呂鳳姣， 蔣紅敬

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院， 鄭州450063)

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分擔(dān)值與正規(guī)族

呂鳳姣， 蔣紅敬

(黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院， 鄭州450063)

亞純函數(shù)；分擔(dān)值；正規(guī)族

1引言及主要結(jié)果

定義2設(shè)f(z),g(z)為區(qū)域D上的兩個(gè)亞純函數(shù)，對(duì)復(fù)數(shù)a∈C,若f(z)-a的零點(diǎn)為zn(n=1,2,3,…)，如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零點(diǎn)(不計(jì)重?cái)?shù))，則稱單向分擔(dān)a，記為f(z)=a?g(z)=a。

定義3設(shè)F為復(fù)平面一區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，如果從F中任取一函數(shù)序列{fn(z)}均可選出一子序列{fnk(z)}在區(qū)域D上按球距內(nèi)閉一致收斂于一亞純函數(shù)或∞，則稱F在區(qū)域D上正規(guī)。

定理1[3]設(shè)f(z)是一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，如果f(z)和f′(z)IM分擔(dān)三個(gè)不同的復(fù)數(shù)a1,a2,a3,則f≡f′。

定理2[4]設(shè)F={f(z)}是單位圓盤Δ上的亞純函數(shù)族，a1,a2,a3是三個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)每個(gè)f∈F，f與f′同時(shí)分擔(dān)值a1,a2,a3，則F在Δ上正規(guī)。

定理3[5]設(shè)F是D上的一亞純函數(shù)族，a和b是兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)任一f∈F，f(z)與f′(z)在D內(nèi)IM分擔(dān)a,b，則F在D內(nèi)正規(guī)。

定理4[6]設(shè)F是單位圓盤Δ上的一亞純函數(shù)族，a是一個(gè)非零的有窮復(fù)數(shù)，如果對(duì)任一f∈F，f(z)與f′(z)在Δ內(nèi)IM分擔(dān)a，且f(z)的零點(diǎn)是重級(jí)的，則F在Δ內(nèi)正規(guī)。

定理5[7]設(shè)F是單位圓盤Δ上的一亞純函數(shù)族，a和b是任意兩個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)。如果對(duì)任一f∈F，f(z)的零點(diǎn)重級(jí)至少是k+1，且f(z)=a?f(k)(z)=b，則F在Δ上正規(guī)。

這時(shí)，自然地就會(huì)考慮定理中的條件能否進(jìn)一步減弱為單向分擔(dān)，本文證明了如下定理：

2相關(guān)引理

這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個(gè)亞純函數(shù)，其零點(diǎn)(極點(diǎn))重級(jí)均≥k(j)，且g#(ζ)≤g#(0)=1。

注這是Zalcman引理的推廣，亦稱為Zalcman引理，其中當(dāng)k=1,j=1,α=0時(shí)是Zalcman最早的結(jié)果。該形式是文獻(xiàn)[12-14]推廣而得到的。

這里g(ζ)為復(fù)平面上的一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，其零點(diǎn)重級(jí)至少為k，且g#(ζ)≤g#(0)=kA+1。特別地，g(ζ)的級(jí)至多為2。

引理3[16](Hurwitz定理)設(shè)函數(shù)序列{fn(z)}在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個(gè)不恒為零的函數(shù)，γ是D內(nèi)可求長(zhǎng)的閉曲線，其內(nèi)部屬于D，且不經(jīng)過f(z)的零點(diǎn)，則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，在γ內(nèi)部，fn(z)和f(z)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是相同的。

引理4[17-18]設(shè)f(z)為復(fù)平面上的有窮級(jí)亞純函數(shù)，b為非零復(fù)數(shù)，k為正整數(shù)。若f(z)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，極點(diǎn)重級(jí)至少為2，且f(k)(z)≠b，則f(z)為一常數(shù)。

3定理6的證明

又g(ξ)的零點(diǎn)重級(jí)至少為k+1，極點(diǎn)重級(jí)至少為2，由引理4知：g(ξ)為一常數(shù)，這與g(ξ)是非常數(shù)亞純函數(shù)矛盾。從而定理6得證。

4結(jié)束語(yǔ)

目前，將正規(guī)族理論應(yīng)用到亞純函數(shù)唯一性的研究中，已取得了一些很好的結(jié)果。另外，正規(guī)族的基礎(chǔ)理論在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的Julia集分形和擬共形映照理論等方面有著廣泛的應(yīng)用。

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Shared Values and Normal Families

LVFengjiao,JIANGHongjing

(College of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

meromorphic functions; shared values; normal family

2016-04-19

呂鳳姣(1983-)，女，河南商丘人，講師，碩士，主要從事復(fù)分析方面的研究，(E-mail)lvfengjiao_2008@163.com

1673-1549(2016)04-0078-03

10.11863/j.suse.2016.04.17

O174.52

A