吳良聰
二次函數(shù)與幾何圖形存在性問題
吳良聰
二次函數(shù)中幾何圖形的存在問題是近年來??嫉念}型,實際上,只要我們能充分運用條件,根據(jù)圖形的特點,綜合運用所學知識,如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關(guān)系,從而構(gòu)造出二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.現(xiàn)舉例說明.
例1(2011·淮安)如圖1,已知二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與x軸的一個交點為A(4,0),與y軸交于點B.
圖1
(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式和點B的坐標;
(2)在x軸的正半軸上是否存在點P,使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【分析】由于在x軸正半軸上且以AB為底邊,所以這樣的點P只有一個,易得AP=BP,又OP=OA-AP,所以可以借助勾股定理求出OP的長,從而得出P點坐標為特別要注意如果沒有條件限制,我們就要分類討論.
圖2
(1)若A(-4,0),求二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在(1)的條件下,求四邊形AMBM′的面積;
【分析】本題可以證明出四邊形AMBM′為菱形,再添加一個條件使它成為正方形,從而確定是否存在,這個條件可以是一個角是直角,也可以是對角線相等.利用這些可求出M點坐標,于是可求出函數(shù)關(guān)系式為
例3(2010·遵義)如圖3,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為Q(2,-1),且與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側(cè)),點P是該拋物線上的一動點,從點C沿拋物線向點A運動(點P與A不重合),過點P作PD∥y軸,交AC于點D.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在點P使△ADP是直角三角形,若存在,求出點P的坐標;
(3)在題(2)的結(jié)論下,若點E在x軸上,點F在拋物線上,問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形?若存在,求點F的坐標;若不存在,請說明理由.
圖3
【分析】第(2)小問要對直角進行分類,由于PD∥y軸,所以∠ADP不可能為直角,那么只還有∠APD和∠DAP分別為直角兩種情況.當∠APD為直角時,可以確定點P所在位置即點B位置,所以很容易求出點P第一種坐標,即點P(1,0).當以∠DAP為直角時,易知OA=OC,因此∠OAC=45°,所以只需∠OAP=45°即可,再通過作垂線,可求出點P的第二個坐標為(2,-1).
第(3)小問,當P在點B處時不存在這樣的平行四邊形;只有(2)中第2種情況存在,并且有兩種情況,可根據(jù)點P的縱坐標來確定點F的縱坐標,從而求出點F的坐標為
例4(2012·昌平期末)如圖4,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)圖像的頂點坐標為,且在x軸上截得的線段AB的長為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上確定一點M,使MA+MC的值最小,求出點M的坐標;
(3)在x軸下方的拋物線上,是否存在點N,使得以N、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似?如果存在,求出點N的坐標;如果不存在,請說明理由.
圖4
【分析】此題第(3)小問,如果假設(shè)存在,設(shè)出點P的坐標,再利用相似來解計算量大而且含有字母,不容易算到底.我們可以換個思路,作出這樣的相似三角形,求出點N的坐標,然后再來判斷點N是否在拋物線上,就容易了.由相似可得點N坐標為(-10,,經(jīng)檢驗在拋物線上.
例5(2015·德州)已知拋物線y=-mx2+ 4x+2m與x軸交于點A(a,0),B(b,0),且
(1)求拋物線的解析式.
(2)拋物線的對稱軸為l,與y軸的交點為C,頂點為D,點C關(guān)于l的對稱點為E,是否存在x軸上的點M,y軸上的點N,使四邊形DNME的周長最???若存在,請畫出圖形(保留作圖痕跡),并求出周長的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)若點P在拋物線上,點Q在x軸上,當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,求點P的坐標.
圖5
【分析】第(2)問可用幾何作圖確定存在,分別作D、E關(guān)于y軸、x軸的對稱點,兩對稱點連線與坐標軸的交點就是點M、N,再運用勾股定理可求出線段DE與D′E′的長,就可求出四邊形的最小周長,最小周長為
第(3)問有四種情況,根據(jù)點D、E坐標可確定點P的縱坐標,再運用解析式求出橫坐標.點P坐標為
例6(2013·江寧一模)如圖6,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A、B,它的對稱軸是過點(1,0)且與y軸平行的直線,點A的橫坐標是-2.
圖6
(2)如圖7,直線l過點C(2,0)且與y軸平行,現(xiàn)有點P由點A出發(fā)沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運動,同時點Q從點C出發(fā),沿直線l向上以每秒1個單位長度的速度運動,設(shè)運動的時間為t秒.
圖7
①當PQ⊥AQ時,求t的值;
②在二次函數(shù)的圖像上是否存在點D,使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形?若存在求出點D的坐標.
【分析】本題的第(2)問的第②小問考的是平行四邊形存在問題.因為點P、Q變化,點D也隨著變化,所以可以選擇將線段CQ分類.把線段CQ作為平行四邊形的邊,這是一種情況,可求出兩個解;另一種情況是把線段CQ作為平行四邊形的對角線,又可求出兩個解,共計四個解.平行四邊形存在性問題比較常見,首先要會分類,再抓住對邊相等,或者根據(jù)四邊形的對稱性求出點的坐標.所以點D坐標分別為(0,-1)、(8,5)、
(作者單位:江蘇省宿遷市鐘吾國際學校)