嚴蘭蘭， 韓旭里

(1. 東華理工大學理學院，江西 南昌 330013；2. 中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410083)

基于全正基的三次均勻B樣條曲線的擴展

嚴蘭蘭1,2， 韓旭里2

(1. 東華理工大學理學院，江西 南昌 330013；2. 中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410083)

為了構(gòu)造具有保形性的三次均勻B樣條擴展曲線，首先運用擬擴展切比雪夫空間的理論框架證明現(xiàn)有文獻中的三次Bézier曲線的擴展基，簡稱λ-Bézier基，恰為相應空間的規(guī)范B基。然后用λ-Bézier基的線性組合來表示三次均勻B樣條曲線的擴展基，根據(jù)預設的曲線性質(zhì)反推擴展基的性質(zhì)，進而求出線性組合的系數(shù)。擴展基可表示成λ-Bézier基與一個轉(zhuǎn)換矩陣的乘積，證明了轉(zhuǎn)換矩陣的全正性及擴展基的全正性。由擴展基定義了基于3點分段的曲線，分析了曲線的性質(zhì)，擴展基的全正性決定了曲線可以較好的模擬控制多邊形的形態(tài)。簡要介紹了由擴展基定義的基于16點分片的曲面。

曲線設計；保形性；全正基；形狀參數(shù)

在計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design，CAGD)中，Bézier方法與B樣條方法是描述自由曲線曲面的主流方法，其滿足形狀數(shù)學描述的諸多要求，如唯一性、幾何不變性、幾何直觀等。但任何事物都不可能盡善盡美，Bézier和B樣條方法也不例外，因此不斷有文獻對兩種方法進行改進。目前對Bézier、B樣條方法的改進主要集中在2個方面：①通過在基函數(shù)中引入?yún)?shù)，來增強Bézier、B樣條方法的形狀調(diào)整能力，如文獻[1-5]中具備Bézier方法的端點插值、端邊相切等性質(zhì)的曲線，及文獻[6-8]中具備B樣條方法的局部性、自動光滑性等特征的曲線，均可在不改變控制頂點的情況下，通過調(diào)整參數(shù)值來改變曲線形狀。②通過在非多項式空間，如三角[9-13]、雙曲函數(shù)空間[14-16]中構(gòu)造合適的基函數(shù)，使相應曲線在具備Bézier[9-11,13]或B樣條[11-13,15]方法類似性質(zhì)的同時，還能表示一種或多種圓錐曲線和超越曲線。

上述文獻中的方法不僅具備Bézier或B樣條方法的基本性質(zhì)，如幾何不變性、對稱性、凸包性等，而且還具備形狀可調(diào)性，或者能精確表示工程中常用的特殊曲線，但多數(shù)文獻并未討論其構(gòu)造的曲線是否具有變差縮減(variation dim inishing，VD)性。VD性是Bézier、B樣條曲線的重要性質(zhì)之一，具有VD性的曲線一定具備保凸性，具有全正性的調(diào)配函數(shù)定義的曲線一定具有VD性，因此是否具有全正性是衡量一組調(diào)配函數(shù)是否適合于保形設計的標準之一。

三次Bézier、B樣條曲線結(jié)構(gòu)簡單又不失靈活度，在工程中使用最為廣泛，在文獻中也討論最多。文獻[1]給出了一組含參數(shù)的三次 Bézier曲線的擴展基，本文證明了該擴展基是相應空間上的最優(yōu)規(guī)范全正基，因此由之定義的曲線具有變差縮減性、保凸性，能最好地模擬控制多邊形的形態(tài)。但該曲線不具備局部性和自動光滑性，為此，本文在這組最優(yōu)規(guī)范全正基的基礎上乘以全正的轉(zhuǎn)換矩陣，得到了一組含參數(shù)的規(guī)范全正基，由之定義了基于3點分段的曲線。該曲線包含三次均勻B樣條曲線為特例，具備局部控制性、變差縮減性與保凸性。對于等距節(jié)點，該曲線一般情況下 C2連續(xù)，取特殊參數(shù)可達FC3連續(xù)。

1 預備知識

用I表示任意給定的閉區(qū)間[a,b]，下面給出完備擴展切比雪夫(extended completed Chebyshev，ECC)空間和擬擴展切比雪夫(quasi extended Chebyshev，QEC)空間的定義[16]。

定義1. (ECC空間). 若存在n+1個正的權(quán)函數(shù)則稱空間 (u0,u1,…,un)為n+1維的ECC空間。

n+1維函數(shù)空間(u0,u1,… ,un) ?Cn(I )為閉區(qū)間I上的一個ECC空間的充要條件是：對于任意的整數(shù)k (0≤k≤n)，子空間(u0,u1,… ,uk)中的任意一個線性組合在I上至多只有k個零點(包括重根)。

定 義 2. (QEC 空 間 ). 若 空 間(u,u ,…,u )?Cn-1(I)中的任意一個線性組合在閉0 1 n區(qū)間I上至多只有n個零點(作為空間Cn-1(I)的元素，重根至多算到n重)，則稱 (u0,u1,…,un)為I上的一個QEC空間。

定義 3. (全正基). 稱基函數(shù)(u0,u1,… ,un)為I上的全正基，若對于任意的節(jié)點序列a≤t0＜t1＜…＜tn≤b ， 基 函 數(shù) 的 配 置 矩 陣(uj(ti))0≤i,j≤n為全正矩陣，即配置矩陣的所有子式非負。

對于具有全正基的函數(shù)空間而言，其中的最優(yōu)規(guī)范全正基(即規(guī)范B基)是唯一的。在規(guī)范B基的基礎上乘以全正的轉(zhuǎn)換矩陣，可以生成其余的全正基。在所有全正基中，規(guī)范B基且具有最優(yōu)的保形性，即由之定義的曲線能夠最好地模擬控制多邊形的形態(tài)，例如當控制多邊形為凸時，生成的曲線也為凸。

2 三次Bézier曲線的擴展基

文獻[1]構(gòu)造了一組含參數(shù)的四次多項式函數(shù)，以三次Bernstein基為特例，由之定義的曲線具有與三次Bézier曲線相同的結(jié)構(gòu)和類似的性質(zhì)。

定義4. 對t∈[0,1]， λ∈[- 3,1]，稱關于t的多項式：

為帶參數(shù)λ的三次 Bézier曲線的擴展基，簡稱λ-Bézier基。

由式(1)知λ-Bézier基具有規(guī)范性并且線性無關，b1(t)和b2(t)可改寫成：

接下來運用擬擴展函數(shù)空間的理論框架證明：對于任意的 λ∈(-3 ,1]，空間Sλ均適用于構(gòu)造曲線。為此，先證明Sλ的微分空間DSλ=:span為 [0,1]上的3維QEC空間。

定理1. 對于任意的 λ∈(- 3,1]，DSλ為[0,1]上的一個3維QEC空間。

在式(2)中令t=0得ξ1=0，令t=1得ξ2=0，進而ξ0= 0，故DSλ為[0,1]上的3維函數(shù)空間。

現(xiàn)在證明DSλ為（0, 1）上的3維ECC空間。對于任意的，令：

易知u(t)＞0，v(t)＞0。直接計算可得：

因此u(t)和v(t)的朗斯基行列式：

對于t∈[a,b]，定義權(quán)函數(shù)：

其中，θi＞ 0 (i = 1,2,3)，顯然 wi(t)(i = 0,1,2)為[a,b] 上C∞且正的有界函數(shù)?？紤]ECC空間：

知 ui(t)(i = 0,1,2)為 函 數(shù) 6t(1-t) ，的線性組合，因此DSλ為[a,b]上的ECC空間。由于[a,b]為(0,1)上的任意子區(qū)間，故DSλ為(0,1)上的ECC空間。

為進一步證明DSλ為[0,1]上的 QEC空間，需先證明DSλ的任意一個非零元在[0,1]上至多只有兩個零點(注意重根至多算到二重)。考慮DSλ中的任意一個非零函數(shù)：

由于DSλ為(0,1)上的ECC空間，故F(t)在(0,1)上至多只有兩個零點。

假設t=0為F(t)的零點，則C1=0。在此情形下，若C2=0，則t=0和t=1均為F(t)的單根。若C0= 0，則t=0至多為F(t)的二重根(重根至多算到二重)。若 C0C2＞ 0，則t=0為F(t)的單根，且F(t)在區(qū)間(0,1]上恒正或恒負。若 C0C2＜ 0，則t= 0為F(t)的單根且t=1不是F(t)的根。此外，考慮函數(shù)：

由 于 G(t) 在 [0,1] 上 連 續(xù) ， 且G(0)G (1) =6(3 +λ)C0C2＜0，故由零點定理可知G(t)在(0,1)內(nèi)至少存在一個零點。又當λ≠0時，G(t)是關于t的二次函數(shù)，假設G(t)在(0,1)內(nèi)有兩個零點t1和t2，則，故G (0)G (1) ＞ 0，矛盾。當λ=0時，G(t)退化為一次函數(shù)，只有一個零點。綜上可知G(t)在(0,1)內(nèi)恰有一個零點，進而 F(t) =tG(t)(此時C1=0)在(0,1)內(nèi)也恰有一個零點。上述分析表明當t=0為F(t)的零點時，F(xiàn)(t)在[0,1]上至多有兩個零點。同理當t=1 是F(t)的零點時，F(xiàn)(t)在[0,1]上也至多只有兩個零點。 證畢。

注釋1. 由于DSλ為[0,1]上的3維QEC空間，故由文獻[17]中的定理3.1可知，空間Sλ中存在開花，這表明對于任意的 λ∈(-3 ,1]，空間Sλ均適用于構(gòu)造曲線。此外，由文獻[17]中的定理2.13和定理2.18，可知Sλ在[0,1]上具有規(guī)范B基。

注釋2. 當λ=-3時，F(xiàn)(t)在[0,1]上可能存在3個不同的零點。例如當C0=0，C1=C2=1時，F(xiàn)(t)具有零點0、、1。這意味著當λ=-3時，DSλ不是[0,1]上的QEC空間。因此從開花的角度講，當λ=-3時，空間Sλ不適合于曲線設計。

定理2. 對于任意的 λ∈(- 3,1]，由式(1)定義的λ-Bézier基具有最優(yōu)規(guī)范全正性。

證明：對任意的 λ∈(-3 ,1]，由式(1)容易驗證bi(t)(i = 0,1,2,3)具有如下端點性質(zhì)：

(1) 對于i=0,3，bi(0)=1且 bi(t)在t=1處有三重根(重根至多算三重)；

(2) 對于i=1,2， bi(t)在t=0處恰有i重根，在t=1處恰有3-i重根。

此外， bi(t)(i = 0,1,2,3)在(0,1)內(nèi)是嚴格正的，故由文獻[17]中的定理2.18可知，λ-Bézier基恰為Sλ中的規(guī)范B基。 證畢。

3 三次均勻B樣條曲線的擴展基

3.1 擴展基的構(gòu)造

將基于λ-Bézier基構(gòu)造帶形狀參數(shù)的三次均勻B樣條擴展基。令：

其中，bi(t)(i = 0,1,2,3)為λ-Bézier基，A·、B·、C·、D·為待定系數(shù)。

為確定待定系數(shù)的值，先預設由式(3)定義的結(jié)構(gòu)與三次均勻 B樣條曲線相同的分段曲線具有對稱性、凸包性、 C2連續(xù)性，由此反推出由式(3)給出的函數(shù)組必須具有：

(1) 對稱性：

(2) 規(guī)范性：

(3) 端點特征：

其中， k= 0,1,2,i=0,1,2。

由式(3)～(6)可計算出：

由式(3)、(7)可得：

其中，轉(zhuǎn)換矩陣為：

下面討論矩陣H的全正性。

定理3. 當 λ∈(-1 ,1]時，由式(8)給出的矩陣H為非奇異隨機全正矩陣。

證明：易知矩陣H的各行元素之和全為1，且當 λ∈(- 1,1]時，H的所有元素非負，故H為隨機矩陣。由式(8)可知，其中，

其余全為0，其中Jij,kl表示由J的i與j行，k與l 列形成的子式。J的三階子式分別為：其余全為0，其中 Jijk,lmn表示由J的i,j,k行，l,m,n列形成的子式。故J為非奇異全正矩陣，從而H為非奇異隨機全正矩陣。 證畢。

由 bi(t)(i = 0,1,2,3)的最優(yōu)規(guī)范全正性，以及轉(zhuǎn)換矩陣H的非奇異隨機全正性可知，Ni(t)(i = 0,1,2,3)形成函數(shù)空間Sλ中的一組全正基。

定義5. 對t∈[0,1]， λ∈(-1 ,1]，稱關于t的多項式：

為三次均勻B樣條擴展基，簡稱λ-B樣條基。

3.2 擴展基的性質(zhì)

由上面的分析可得λ-B樣條基的下列性質(zhì):

(1) 退化性。當λ=0時，λ-B樣條基即三次均勻B樣條基。

(2) 非負性。當 λ∈(-1 ,1]時，對任意的t∈[0,1]，有 Ni(t) ≥ 0(i =0,1,2,3)。

(4) 對 稱 性 。 Ni(1 -t) = N3-i(t )， 其 中i= 0,1,2,3。

(5) 端點性質(zhì)。對任意的 λ∈(-1 ,1]，有：

當λ=1時，有：

(6) 全正性。對于任意的 λ∈(- 1,1]，λ-B樣條基為函數(shù)空間Sλ中的規(guī)范全正基。

4 三次均勻B樣條擴展曲線

4.1 曲線及其性質(zhì)

定 義 6. 給 定 控 制 頂 點P∈Rd(d =2,3;i =0,1,… ,n)， 節(jié) 點iu1＜u2＜… ＜un-1，參數(shù) λ∈(- 1,1]，可定義n-2條如下的曲線段：

其中，t∈[0,1]，i =1,2,… ,n -2， Nj(t) ( j=0,1,2,3) 為λ-B樣條基，所有曲線段構(gòu)成一條含一個形狀參數(shù)的分段組合曲線：

其中， u∈[ui,ui+ 1]?[u1,un -1]， Δui= ui+ 1-ui，i=1,2,… ,n -2，稱q (u)為λ-B曲線。

由λ-B樣條基的性質(zhì)，可得λ-B曲線的下列性質(zhì)：

(1) 幾何不變性與仿射不變性。λ-B樣條基具有規(guī)范性，故λ-B曲線的形狀與坐標系的選取無關；欲獲得經(jīng)仿射變換后的曲線，只需對控制多邊形執(zhí)行相同變換再定義曲線。

(2) 對稱性。λ-B樣條基具有對稱性，故當不改變λ的值時，由控制多邊形 P0P1… Pn和PnPn-1…P0定義的λ-B曲線形狀相同，只是方向相反。

(3) 局部控制性。由于λ-B曲線結(jié)構(gòu)與三次B樣條曲線相同，故改變一個控制頂點，至多只有4 條λ-B曲線段的形狀會發(fā)生改變。

(4) 形狀可調(diào)性。由于λ-B樣條基中含參數(shù)λ，改變λ的值，參與計算的樣條基發(fā)生改變，因此即使控制頂點和節(jié)點固定，相應曲線的形狀依然會發(fā)生改變。

(5) 連續(xù)性。由式(9)、(11)，容易推出：

結(jié)合式(12)、(13)有：

其中，k = 0,1,2，這表明λ-B曲線一般情況下 G2連續(xù)，當節(jié)點等距時 C2連續(xù)。當λ=1時，由式(9)～(11)可得：

這表明λ-B曲線3FC連續(xù)。

(6) 凸包性。λ-B樣條基具有非負性與規(guī)范性，故λ-B曲線段 pi(t )位于控制頂點 Pi- 1,Pi,Pi+ 1,Pi +2的凸包Hi內(nèi)，整條λ-B曲線q(u)位于所有凸包Hi的并集內(nèi)。

(7) VD性。λ-B樣條基是規(guī)范全正基，故λ-B曲線具有VD性，這意味著λ-B曲線適用于曲線設計。

(8) 保凸性。由 VD性可知，當控制多邊形為凸時，直線與λ-B曲線的交點個數(shù)不超過兩個，因為直線與控制多邊形的交點個數(shù)至多為兩個，因此λ-B曲線能夠保持控制多邊形的凸性。

4.2 曲線設計

為了用λ-B曲線設計出滿意的形狀，首先要知道參數(shù)λ對曲線形狀的影響。

由式(9)、(11)可得：

由式(14)可知：第 i條曲線段的起點位于以邊PiPi-1和PiPi+1為鄰邊形成的平行四邊形的對角線(起點為 Pi)上，起點與 Pi的距離為該對角線長度的倍。對曲線段的終點也有類似結(jié)論。因此λ值越大，曲線段的起點越接近點 Pi，終點越接近點Pi+1，所以增加λ值的作用是將曲線段拉向中間的控制邊，見圖1。

圖1 參數(shù)λ的作用

從式(14)還可以看出，若λ-B曲線的控制頂點滿足條件：

則無論λ取何值，均有 q (u1)=P1， q (un-1)= Pn-1。因此要想使λ-B曲線經(jīng)過控制多邊形 P0P1… Pn的首末頂點，只需增加輔助點 P-1= 2P0-P1，Pn+1=2Pn-Pn-1，再由控制多邊形 P-1P0…Pn+1定義曲線即可(如圖2(a)所示)。若原始控制多邊形封閉，即P0=Pn，則該方法將產(chǎn)生一條封閉曲線，但一般情況下該曲線在閉合點處僅位置連續(xù)，并不光滑。若希望由封閉的控制多邊形生成封閉且光滑的曲線，只需增加輔助點 Pn+1=P1， Pn+ 2=P2，然后由多邊形 P0P1…Pn+2定義曲線即可(如圖 2(b)所示)。圖2中圓點為初始控制點，方形點為輔助點。

圖2 λ-B曲線

4.3 曲線的保形性

現(xiàn)有文獻在構(gòu)造形狀可調(diào)曲線時，形狀參數(shù)的取值范圍通常是由基函數(shù)的非負性來給出的，這樣得到的曲線雖然具備凸包性，但不一定具備保凸性，因此不能較好地保持控制多邊形的形狀，無法設計出滿意的結(jié)果。

對于λ-B曲線而言，當 λ∈[- 2,1]時，曲線具有凸包性，由前面分析可知，當 λ∈(-1 ,1]時，曲線一定具有保凸性。圖2中的形狀在字母設計中較常用，針對圖2中的控制點分別取 λ=- 1.2,- 1.5,-2，得到的曲線如圖3所示，可以看出，如果像多數(shù)文獻那樣來構(gòu)造形狀可調(diào)曲線，只能保證曲線的形狀調(diào)整能力，而無法保證形狀調(diào)整質(zhì)量，從而難以應用于工程實際。

圖3 不保形的曲線

5 三次均勻B樣條擴展曲面

利用張量積方法可將λ-B曲線推廣至四邊域曲面，從而得到三次均勻B樣條擴展曲面。

定 義 7. 給 定 控 制 頂 點Pij∈R3(i = 0,1,… ,m; j =0,1,… ,n)， 節(jié) 點u1＜u2＜… ＜um-1與v1＜v2＜ … ＜vn-1，以及參數(shù)λ1,λ2∈(-1 ,1]，可以定義(m - 2)×(n - 2)張曲面片，即：

其中，s,t ∈ [0,1]，i =1,2,… ,m -2， j=1,2,…,n -2，Nk(s;λ1)和 Nl(t;λ2)分別是參數(shù)為 λ1和 λ2的λ-B樣條基，所有曲面片構(gòu)成一張含兩個形狀參數(shù)的分片組合曲面：

λ-B曲面具有與λ-B曲線類似的性質(zhì)。例如：在一般情況下，λ-B曲面關于u、v方向均 G2連續(xù)；當λ1=λ2 =1時，關于u、v方向均 FC3連續(xù)。

圖4所示為由相同控制網(wǎng)格和不同參數(shù)定義的λ-B曲面。

6 結(jié) 束 語

目前關于形狀可調(diào)曲線的文獻非常豐富，大量與Bézier或B樣條曲線性質(zhì)類似的可調(diào)曲線被提出。這些曲線克服了傳統(tǒng)Bézier、B樣條曲線相對于控制多邊形形狀固定的不足，但對于其是否像Bézier、B樣條曲線一樣，具有VD性、保形性，從而適用于曲線設計的討論卻很少，因此從全正性的角度來檢驗已有的擴展曲線，以及尋找新的基于全正基的擴展曲線是有意義的。本文正是基于這種思想的一次嘗試，一方面給出了文獻[1]中的擴展基全正時的參數(shù)取值范圍，另一方面給出了一類新的具有保形性的三次均勻B樣條擴展曲線。

圖4 λ-B曲面

[1] 吳曉勤, 韓旭里. 三次 Bézier曲線的擴展[J]. 工程圖學學報, 2005, 26(6): 98-102.

[2] 仇 茹, 杭后俊, 潘俊超. 帶三參數(shù)的類四次 Bézier曲線及其應用研究[J]. 計算機工程與應用, 2014, 50(20): 158-162.

[3] Wang W T, Wang G Z. Bézier curves with shape parameter [J]. Journal of Zhejiang University SCIENCE A, 2005, 6A(6): 497-501.

[4] Chen J, Wang G J. A new type of the generalized Bezier curves [J]. Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, 2011, 26(1): 47-56.

[5] Qin X Q, Hu G, Zhang N J, et al. A novel extension to the polynomial basis functions describing Bezier curves and surfaces of degree n with multiple shape parameters [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 223(10): 1-16.

[6] 韓旭里, 劉圣軍. 三次均勻B樣條曲線的擴展[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2003, 15(5): 576-578.

[7] 王樹勛, 葉正麟, 陳作平. 帶最多獨立形狀參數(shù)的三階三次均勻B樣條曲線[J]. 計算機工程與應用, 2010, 46(15): 142-145.

[8] Xu G, Wang G Z. Extended cubic uniform B-spline and α-B-spline [J]. Acta Automatica Sinica, 2008, 34(8): 980-984.

[9] 耿紫星, 張貴倉. Bézier曲線的三角擴展[J]. 計算機工程與應用, 2008, 44(26): 59-62.

[10] Chen Q Y, Wang G Z. A class of Bézier-like curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 29-39.

[11] Han X L, Zhu Y P. Curve construction based on five trigonometric blending functions [J]. BIT Numerical Mathematics, 2012, 52(4): 953-979.

[12] Su B Y, Tan J Q. A family of quasi-cubic blended splines and applications [J]. Journal of Zhejiang University SCIENCE A, 2006, 7(9): 1550-1560.

[13] 尹池江, 檀結(jié)慶. 帶多形狀參數(shù)的三角多項式均勻 B樣條曲線曲面[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2011, 23(7): 1131-1138.

[14] 張錦秀, 檀結(jié)慶. 代數(shù)雙曲 Bézier曲線的擴展[J]. 工程圖學學報, 2011, 32(1): 31-38.

[15] 鄔弘毅, 左 華. 多形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B樣條曲線[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2007, 19(7): 876-883.

[16] Han X L, Zhu Y P. Total positivity of the cubic trigonometric Bézier basis [J]. Journal of Applied Mathematics, 2014, (3): 1-5.

[17] Marie-Laurence. Which space for design [J]. Numerische Mathematik, 2008, 110(3): 357-392.

The Extended Cubic Uniform B-Sp line Curve Based on Totally Positive Basis

Yan Lanlan1,2, Han Xuli2

(1. School of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

This paper aims to construct a shape-preserving extended cubic uniform B-spline curve. Firstly, within the theoretical framework of quasi extended Chebyshev space, we prove that the existing extended basis of the cubic Bézier curve, λ-Bézier basis for short, is the normalized B-basis of the corresponding space. Then we use the linear combination of the λ-Bézier basis to express the extended basis of the cubic uniform B-spline curve. According to the preset properties of the curve, we deduce the properties of the extended basis, and then determ ine the coefficients of the linear combination. The extended basis can be represented as the product of the λ-Bézier basis and a conversion matrix. We prove the totally positive property of the matrix and the extended basis. By using this basis, we define a curve based on 3-point piecew ise scheme and analyze its properties. The totally positive property makes the curve can simulate the shape of the control polygon. The surface based on 16-point piecew ise scheme is briefly introduced.

curve design; shape preserving property; totally positive basis; shape parameter

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030329

A

2095-302X(2016)03-0329-08

2015-10-30；定稿日期：2015-11-27

國家自然科學基金項目(11261003，11271376，60970097)；江西省教育廳項目(GJJ14493)；江西省自然科學基金項目(20161BAB211028)

嚴蘭蘭(1982–)，女，湖北浠水人，副教授，博士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@aliyun.com