蹇玲玲,郭曉曄

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

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帶參數(shù)的四階時滯微分方程的邊值問題

蹇玲玲,郭曉曄

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

通過構(gòu)造一個新的錐，研究了帶參數(shù)的四階時滯微分方程的邊值問題.

帶參數(shù)的四階時滯微分方程；邊值問題；錐；不動點

0 引言

該文研究非線性四階時滯微分方程的邊值問題

(1)

其中λ>0,h:[0,1]×[0,∞)2→[0,∞)為連續(xù)函數(shù).將文獻[1]中的帶參數(shù)的二階時滯微分方程的邊值問題進行了推廣.

如果令

v=-u″,g(t,u(t-τ),v(t-τ))=v,

f(t,u(t-τ),v(t-τ))=h(t,u(t-τ),-v(t-τ))，則問題(1) 等價于下列二階時滯微分方程系統(tǒng)

(2)

其中f,g:[0,1]×[0,∞)2→[0,∞)為連續(xù)函數(shù).所以要證明問題(1) 解的存在性只需證明二階時滯微分方程系統(tǒng)解的存在性.

為得到該文的主要結(jié)論, 首先令

1 預(yù)備知識和引理

假設(shè)(u,v)是問題(2)的解，則

令E={(u,v)∈C[-τ,1]×C[-τ,1]:u(t)=v(t)=0,?t∈[-τ,0]:u(1)=

則問題(2)等價于不動點方程F(u,v)=(u,v).

引理1 算子F:E→E是全連續(xù)算子，且F(K)?K.

2 主要結(jié)果及證明

則問題(2)至少存在三個正解.

為了證明該定理，首先給出如下引理.

引理2 假設(shè)條件(H1)成立，且minf∞>0，則存在R1>0,Λ1>0，使得當λ>Λ1時，有

‖F(xiàn)(u,v)‖≥‖(u,v)‖,(u,v)∈?CR1

證明 對?ε>0，由minf∞>0知，存在

f (s,u,v)≥(minf∞-ε)(u+v),?s∈[0,1]

從而

故存在Λ1>0，當λ>Λ1時，‖F(xiàn)(u,v)‖=‖A(u,v)‖∞+‖B(u,v)‖∞≥‖B(u,v)‖∞≥‖(u,v)‖.

引理3 假設(shè)條件(H1)成立，對上述R1>0,λ>0，有λmaxf0+maxg0<8，則存在R2∈(0,R1)，使得‖F(xiàn)(u,v)‖≤‖(u,v)‖,(u,v)∈?CR2.

‖F(xiàn)(u,v)‖=‖A(u,v)‖∞+

引理4 假設(shè)條件(H1)成立，且minf0>0，則對上述R2>0，存在R3∈(0,R2)，Λ2>0，使得λ>Λ2時， ‖F(xiàn)(u,v)‖≥‖(u,v)‖,(u,v)∈?CR3.

證明 ?ε>0，由minf0>0，存在R3>0，當0≤u+v≤R3時，

f(s,u,v)≥(minf0-ε)(u+v),?s∈[0,1]

則對(u,v)∈?CR3,

故存在Λ2>0， λ>Λ2時， ‖F(xiàn)(u,v)‖≥‖(u,v)‖.

引理5 假設(shè)條件(H1)成立，對上述R1>0,λ>0，λmaxf∞+maxg∞<4，則存在R4>R1， ‖R(u,v)‖≤‖(u,v)‖,(u,v)∈?CR4.

(u+v)，由maxg∞<∞，存在R4″>R1， u+v≥R4″時， g(s,u,v)≤(maxg∞+ε)(u+v)

A[2]可知，系統(tǒng)(2)存在三個正解(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3)滿足R3<‖(u1,v1)‖

[1] 蹇玲玲. 帶參數(shù)的二階時滯微分方程的邊值問題[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2015, 31(5): 11-15.

[2] Bai Dingyong, Xu Yuantong. Existence of positive solutions for boundary-value problems of second-order delay differential equations[J]. Applied Mathematics Letters, 2005,18:621-630.

(責任編輯：季春陽)

Boundary Value Problems for Forth Order Delay Differential Equations with Parameter

Jian Lingling， Guo Xiaoye

(Qingdao Technological University)

In this paper, the existence of solutions for forth order delay differential equations with parameter is proved by constructing a new cone.

Forth Order Delay Differential Equations with Parameter; Boundary Value Problems; Cone; Fixed point

2016-02-02

0175.8

A

1000-5617(2016)02-0057-03