丁建生

認(rèn)識方法用好方法——《有理數(shù)》中的數(shù)學(xué)方法

丁建生

有理數(shù)的學(xué)習(xí)幫助同學(xué)們擴充了數(shù)的范圍,開拓了知識視野.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,同學(xué)們不僅要學(xué)好課本中的知識,還要善于發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、提煉其隱含的數(shù)學(xué)思想方法.只有掌握了數(shù)學(xué)方法,才能體會數(shù)學(xué)的奧妙、領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精髓.下面,結(jié)合例題談?wù)劇队欣頂?shù)》中的主要數(shù)學(xué)方法.

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來,分析、研究、解決問題的一種思想方法.著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”用數(shù)軸上的點表示有理數(shù),就是簡單的數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn).利用數(shù)形結(jié)合,可使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化.

例1已知a＞0,b＜0,a+b＞0,試比較-a、a、-b、b的大小.

【解析】因為a＞0,b＜0,所以a在原點的右邊,b在原點的左邊.又因為a+b＞0,所以a的絕對值大于b的絕對值,即a離原點的距離比b遠(yuǎn),由此a、b在數(shù)軸上的位置可表示出來.再根據(jù)相反數(shù)的意義,可把-a、-b在數(shù)軸上表示出來,所以,根據(jù)數(shù)軸上的點,左邊的點所表示的數(shù)總比右邊的點所表示的數(shù)小,可得出-a＜b＜-b＜a.

【反思】用數(shù)軸來比較數(shù)的大小是一種常用的有效方法.當(dāng)然,本題若改為填空題,解答時可用特殊值法,如取a=2、b=-1,則-a=-2、-b=1,顯然-2＜-1＜1＜2,即有-a＜b＜-b＜a.

例2同學(xué)們都知道，||5-（-2）表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離.試探索：

(1)求||5-（-2）=.

(3)由以上探索猜想：對于任何有理數(shù)x,||x-3+||x-6是否有最小值?如果有，求出最小值；如果沒有，說明理由.

【解析】(1)7;(2)畫出數(shù)軸:

若設(shè)該數(shù)軸上表示-5與2的兩個點是A、B,線段AB上任何一點為P,顯然PA+PB= AB,故-5到2之間的所有數(shù)都滿足||x+5+,其中,這樣的整數(shù)有-5、-4、-3、-2、 -1、0、1、2.

(3)猜想:||x-3+||x-6有最小值3.由(2)不難看出,當(dāng)x在3到6之間時,x到3的距離與x到6的距離的和是3,并且是最小的.當(dāng)x＜3和x＞6時,x到3的距離與x到6的距離的和都大于3.

【反思】本題用了一個基本常識:

如圖,直線上有三點A、B、P,若P在AB之間(含A、B),則PA+PB=AB;若P不在AB間,則PA+PB＞AB.

(事實上，此時PA+PB=2PA+AB或PA+ PB=2PB+AB).

用此結(jié)論,還可解決下列問題:

(1)求||x+1+||x-3+||x-6的最小值.

【提示】根據(jù)絕對值的意義,式子可看作是在數(shù)軸上x代表的點到數(shù)-1、3、6表示的點的距離之和,只有x=3時,式子有最小值7.

(2)求||x+2+||x+1+||x-3+||x-6的最小值.

【提示】在數(shù)軸上畫出表示-2、-1、3、6的點A、B、C、D,若表示數(shù)x的點為P,式子就是點P到點A、B、C、D的距離之和,顯然只有當(dāng)P在BC間(含B、C)時,有最小值為PB+ PC+PA+PD=BC+AD.

(3)如圖,某冰箱廠的生產(chǎn)流水線上依次排列著A、B、C、D、E五名工人在組裝零部件,現(xiàn)欲設(shè)一個零件供應(yīng)點,問:設(shè)于何處,可使五名工人與零件供應(yīng)站的距離總和最小?如果有6名工人又該怎樣呢?如果有n名工人時,零件供應(yīng)站應(yīng)設(shè)在何處?

【提示】五名工人時,設(shè)在C處.此時,總距離為AE+BD;若6名工人,供應(yīng)點設(shè)在第3和第4名工人之間;當(dāng)n為奇數(shù)時,供應(yīng)點應(yīng)設(shè)在第個點處,若n是偶數(shù),供應(yīng)點應(yīng)設(shè)在第+1個點之間的任一點上.

二、分類討論

在解答某些數(shù)學(xué)問題時,有時會遇到多種情況,需要對各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這就是分類討論法.分類必須做到:每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進行;分類要做到不重復(fù)、不遺漏.

例3比較3a和-3a的大小.

【解析】由于題中沒有給出a的取值范圍,故需分三種情況來進行討論: (1)當(dāng)a＞0時,3a＞0,-3a＜0,∴3a＞-3a; (2)當(dāng)a=0時,3a=0,-3a=0,∴3a=-3a; (3)當(dāng)a＜0時,3a＜0,-3a＞0,∴3a＜-3a.【反思】解本題時,應(yīng)首先想到a=0時, 3a=-3a,再想到a＜0、a＞0.

a＜-1;a=-1;-1＜a＜0;0＜a＜1;a=1; a＞1.

例4已知||x=3,y2=16,xy＜0,求x-y的值.

【解析】由||x=3,得x=3或-3;由y2=16,可得y=4或-4,再由xy＜0,可知x、y異號,故分兩種情況:當(dāng)x=3、y=-4時,x-y=3-（-4）=7;當(dāng)x=-3、y=4時,x-y=-3-4=-7.

【反思】本題若沒有xy＜0,就要分四種情況.

【解析】因為||a-b+||c-a=1,并且a、b、c均為整數(shù),所以||a-b和||c-a=0或1,當(dāng)||a-b=1時,||c-a=0,則c=a,||c-b=1,時,||c-a=1,則b=a,||c-b=1,||a-c+

【反思】本題中條件——“整數(shù)”是非常重要的,如果把題目中的條件||a-b+,其他不變,你會解嗎?

例6一個正方體的每個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.根據(jù)下圖中該正方體三種狀態(tài)所顯示的數(shù)據(jù)，能否推出“?”處的數(shù)字是多少?

【解析】本題可先嘗試確定每個面的數(shù).根據(jù)圖(1),設(shè)與數(shù)1相對的面上的數(shù)是a,與數(shù)4、5相對的面上的數(shù)分別是b、c.顯然a、b、c只能在數(shù)2、3、6中取.下面分情況討論:當(dāng)a=2時,這與圖(2)中數(shù)1、2相鄰相矛盾;當(dāng)a=3時,同樣與數(shù)1、3相鄰相矛盾.故a=6.當(dāng)b=2時,則c=3,這與圖(3)中數(shù)3、5相鄰矛盾.故只有b=3,c=2.所以a=6,b=3,c=2.這樣“?”處的數(shù)是6.

【反思】本題實際上進行了多級分類,把各種情況一一列舉(討論),“不重復(fù)、不遺漏”,才正確地找出了符合要求的答案.

三、化歸轉(zhuǎn)化

化歸轉(zhuǎn)化,就是將所要解決的問題化為已經(jīng)學(xué)過的老問題加以處理的一種方法.如,利用相反數(shù)的概念,將有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的加法,即“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”.轉(zhuǎn)化,就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”,把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”,把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”.

例7計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2013+2014-2015-2016.

【解析】若逐一計算會很麻煩,經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)數(shù)值的絕對值是連續(xù)整數(shù),運算符號四個為一組循環(huán),而2016能被4整除.于是把這4個一組的數(shù)作為一個整體,問題就迎刃而解了.

原式=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(2013+2014-2015-2016) =(-4)+(-4)+(-4)+……+(-4)=(-4)×504 =-2016.

【反思】此題中將每四個數(shù)進行組合,從而2016個數(shù)的加減運算就轉(zhuǎn)化成為504個數(shù)(相同)的加法運算,這是由復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化的過程.

例8現(xiàn)有37只茶杯整齊地放在桌上，且都是杯口朝下，現(xiàn)在每次把任意6個茶杯倒置過來(不論原來杯口是朝上還是朝下)，能否經(jīng)過若干次后，使所有的茶杯的杯口都朝上，如果能夠做到的話，請你設(shè)計一種方案，如果不能做到，請你說明理由.

【解析】不可能.假設(shè)每個杯杯口朝下記為+1,則37個杯杯口朝下即37個(+1)相乘仍得+1,一次倒置6個茶杯就相當(dāng)于把每個杯子乘以-1,6個(-1)相乘得+1,而最后要求37個杯杯口朝上,即37個(-1)相乘,此時結(jié)果得-1,而+1不論怎么乘以若干個(+1)都不可能變成-1.所以,不可能經(jīng)過若干次變化,使37個杯子杯口都朝下.

【反思】本題中的數(shù)字37較大,用列舉法幾乎行不通!這就需要我們想出能揭示其本質(zhì)的東西(方法),當(dāng)我們用+1、-1表示其狀態(tài)時,問題就變得簡潔、明了.這是將實際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)(數(shù)字)問題(有理數(shù)運算)的過程.同學(xué)們有沒有體會到數(shù)學(xué)的魅力?

江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué))