錢　霞

數(shù)與式巧思妙解集錦（二）

錢霞

【解析】本題根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0，得1-y≥0，y≤1，

∴1+x=0，1-y=0，

∴x=-1，y=1，

∴x2011-y2011=（-1）2011-12011=-1-1=-2.

例2已知當(dāng)x=1時，2ax2+bx的值為3，則當(dāng)x=2時，ax2+bx的值為_______.

【解析】將x=1代入2ax2+bx=3，得2a+b=3.

此時將2a+b看成一個整體，

當(dāng)x=2時，ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=2× 3=6.

例3把一張紙片剪成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成4塊，像這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止.那么2007，2008，2009，2010這四個數(shù)中_______可能是剪出的紙片數(shù).

【解析】本題是一個規(guī)律題，第一次剪成4塊；第二次剪把其中的一張剪成了4塊，所以有3+4=7塊；第三次剪又把其中的一張剪成了4塊，所以有3×2+4=10塊，第四次剪又把其中的一張剪成了4塊，所以有3×3+ 4=13塊……，由此得總塊數(shù)是3n+4=3（n+ 1）+1，在2007，2008，2009，2010中只有2008是被3除余數(shù)是1的數(shù).

所以答案為2008.

【解析】本題提供兩種方法：

方法一（通分）：

分母相同，因為b的分子大，所以b就大.方法二（找規(guī)律）：

由此推斷a

例5把三張大小相同的正方形卡片A，B，C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.若按圖1擺放時，陰影部分的面積為S1，若按圖2擺放時，陰影部分的面積為S2，則S1______S2（填“＞”、“＜”或“=”）.

圖1

圖2

【解析】如圖所示，設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b.在圖3中，設(shè)未被卡片覆蓋的部分寬分別為m、n，長為q；在圖4中，設(shè)未被卡片覆蓋的部分寬為m′、n′，長為q′，則m+n=m′+n′=a-b，而q=q′=a-b.

圖3

圖4

∴在圖3中，設(shè)未被卡片覆蓋的部分（陰影）的面積為S1=（m+n）q=（a-b）2；在圖4中，設(shè)未被卡片覆蓋的部分（陰影）的面積為S2=（m′+n′）q′=（a-b）2.綜上所述，可知S1=S2.

例6如圖5，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）.

A.（2a2+5a）cm2B.（3a+15）cm2

C.（6a+9）cm2D.（6a+15）cm2

圖5

【解析】方法一：不管剪下來的部分怎么拼，拼成的圖形面積利用大正方形的面積減去小正方形的面積即可.矩形的面積為：

（a+4）2-（a+1）2

=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）

=a2+8a+16-a2-2a-1

=6a+15.

方法二：求出后拼成的長方形的長和寬.

寬為：a+4-（a+1）=3，

長為：a+4+a+1=2a+5，

面積為：3（2a+5）=6a+15.

所以選D.

若用平方差公式：

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）