羅海林， 張二喜

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院， 成都610059)

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部分測量數(shù)據(jù)和無溢出二次模型修正問題的可解條件

羅海林， 張二喜

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院， 成都610059)

針對三個(gè)系數(shù)矩陣都對稱，質(zhì)量矩陣非奇異和測量數(shù)據(jù)部分測得的二次模型修正問題，主要研究了它的可解性。首先，給出了該問題的研究背景和文獻(xiàn)綜述并提出一種特殊部分測量數(shù)據(jù)的二次有限元模型修正問題，給出兩個(gè)重要引理，最后，采用矩陣分塊法求得問題的可解條件。

二次模型；模型修正；無溢出現(xiàn)象；部分測量數(shù)據(jù)

引言

二次模型修正問題常出現(xiàn)在振動(dòng)工程中，修正生成有限元模型的振動(dòng)結(jié)構(gòu)形式為：

(1)

其中，M0，C0和K0分別是質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣。系數(shù)矩陣M0，C0和K0滿足二次束：

Q0(λ)=λ2M0+λC0+K0

(2)

其中，特征值λ與自然頻率相關(guān)，特征向量是系統(tǒng)(1)的振型。系數(shù)矩陣M0，C0和K0滿足線性代數(shù)系統(tǒng)：

M0XΛ2+C0XΛ+K0X=0

(3)

二次模型修正問題是從(M0,C0,K0)更新到(M,C,K)，其中M0，C0，K0，M，C和K為對稱矩陣，并且M0和M是非奇異矩陣。修正后的模型(M,C,K)滿足：

MYΣ2+CYΣ+KY=0

(4)

MXΛ2+CXΛ+KX=0

(5)

其中，Λ=diag{Λ2,Λ3}，X=[X2,X3]，(Λ1,X1)為需要修正部分的特征對，(Σ,Y)為測量特征信息，(Λ,X)為保持不變部分的特征對。二次模型修正問題就是用測得的特征信息(Σ,Y)去替代原始的特征對(Λ1,X1)，使得修正后的矩陣M,C,K滿足(4)式和(5)式。

本文研究部分不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的二次有限元模型修正問題。在數(shù)學(xué)上，部分不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的二次有限元模型修正問題可以描述為：

問題I (二次模型修正問題)給定原始二次模型(M0,C0,K0)，和少量相關(guān)特征對(Λ1,X1)，在這里M0，C0和K0都是對稱矩陣，Λ1∈Rp×p和X1∈Rn×p，p≤n。設(shè)新測得的特征對為(Σ,Y)，在這里Σ∈Rp×p和Y∈Rn×p。修正二次模型(M0,C0,K0)到一個(gè)新的二次模型(M,C,K)，使得：

(2)(M,C,K)中其余的2n-p個(gè)特征對與原始模型(M0,C0,K0)中的保持一致。

在問題I中，(1)為部分測得數(shù)據(jù)條件，(2)為無溢出條件。修正后模型(M,C,K)滿足方程(4)和方程(5)，這就被稱為部分測量和無溢出的二次模型修正問題。

文獻(xiàn)[1]已經(jīng)求解得出(M,C,K)參數(shù)表達(dá)式和西爾維斯特方程。文獻(xiàn)[2]中采用近似逼近法求解二次模型修正問題。文獻(xiàn)[3]用迭代算法解決無阻尼系統(tǒng)下的二次模型修正問題。文獻(xiàn)[4]用迭代算法解決了二次模型修正問題。文獻(xiàn)[5]用一種全新的方法求解無阻尼下的二次模型修正問題，同時(shí)保持修正后的模型正定和無溢出。文獻(xiàn)[6]采用牛頓法研究了陀螺結(jié)構(gòu)下的二次模型修正。文獻(xiàn)[7]研究了阻力陀螺系統(tǒng)下的二次逆特征值問題。文獻(xiàn)[8]用半正定規(guī)劃技術(shù)研究結(jié)構(gòu)二次逆特征值問題，該問題在理論和計(jì)算上都存在很大的難度。文獻(xiàn)[9]主要討論的是二次模型修正問題的無溢出現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]主要研究的是二次模型修正問題的無溢出現(xiàn)象。特別的，對于無阻尼的二次模型修正問題總是可能滿足無溢出條件。文獻(xiàn)[11]研究的是基于梯度的迭代算法的陀螺系統(tǒng)的二次模型修正問題，給定系數(shù)矩陣M和K是對稱正定矩陣和G是反對稱矩陣。使得修正后的矩陣G和K分別近似逼近于G0和K0(為給定的初始矩陣)，其中2p

1兩個(gè)重要引理

引理1[1]給定測量特征對(Σ,Y)∈Rp×p，無溢出的二次有限元模型修正問題可解僅僅只要存在一個(gè)可逆矩陣T∈Rp×p和矩陣DΣ，使得

Y=X1T

(6)

(7)

這里

DΣ=YTCY+YTMYΣ+ΣTYTMY

引理2[1]如果(M,C,K)是無溢出的二次有限元模型修正問題的解，那么

(8)

(9)

(10)

其中Φ=ΦT∈Rp×p滿足西爾維斯特方程

(Λ1-Θ)TM1+M1(Λ1-Θ)

(11)

2二次模型修正問題的可解條件

在實(shí)際情況中被測得的特征向量矩陣通常是不完全的，而且缺失形式多種多樣。在這樣的情況下也增加了問題求解的難度。

定理1設(shè)Yij(i=1,2;j=1,2)在問題I中已經(jīng)被定義，Σ，Y11和Y22已測得并且rank(Y11)=r和rank(Y22)=p-r。當(dāng)T1和T2線性無關(guān)，問題I可解當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣T=[T1T2]，其中

(12)

(13)

(14)

其中

證明 設(shè)Y=Yij(i=1,2;j=1,2)，相應(yīng)將X1和T分塊為：

T=[T1T2]

其中

X11∈Rp×p，X12∈R(n-p)×p,T1∈Rp×r，T2∈Rp×(p-r)

由(6)式，有：

Y11=X11T1

(15)

Y21=X12T1

(16)

Y12=X11T2

(17)

Y22=X12T2

(18)

因?yàn)閄11可逆，由(15)式有(12)式成立。由(16)式和(12)式，有

(19)

(20)

由(18)式有(13)式成立，由(17)式和(13)式，有

(21)

由(12)式知，因?yàn)閞ank(Y11)=r，所以有rank(T1)=r。同理，rank(T2)=p-r。又T1和T2線性無關(guān)，所以矩陣T可逆。設(shè)DΣ=DΣij(i,j=1,2)，由(7)式得：

(22)

所以得

證畢。

3結(jié)束語

本文主要研究部分測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的二次模型修正問題的可解條件。首先提出問題，然后給出該問題的可解條件。對于問題I仍有許多問題待完善，比如如何保持問題I的解正定，保持該問題正定的條件，這些都有待后續(xù)研究。

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Solvability of Quadratic Model Updating Problems with Solvability of Quadratic Model Updating Problems with No Spillover and Partially Measured Data

LUOHailin，ZHANGErxi

(College of Management Science,Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China)

Based on quadratic model updating problem of partially measurement data with three symmetric coefficient matrix and mass matrix nonsingular, the solvability of it is mainly studied. Firstly, the problems of the background, literature review and quadratic finite element model updating problems with a special partially measurement data are presented; then two important lemmas are given; finally, matrix partition method is used to obtain solvability conditions of the problem.

quadratic model updating problem; no spillover; partial incomplete eigenvectors

2016-04-08

羅海林(1989-)，男，四川南充人，碩士生，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)和二次模型修正問題方面的研究，(E-mail)18781946224@163.com

1673-1549(2016)04-0094-03

10.11863/j.suse.2016.04.20

O151；O321

A