◎馬晴 孫偉 賈雪松

Lipschitz非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計(jì)方法

◎馬晴 孫偉 賈雪松

針對一類滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)，研究了輸出對狀態(tài)為非線性時(shí)的情況下，Luenberger型觀測器的設(shè)計(jì)問題，給出了判斷觀測器穩(wěn)定的充分條件，并利用LMI技術(shù)選取觀測器的增益矩陣，最后，利用Simulink對該情況下的系統(tǒng)及其觀測器進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的準(zhǔn)確觀測。

目前，線性系統(tǒng)的觀測器設(shè)計(jì)問題已經(jīng)較為完善，而非線性系統(tǒng)觀測器的設(shè)計(jì)還沒有一個(gè)通用方法，通常是針對不同情形采用不同方法。

許多實(shí)際的非線性系統(tǒng)都是全部或局部滿足Lipschitz條件，它們作為一類特殊的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)是由Thau首次提出，并給出了觀測器的具體形式和漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。

本文在文獻(xiàn)中利用LMI技術(shù)選取反饋增益矩陣的方法的基礎(chǔ)上，研究一類具有普遍形式的輸出相對狀態(tài)為非線性的Lipschitz非線性系統(tǒng)，并通過Simulink仿真實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的狀態(tài)觀測。

一類Lipschitz非線性系統(tǒng)及其狀態(tài)觀測器

對某Lipschitz非線性系統(tǒng)，描述如下：

其中γ為相應(yīng)的Lipschitz常數(shù)。

對該系統(tǒng)設(shè)計(jì)Lue nberger型觀測器如下：

由中的定理可知，式（2-3）給出的觀測器就可保證動態(tài)誤差是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

輸出相對狀態(tài)為非線性的Lipschitz非線性系統(tǒng)及其觀測器

將輸出相對狀態(tài)為線性時(shí)的方法推廣到輸出相對于狀態(tài)為非線性時(shí)的情形，并對原系統(tǒng)和觀測器進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確狀態(tài)觀測。

系統(tǒng)與狀態(tài)觀測器的描述。針對輸出相對于狀態(tài)為非線性時(shí)的Lipschitz非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)Luenberger型觀測器如下，結(jié)構(gòu)如圖3-1所示：

觀測器的動態(tài)誤差為：

該觀測器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)就是選擇合理的增益矩陣使動態(tài)誤差（3-2）漸進(jìn)穩(wěn)定。

由文獻(xiàn)中定理可知，式（3-1）給出的觀測器可確保動態(tài)誤差（3-2）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

在總結(jié)文獻(xiàn)［4］中將代數(shù)Riccati方程的正定解問題轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式的可行性問題的方法基礎(chǔ)上，利用Matlab中LMI工具箱的feasp函數(shù)，獲得增益矩陣L。

仿真。考慮一輸出相對狀態(tài)為非線性的Lipschitz非線性系統(tǒng)，各參數(shù)取值如下：

顯然γ1=0.5，γ2=0.3。利用LMI求解，可得：L=［1.4180.386］T。

將所得增益矩陣L 帶入到觀測器（3-1）中，給定輸入是振幅為1的sine wave，圖3-2是狀態(tài) x1在初始值時(shí)的實(shí)際和估計(jì)曲線，圖3-3是狀態(tài)x2在初始值時(shí)的實(shí)際和估計(jì)曲線。橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為振幅，實(shí)線是真實(shí)值曲線，虛線是觀測值曲線。

由上圖可見，開始幾秒內(nèi)，觀測器的狀態(tài)不與原系統(tǒng)狀態(tài)完全一致，但能很快跟蹤原系統(tǒng)，達(dá)到狀態(tài)誤差逐漸趨于零，成功利用LMI技術(shù)對輸出對狀態(tài)為非線性的Lipschitz系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)能夠快速跟蹤原系統(tǒng)Luenberger型狀態(tài)觀測器。

本文根據(jù)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的關(guān)系，研究了一類Lipschitz非線性系統(tǒng)在輸出對狀態(tài)為非線性時(shí)，系統(tǒng)的一般形式及其Luenberger型觀測器的設(shè)計(jì)，并利用LMI技術(shù)，較好的解決了此類系統(tǒng)的觀測器增益矩陣L的選取問題，最后通過仿真，實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)的準(zhǔn)確觀測。

（作者單位：沈陽城市建設(shè)學(xué)院）