肖智敏

函數(shù)圖像平移問題解法指導(dǎo)

肖智敏

在平面內(nèi)將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向做相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡稱平移.

函數(shù)的圖像是圖形，所以有關(guān)函數(shù)圖像平移問題，其實(shí)質(zhì)就是圖形沿著x軸方向或y軸方向左右或上下移動(dòng)，從而得到同樣形狀的新圖像，是數(shù)形結(jié)合的典型問題.這類問題在中考試題中較為常見，而且形式多樣、變化多種，同學(xué)們在遇到時(shí)普遍感到迷惑、易錯(cuò).下面我就平移的基本特征，談?wù)労瘮?shù)圖像平移的規(guī)律.

一、一次函數(shù)的圖像平移問題

一次函數(shù)的圖像是直線，在一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)k決定著直線的傾斜程度：直線y=k1x+b1與直線y=k2x+b2平行?k1=k2.在此基礎(chǔ)上，遵循下面規(guī)律即可實(shí)現(xiàn)直線平移.

例1將一個(gè)一次函數(shù)的圖像向下平移2個(gè)單位長度后，所得的直線的關(guān)系式為y=5x-4，求原函數(shù)的關(guān)系式.

【解析】可設(shè)原函數(shù)的關(guān)系式為y=5x+ b，根據(jù)平移法則可知：b-2=-4，b=-2，所以原函數(shù)的關(guān)系式為y=5x-2.

例2函數(shù)y=3x+1的圖像沿x軸正方向平行移動(dòng)_______單位，使它過點(diǎn)（1，-1）.

【解析】將函數(shù)y=3x+1的圖像沿x軸正方向平移m個(gè)單位，可以看作向右平移m個(gè)單位，根據(jù)平移法則，平移后的解析式為y=3（xm）+1，由平移后的圖像過點(diǎn)（1，-1）可得

二、二次函數(shù)的圖像平移問題

平移拋物線只改變了拋物線的位置，而不改變它的形狀、大小及開口方向，即a值不變.左右平移時(shí)橫坐標(biāo)變化，上下平移時(shí)縱坐標(biāo)變化.也就是說任意拋物線y=a（xh）2+k（a≠0），可以由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到：

例3把拋物線y=x2+bx+c的圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖像的解析式是y=x2-3x+5，則有（）.

A.b=3，c=7B.b=-9，c=-15

C.b=3，c=3D.b=-9，c=21

【解析】本題若先將y=x2+bx+c化為頂點(diǎn)式，按平移規(guī)律解答，較為煩瑣，若采用逆推法，即將y=x2-3x+5=向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位反推回去，即可得原二次函數(shù)圖像，較為簡單，因此，，化簡得y=x2+3x+7.選A.

例4把拋物線y=-3（x-1）2向上平移k個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于（x1，0）、（x2，0）兩點(diǎn)，已知，則平移后的拋物線解析式為_______.

【解析】根據(jù)平移法則，平移后的解析式為：

y=-3（x-1）2+k，即y=-3x2+6x+k-3.

∴y=-3（x-1）2+，即y=-3x2+6x-

三、反比例函數(shù)的圖像平移問題

反比例函數(shù)圖像為雙曲線，平移時(shí)同樣遵循平移變換化簡口訣：左加右減，上加下減.

四、函數(shù)圖像平移問題的綜合應(yīng)用

例6如圖1，已知點(diǎn)C為直線y=x上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線y=2x+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，將直線AB沿射線OC方向平移個(gè)單位，求平移后的直線的解析式.

圖1

【解析】首先過B作B′B∥OC，則點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，然后過B′作B′D⊥x軸于D，

∴點(diǎn)B′可以看成點(diǎn)B先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到，

∴平移后解析式為y=2（x-3）+1+3，即y=2x-2.

例7如圖2，平行四邊形ABCD中，AB=4，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，8），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+ bx+c經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A、B.

圖2

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).

（2）若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點(diǎn)D，求平移后拋物線的解析式.

【解析】（1）由平行四邊形性質(zhì)易求出A（2，0），B（6，0），C（4，8）；

（2）由拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（4，8），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）2+8，易求得a=-2，即拋物線解析式為y= -2（x-4）2+8.

∵拋物線向上平移，

∴設(shè)平移后拋物線的解析式為y=-2（x-4）2+8+k，把（0，8）代入上式得k=32，

∴平移后拋物線的解析式為y=-2（x-4）2+ 40，即y=-2x2+16x+8.

【總結(jié)】對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a≠0），反比例函數(shù)（k≠0），若將它們的函數(shù)圖像向上（或下）平移m個(gè)單位，平移后的解析式分別為y=kx+b±m(xù)，y=a（x-h）2+k±m(xù)若將它們的函數(shù)圖像向左（或右）平移n個(gè)單位，平移后的解析式分別為y=k（x±n）+b， y=a（x-h±n）2+k.簡而言之：上加下減，左加右減.根據(jù)這一原則，可以順利解答各類平移問題.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）