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推理與證明必考題型賞析

■遼寧省蓋州市第一高級中學(xué) 李 闖

一、歸納推理中注意結(jié)構(gòu)特征和項數(shù)的變化規(guī)律

正方形數(shù)N(n,4)=n2；

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n；

……

可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=____。

點評：歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍。一般而言，是抓住“n”進行觀察，尤其要“看透”等式左邊和式(或積式)中的最末一項，有的需要挖掘隱含條件，有的需要變形，有的需要輔以計算。如本題構(gòu)造等差數(shù)列{ak}，{bk}的通項公式得到N(n,k)的一般規(guī)律。

二、類比推理中注意形式和方法的類比

圖1

解析：在Rt△ABC中，由AB⊥AC,AD⊥BC,可得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,AD2=BD·CD。

圖2

連接BE并延長交CD于點F，連接AF。

因為AB⊥AC,AB⊥AD，AC與AD同在平面ACD內(nèi)，且AC∩AD=A，所以AB⊥平面ACD。

點評：在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，方法的類比，還要注意找兩類對象的對應(yīng)元素，找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系。

三、新定義推理中注重演繹推理

解析：新定義的函數(shù)利用三點共線的條件探究其特殊性，再得到特殊函數(shù)的表達式。

設(shè)A(a，f(a))，B(b，-f(b))，C(c，0)，則此三點共線。

點評：依據(jù)新定義和三點共線的條件，探究三點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，抽象概括出特殊函數(shù)的表達式，本題系典型的演繹推理。大前提為定義函數(shù)f(x)的平均數(shù)，利用三點共線進行推理構(gòu)造滿足條件的特殊函數(shù)，對同學(xué)們綜合解決問題的能力要求較高。

四、分析法證明中注意書寫格式的規(guī)范

點評：分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證的命題的已知條件時命題已得證。 要注意書寫格式的規(guī)范性。

五、反證法證題否定結(jié)論一定要推出與題設(shè)或結(jié)論明顯的矛盾

例5 已知長、寬、高分別為a、b、c的長方體的表面積為24，求證：a、b、c至少有一個不小于2。

分析：證明的第一步是作出否定結(jié)論的假設(shè)，“a、b、c至少有一個不小于2”亦即“a、b、c至少有一個大于等于2”，它包括三種情形：“a、b、c只有一個大于等于2”，“a、b、c有兩個大于等于2”，“a、b、c都大于等于2”，所以它的否定應(yīng)為“a、b、c都小于2”。證明的第二步是以“a、b、c都小于2”為基礎(chǔ)，運用數(shù)學(xué)知識和已知條件進行推理，直至導(dǎo)出矛盾。 證明的第三步是根據(jù)相關(guān)邏輯知識說明原命題是真命題，從而問題得證。

證明： 假設(shè)a、b、c都小于2，則a2+b2+c2<12。

因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac，三式相加得2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac=24，所以a2+b2+c2≥12，這與a2+b2+c2<12矛盾。

所以，a、b、c不可能都小于2，其中至少有一個不小于2。

點評：先否定命題的結(jié)論，而承認(rèn)命題的條件，經(jīng)過推理后，與假設(shè)相矛盾，從而得出原命題為真命題。

六、數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題一定要用歸納假設(shè)和數(shù)列本身的特征

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)式成立。

(1)當(dāng)n=1時，左邊=右邊，(*)式成立。

=(k+2)k+1。

所以當(dāng)n=k+1時，(*)式也成立。

根據(jù)(1)(2)，可知(*)式對一切正整數(shù)n都成立。

七、題目中含有“不可能”時，常用反證法

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(2)證明:數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列。

因此只可能有2bs=br+bt成立。

化簡得3t-r+2t-r=2·2s-r·3t-s。(*)

因為r

點評：反證法先否定命題的結(jié)論，而承認(rèn)命題的條件，經(jīng)過推理后，發(fā)現(xiàn)與假設(shè)或結(jié)論有明顯的矛盾，進而得到原命題為真命題。 當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾。

八、立體幾何推理中注重演繹推理

例8 (2015年山東高考理17)如圖3，在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點。

圖3

(1)求證：BD∥平面FGH；

(2)如果CF⊥平面ABC，AB⊥BC,CF=DE，∠BAC=45°,求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小。

解析：(1)可構(gòu)造輔助面為平行四邊形以及三角形的中位線得到線線平行，進而求證線面平行。連接DG,CD，設(shè)CD∩GF=O。連接OH，在三棱臺DEF-ABC中，由AB=2DE,G為AC的中點，可得DF∥GC,DF=GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點。

又H為BC的中點，所以O(shè)H∥BD。

又OH?平面FGH,BD?平面FGH, 所以BD∥平面FGH。

(2) 由CF⊥平面ABC，如圖4所示，易知平面ABC⊥ACFD。

作HM⊥AC于點M，設(shè)AB=2，則CF=DE=1。作MN⊥GF于點N，連接NH。

圖4

由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC。

又FC∩AC=C，所以HM⊥平面ACFD。

又NM⊥GF,因此GF⊥NH,∠MNH即為所求二面角的平面角。

所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°。

點評：立體幾何問題的求解過程系演繹推理的三段論模式，大前提為空間中的定義、定理和結(jié)論，一定正確，小前提是所研究的特殊情況(面面垂直、線面平行和體積計算等)，根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結(jié)論一定正確。要正確認(rèn)識演繹推理的特點，把握三段論思想的具體應(yīng)用，提高自身的邏輯推理能力。

(責(zé)任編輯 徐利杰)