓、抗拉強度；εn、γnt分別為拉伸、剪切應變率。

其表達式為：

(1)

式中n為待定系數。

利用圖1中的關系，有：

(2)

其中τ，tan 2β和sin 2β，從式(1)及圖1可知：

(3)

將式(3)的有關項代入式(2)，并消去式中的σ2，得到二次拋物線型包絡線的主應力表達式為：

(4)

在單軸壓縮條件下，有σ3=0、σ1=σc，則式(4)變?yōu)椋?/p>

(5)

由式(5)，可近似解得：

(6)

式中σc為巖石單軸壓縮強度。

2 基于極限分析的溶洞頂板沖切破壞

2.1 沖切破壞模型基本假定

Jiang和Shen[10]在混凝土板沖切破壞研究中指出沖切破壞體并不是理想的圓錐臺形，而是一條曲線；張慧樂等[8-9]所做的巖溶區(qū)嵌巖樁室內模型試驗表明溶洞頂板沖切破壞時，破壞的沖切體近似圓錐臺形，其母線方程是一條曲線。參考混凝土板沖切破壞理論研究和溶洞頂板沖切破壞的試驗研究成果，并結合極限分析上限定理[15]，假設的溶洞頂板沖切破壞模型如圖2所示，并對其作出如下假定：

(1)溶洞頂板為軸對稱固支圓板，厚度為h;樁端荷載為圓形均布荷載，二者中心軸線重合。

(2)為了反映巖石非線性性質，采用莫爾二次拋物線型巖石破壞判據。

(3)沖切破壞體表面光滑連續(xù)，破壞體的母線方程為待求曲線r(x)。

(4)不考慮溶洞頂板的自重，在樁端荷載P作用下，溶洞頂板達到極限狀態(tài)時，可分為3個區(qū)，見圖2。圖2中：A區(qū)與B區(qū)是剛性區(qū)，C區(qū)是塑性變形區(qū)。其中A區(qū)是一個軸對稱的旋轉體，以速度u豎直向下運動；C區(qū)是一個軸對稱的旋轉殼體，其厚度假定為一個非常小的值δ，而且其內部塑性變形必須滿足塑性流動法則；d為樁徑；d1為沖切破壞體的直徑。

圖2 假定沖切破壞模型Fig.2 Failure model of assumed punching shear

2.2 基于功能原理極限荷載求解

如圖2所示，拉伸和剪切應變率分別為：

(7)

(8)

式中，α為破壞面任意一點的切平面與速度u之間的夾角。二者之間的關系如圖1所示。

根據對稱性可知，在切方向上沒有變形，所以切應變率為：

(9)

而塑性區(qū)C處于平面應變狀態(tài)，在環(huán)切向方向應變率為0，即：

(10)

由式(7)～(10)可得主應力方向上的應變：

(11)

(12)

根據塑性關聯(lián)流動法則，如圖2所示，在σ-τ坐標中，屈服面任意一點的斜率為：

(13)

由式(13)可得：

(14)

將式(14)代入式(1)可得：

(15)

將式(14)、(15)代入式(2)可得相應的主應力：

(16)

(17)

作用于沖切體A上外力功率為：

Wq=Pu。

(18)

可將沖切破壞體C看成一個軸對稱旋轉曲面，厚度為δ，對整個曲面S積分可得破壞面上的內能耗散率為：

Q=∫SWSdS,

(19)

式中，WS為塑性變形區(qū)單位體積的內能耗散率，表達式為：

(20)

將式(11)， (12)， (16)， (17)代入式(20)可得：

(21)

根據上限定理，外功率等于內能耗散率，表達式為：

(22)

將式(18)，(19)，(21)代入式(22)可得：

(23)

由圖(2)幾何關系可得：

(24)

(25)

(26)

(27)

式中，r′(x)為母線方程的求導，為方便書寫，用r代替r(x), 并將式(24)～(27)代入式(23)可得：

(28)

2.3 沖切破壞模式求解

令關于r′和r′(x)的函數F為：

(29)

則：

(30)

將式(29)代入歐拉方程，F(xiàn)-r′Fr′=C中，則有：

(31)

(32)

式中，C，C1為待求參數，可由邊界條件r(0)=d/2，r(h)=d1/2確定，其表達式分別為：

(33)

(34)

將C，C1代回式(32)可得：

(35)

由式(35)可知，沖切破壞體母線方程為一條對數螺旋線。

2.4 最小安全厚度求解

將式(35)代入式(28)可得溶洞頂板極限承載力為：

(36)

由式(36)可知，溶洞頂板抗沖切極限荷載與巖石的抗壓強度、抗拉強度、頂板厚度、樁徑及沖切體底部直徑相關。在嵌巖樁初步設計中，樁徑大小為已知條件，需要求出溶洞頂板的最小安全厚度。將式(36)變形可得h的表達式為：

(37)

由(37)式可知，溶洞頂板最小安全厚度與荷載、樁徑及沖切體底部直徑有關。在荷載和樁徑一定的情況下，對式(37)微分求得d1的臨界值，為：

(38)

通過式(38)求得d1，將d1代回式(37)可求得溶洞頂板最小安全厚度。

3 參數分析

由式(37)推導出的溶洞頂板最小安全厚度h的表達式可知，h與參數n、直徑比(d1/d)、抗拉強度σt有關，下面探討各參數變化對計算結果的影響。

3.1 參數n的分析

由圖3可知，在保證抗拉強度不變時，參數n隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt增大而增大；當σc/σt比值不變時，參數n隨σt的增大而增大。

圖3 參數n隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt變化關系圖Fig.3 Curves of parameter n varying with ratio of compressive to tensile strengths σc/σt

3.2 最小安全厚度分析

由式(38)可得到d1/d隨n變化的關系曲線如圖4所示。

圖4 d1/d隨參數n的變化關系圖Fig.4 Curves of d1/d varying with parameter n

由圖4可知，d1/d隨參數n的增大而非線性增大，而且隨著n增大，d1/d增大變緩，并趨于某一極限值。這與文獻[10]分析的結果一致，說明當參數n達到一定大小，溶洞頂板沖切破壞體母線方程將不再改變。再由圖3可知，在保證抗拉強度不變時，參數n隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt增大而增大，因此d1/d也將隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt增大而非線性增大。

4 工程算例

4.1 工程概況

為驗算本文的正確性，利用文獻[17]提供的工程實例進行驗算。本實例選取西江特大橋南引橋5號墩C樁樁基為研究對象。設計樁基溶洞頂板巖體參數如表1所示。

4.2 計算結果

對于極限狀態(tài)，式(37)中P可為：

表1 參數取值

由式(6)求得n為：

由式(38)解得：d1/d=3.52，由式(37)可得h=1.4 m。根據文獻[2]，安全系數取3，即得溶洞頂板最下安全厚度為4.2 m。

在該工程算例中，溶洞頂板的厚度為4.9 m，按本文方法求得溶洞最小安全厚度為4.2 m，滿足溶洞頂板安全要求。同時按文獻[12]的方法對該工程算例進行驗算，安全系數取3，求得溶洞頂板最小安全厚度為4.56 m，滿足溶洞頂板安全要求。因此，本文方法在評價實際工程安全穩(wěn)定性方面是可行的。

5 結論

(1) 本文參考較為成熟的混凝土板沖切破壞研究方法，基于功能原理，并結合莫爾二次拋物線巖石破壞判據，推導出了溶洞頂板沖切破壞體極限承載力計算公式，并進一步推導出了溶洞頂板最小安全厚度計算公式。

(2) 參數n隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt增大而增大，d1/d隨參數n的增大而非線性增大，從而得知d1/d隨抗壓與抗拉強度比值σc/σt的增大而非線性增大。

(3) 通過工程實例充分驗證了最小溶洞頂板安全厚度計算公式的正確性，該公式參數選取簡單，在工程實際驗算溶洞頂板安全厚度運用簡便，進一步完善了溶洞頂板沖切破壞的理論研究，對巖溶區(qū)嵌巖樁的初步設計有較高的實踐價值。

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Study on Punching Shear Failure of Cave Roof in Karst Area Based on Mohr Failure Criterion

ZHAO Ming-hua, XIAO Yao, XU Zhuo-jun, YANG Chao-wei

(Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha Hunan 410082, China)

Based on the existing research on the bearing mechanism of rock socked pile in karst area and more mature research result of punching shear failure on concrete slabs, the quadratic parabolic Mohr failure criterion of rocks have been introduced on the basis of the characteristics of rock mass in karst areas. The curve equation of the punching failure body is acquired through the variational principle, and the ultimate punching shear bearing capacity of cave roofs is derived based on the principle of work and power. Thus, the critical safe thickness of cave roofs is obtained. The parameter analysis shows thatd1/d(the ratio of the broken body’s lower diameter to pile diameter) increases nonlinearly with the increase ofσc/σt(the ratio of compressive strength to tensile strength). One engineering example verified the formula of the critical safety thickness of cave roofs, which illustrates that this calculation approach is correct and of great significance for the preliminary design of rock-socked piles in karst areas.

bridge engineering;cave roof;quadratic parabolic Mohr failure criterion; safe thickness;punching failure

2015-10-21

國家自然科學基金項目(51278187)

趙明華(1956-)，男，湖南邵陽人，教授，博士生導師.(mhzhaohd@21cn.com)

10.3969/j.issn.1002-0268.2016.09.010

U443.15

A

1002-0268(2016)09-0058-06