張恩培, 李 星, 吳呈良, 董 魁

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)理學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

?

具有連續(xù)時(shí)滯的反饋控制合作系統(tǒng)的持久性

張恩培, 李 星, 吳呈良, 董 魁

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 數(shù)理學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

研究了一類(lèi)具有連續(xù)時(shí)滯的反饋控制合作系統(tǒng).通過(guò)利用一種不等式分析方法, 建立了保證系統(tǒng)持久性的充分條件,結(jié)果表明反饋控制變量對(duì)系統(tǒng)的持久性沒(méi)有影響.

連續(xù)時(shí)滯; 反饋控制; 持久性; 合作系統(tǒng)

種群的持久存在性歷來(lái)是人們關(guān)注的焦點(diǎn).通過(guò)在種群模型中引入反饋控制項(xiàng),可以對(duì)生物種群進(jìn)行調(diào)整,維持生物種群的數(shù)量穩(wěn)定性.目前,關(guān)于反饋控制合作系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究已經(jīng)很多了[1-7].如Chen對(duì)一類(lèi)具連續(xù)時(shí)滯的反饋控制May合作種群的持久性進(jìn)行了分析[2];He則討論了離散時(shí)滯的情形[4].本文考慮了如下具有連續(xù)時(shí)滯和反饋控制的n種群合作系統(tǒng),

(1)

式中,Ni(t)(i=1,…,n)代表第i個(gè)合作種群的密度,ui(t)(i=1,…,n)代表反饋控制變量,系統(tǒng)有如下假設(shè):

(H1)ri(t),Ki(t),αij(t),di(t),ai(t),bi(t),i,j=1,2,…,n.是連續(xù)的實(shí)值函數(shù),且上下界均為正常數(shù),αij(t)>Ki(t),i,j=1,2,…,n,j≠i.

(H2)Tij,σi,δi,ηi是正常數(shù),Pij(s),Gi(s),Hi(s),Li(s)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)且滿足

(2)

令τ=max{Tij,δi,σi,ηi,i,j=1,2,…,n.},初始條件為

(3)

由泛函微分方程定理[8]不難看出,當(dāng)t≥0時(shí),解滿足

對(duì)于一個(gè)定義在R上的有界連續(xù)函數(shù)g,有如下的定義:

gl=infg(t),gu=supg(t).

1 預(yù)備知識(shí)

引理5[10]假設(shè)a>0,b(t)>0是有界連續(xù)函數(shù),x(0)>0,進(jìn)一步假定

對(duì)所有的t≥θ≥0,

特別地,如果b(t)的上界對(duì)應(yīng)的是M,那么

引理6[10]假設(shè)a>0,b(t)>0 是有界連續(xù)函數(shù),x(0)>0,進(jìn)一步假定

對(duì)所有的t≥θ≥0,

特別地,如果b(t)的上界對(duì)應(yīng)的是m,那么

定理1 假設(shè)(H1)和(H2)均成立,則滿足初始條件(2)的系統(tǒng)(1)是持久的,即存在兩個(gè)獨(dú)立于系統(tǒng)(1)的解的正常數(shù)m和M,對(duì)于系統(tǒng)(1)的任意正解,有

2 系統(tǒng)的上界分析

引理7 假設(shè)(N(t),u(t))=(N1(t),…,Nn(t),u1(t),…,un(t))是系統(tǒng)(1)的任意正解,則存在一個(gè)獨(dú)立于系統(tǒng)(1)解的正數(shù)M,使得

證明 假設(shè)(N(t),u(t))=(N1(t),…,Nn(t),u1(t),…,un(t))是系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解.根據(jù)系統(tǒng)(1)第i個(gè)方程可知,當(dāng)t≥0時(shí),

(4)

(5)

將式(5)代入系統(tǒng)(1)的第i個(gè)方程得

(6)

由引理4得:

(7)

因此,存在T1>0,當(dāng)t>T1時(shí),得Ni(t)≤2M1i,由系統(tǒng)(1)的第n+i式可知

(8)

式(8)由引理2得:

(9)

讓M=max{M1i,M2i},i=1,2…,n很顯然,M獨(dú)立于系統(tǒng)的解,引理得證.

3 系統(tǒng)的下界分析

引理8 假設(shè)(N(t),u(t))=(N1(t),…,Nn(t),u1(t),…,un(t)) 是系統(tǒng)(1)的任意正解,則存在一個(gè)獨(dú)立于系統(tǒng)(1)解的正數(shù)m,使得

(10)

根據(jù)系統(tǒng)(1)的第i個(gè)方程可知,當(dāng)t≥T2+τ,

(11)

因此,

(12)

將式(12)代入到系統(tǒng)(1)第n+i個(gè)方程得:

(13)

運(yùn)用引理5可得,當(dāng)t≥θ≥T2+τ時(shí),

(14)

假設(shè)存在一個(gè)γi>0,使得當(dāng)|s|≥γi時(shí),

(15)

因此,

(16)

可以選取任意滿足上面條件的正常數(shù)γi.選定γi,對(duì)于所有的t≥T2+τ+γi,得

(17)

(18)

因此,

(19)

其中maxs∈[-δi,0]exp{-Dis}=exp{0}=1.

將式(19)代入系統(tǒng)(1)第i個(gè)式子,當(dāng)t≥T2+τ+γi時(shí),得

(20)

由引理3可得

(21)

存在一個(gè)T3>max{T2+τ+γi},i=1,2,…,n.當(dāng)t≥T3時(shí),

(22)

將式(22)代入系統(tǒng)(1)的第n+i個(gè)方程得

(23)

因此,由引理1可得

(24)

令m=min{m1i,m2i},m獨(dú)立于系統(tǒng)的解,因此引理8得證.

4 結(jié) 論

由引理7和8證明可知,定理1的結(jié)論是顯然的.針對(duì)系統(tǒng)(1)持久性問(wèn)題,在初始條件下,首先利用不等式放縮方法,討論了系統(tǒng)(1)的上界有界存在性問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上,對(duì)系統(tǒng)(1)的下界采用不等式分析方法進(jìn)行研究,證明了系統(tǒng)(1)下界是有界的,進(jìn)而建立了系統(tǒng)持久性的充分條件,結(jié)果表明了反饋控制變量對(duì)系統(tǒng)(1)的持久性沒(méi)有影響.

[ 1 ]CHENFD,YANGJH,CHENLJ,etal.Onamutualismmodelwithfeedbackcontrols[J].AppliedMathematicsandComputation, 2009,214(2):581-587.

[ 2 ]CHENLJ,XIEXD.PermanenceofanNspeciescooperationsystemwithcontinuoustimedelaysandfeedbackcontrols[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2011,12(12):34-38.

[ 3 ]CHENFD,LIAOXY,HUANGZK.ThedynamicbehaviorofN-speciescooperationsystemwithcontinuoustimedelayandfeedbackcontrols[J].AppliedMathematicsandComputation, 2006,181(2):803-815.

[ 4 ]HEWL.PermanenceandglobalattractivityofN-speciescooperationsystemwithdiscretetimedelaysandfeedbackcontrols[J].AnnalsofDifferentialEquations, 2007,23(1):3-10.

[ 5 ] 白萍,王治民.具生物控制的非自治多種群互惠系統(tǒng)的全局吸引性[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版), 2012,50(4):633-637.

(BAIP,WANGZM.Globalattractivityofnonautonomousmultiplespeciescooperativesystemwithbiocontrols[J].JournalofJilinUniversity(ScienceEdition), 2012,50(4):633-637.)

[ 6 ]LIYK,ZHANGTW.Permanenceofadiscreten-speciescooperationsystemwithtime-varyingdelaysandfeedbackcontrols[J].MathematicalandComputerModelling, 2011,53(5/6):1320-1330.

[ 7 ]YANGWS,LIXP.PermanenceofadiscretenonlinearN-speciescooperationsystemwithtimedelaysandfeedbackcontrols[J].AppliedMathematicsandComputation, 2011,218(7):3581-3586.

[ 8 ]HALEJK.Theoryoffunctionaldifferentialequations[M].Heidelberg:Springer-Verlag, 1997.

[ 9 ]CHENFD,LIZ,HUANGYL.Noteonthepermanenceofacompetitivesystemwithinfinitedelayandfeedbackcontrols[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2007,8(2):680-687.

[10]CHENFD,YANGJH,CHENLJ.Noteonthepersistentpropertyofafeedbackcontrolsystemwithdelays[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2010,11(2):1061-1066.

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Permanence of a Cooperative System with Continuous Time Delays and Feedback Controls

Zhang Enpei, Li Xing, Wu Chengliang, Dong Kui

(SchoolofMathematicsandPhysics,ChinaUniversityofGeosciences,Wuhan430074,China)

Acooperativesystemwithcontinuoustimedelaysandfeedbackcontrolsisstudied.Byapplyinganinequalityanalysismethod,thesufficientconditionswhichensurethepermanenceofthesystemareestablished.Theresultshowsthatthefeedbackcontrolvariableshavenoinfluenceonthepersistentpropertyofthesystem.

continuoustimedelays;feedbackcontrol;permanence;cooperativesystem

2016-05-10

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012CB955700).

張恩培(1990-),男,河北三河人,中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)碩士研究生; 李 星(1962-),男,天津人,中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)教授.

2095-5456(2016)05-0425-04

O 175.14

A