■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

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《推理與證明》必刷題匯集

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一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的)

A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)

C．第19項(xiàng) D．第11項(xiàng)

2．有一段演繹推理是這樣的：有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)。結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)? )。

A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤

C．推理形式錯(cuò)誤 D．以上說(shuō)法都不是

A．1 B．1+2

C．1+2+3 D．1+2+3+4

4．觀察數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特點(diǎn)，按此規(guī)律，則第100項(xiàng)為( )。

A．10 B．14 C．13 D．100

5．下列說(shuō)法正確的是( )。

A．“a

B．命題“?x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“?x∈R，x3-x2-1≤0”

C．“若a、b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)”

D．如果p∧q為假命題，那么p、q均為假命題

6．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( )。

A．6+6·7kB．2+7k-1

C．2(2+7k+1) D．3(2+7k)

8．已知a+b+c=0，則ab+bc+ca的值( )。

A．大于0 B．小于0

C．不小于0 D．不大于0

A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)

C．a(chǎn)=bD．a(chǎn)、b的大小不定

10．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對(duì)一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值為( )。

D．不存在這樣的a、b、c

11．設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0=5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn+1=f(xn)，則x2 016=( )。

x12345f(x)41352

A．1 B．2 C．4 D．5

12．已知數(shù)列{xn}滿足xn+3=xn，xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*)，若x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，則數(shù)列{xn}的前2 016項(xiàng)的和S2 016的值為( )。

A．672 B．1 344

C．2 016 D．2 688

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

14．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)?！币艺f(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)。”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了。”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)?！彼奈桓枋种兄挥袃扇说脑捠钦_的，則獲獎(jiǎng)的歌手是____。

16．在平面上，我們用一直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖1所示，由勾股定理知c2=a2+b2。設(shè)想把正方形換成正方體，把截線換成截面，如圖2，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如圖3所示，如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是____。

圖1 圖2 圖3

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

19．(本題12分)我們知道，在△ABC中，若c2=a2+b2，則△ABC是直角三角形。現(xiàn)在請(qǐng)你研究：若cn=an+bn(n>2)，則△ABC為何種三角形？為什么？

(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)；

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

22．(本題12分)設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)=5，且滿足：

①任意n∈N*，f(n)∈Z；

②任意m，n∈N*，有f(m)·f(n)=f(mn)+f(m+n-1)。

(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；

(2)求f(n)的表達(dá)式。

參考答案

1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9.B

11．D 提示：由于x1=f(x0)=f(5)=2，x2=f(2)=1，x3=f(1)=4，x4=f(4)=5，x5=f(5)=2，…，歸納可得數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列，所以x2 016=x0=5。

12．B 提示：根據(jù)題意，x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a(a≤1，a≠0)，則x1+x2+x3=2。又xn+3=xn，所以x4=x1，x5=x2，x6=x3，即x4+x5+x6=x1+x2+x3=2。同理，x7+x8+x9=2，…，x3n+1+x3n+2+x3n+3=2，而2 016=672×3，則S2 016=2×672=1 344。

14．丙 提示：若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙。

17．由a2+b2≥2ab，及b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，以上三式相加整理得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca。

則3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2。

由a+b+c=1，得3(a2+b2+c2)≥1。

證明如下：設(shè)A(x0，y0)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A關(guān)于橢圓中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(-x0，-y0)，點(diǎn)P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則：

19．△ABC為銳角三角形。

證明過(guò)程如下：cn=an+bn(n>2)，c>a，c>b，由于c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC>0。

證cosC>0，只要證a2+b2>c2。

①

注意到條件：an+bn=cn，于是將①等價(jià)變形為：(a2+b2)cn-2>cn。

②

因?yàn)閏>a，c>b，n>2，所以cn-2>an-2，cn-2>bn-2，即cn-2-an-2>0，cn-2-bn-2>0。

從而(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0，這說(shuō)明②式成立，從而①式也成立。

故cosC>0，C是銳角，△ABC為銳角三角形。

20．(1)任取x1，x2∈(-1，+∞)，不妨設(shè)x10，ax2-x1>1且ax1>0。

ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0。

x1+1>0，x2+1>0。

故函數(shù)f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)。

故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根。

21．(1)f′(x)=(x-1)(ex-1)。

當(dāng)x<0或x>1時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)0

f(x)在(-∞，0)和(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減。

當(dāng)x=0時(shí)，f(x)有極大值f(0)=0；

22．(1)因?yàn)閒(1)f(4)=f(4)+f(4)，所以5f(1)=10，則f(1)=2。

因?yàn)閒(n)是單調(diào)增函數(shù)，所以2=f(1)

因?yàn)閒(n)∈Z，所以f(2)=3，f(3)=4。

(2)由f(1)=2，f(2)=3，f(3)=4，f(4)=5，猜想f(n)=n+1。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，命題成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4)時(shí)，命題成立，下面討論n=k+1的情形。

即f(k+2)=k+3。

又k+1=f(k)

因此不論k的奇偶性如何，總有f(k+1)=k+2，即n=k+1時(shí)，命題也成立。

于是對(duì)一切n∈N*，f(n)=n+1。

(責(zé)任編輯 徐利杰)