楊小鵬， 張宗傲， 孫雨澤， 閆路

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院， 北京 100081)

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基于罰函數(shù)和特征空間的子陣級自適應(yīng)波束形成

楊小鵬， 張宗傲， 孫雨澤， 閆路

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院， 北京 100081)

基于線性約束最小方差(LCMV)準(zhǔn)則的自適應(yīng)波束形成算法在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用，但當(dāng)其應(yīng)用到子陣級時(shí)，自適應(yīng)方向圖主瓣變形且旁瓣升高，抗干擾性能嚴(yán)重下降. 針對這些問題，提出一種基于罰函數(shù)和特征空間的子陣級自適應(yīng)波束形成算法，引入罰函數(shù)對自適應(yīng)方向圖進(jìn)行約束使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時(shí)在干擾子空間約束波束響應(yīng)為0，對干擾信號(hào)進(jìn)行抑制. 該算法在有效抑制干擾的同時(shí)，能夠使主瓣保形并保持較低的旁瓣，還能獲得較好的輸出信干噪比. 通過陣列方向圖及輸出信干噪比的計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證該算法的有效性.

自適應(yīng)波束形成；子陣級；線性約束；罰函數(shù)；干擾子空間

自適應(yīng)數(shù)字波束形成(ADBF)算法在通信、雷達(dá)、聲吶、地震勘探和醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，一般情況下，自適應(yīng)波束形成算法是在一定理想條件下提出來的，但是在實(shí)際環(huán)境中往往存在許多誤差以及非理想因素，面對復(fù)雜的電磁環(huán)境，穩(wěn)健性自適應(yīng)波束形成算法[1-4]得到了廣泛的應(yīng)用. 通常穩(wěn)健性自適應(yīng)波束形成算法是在采樣矩陣求逆(SMI)算法[5]基礎(chǔ)上，通過對波束圖施加更多的約束. 線性約束最小方差準(zhǔn)則(LCMV)是其中較常用的一種算法[6-8]，它通過對方向圖施加約束，在方向圖滿足一定的條件下計(jì)算最優(yōu)權(quán)矢量，使輸出功率最小. 但當(dāng)其應(yīng)用到子陣級時(shí)，會(huì)導(dǎo)致自適應(yīng)方向圖主瓣變形且旁瓣升高，這將會(huì)嚴(yán)重影響后續(xù)的單脈沖測角性能以及雷達(dá)目標(biāo)檢測性能. 通常通過陣元級加窗來獲得較低的旁瓣，但是對于子陣級LCMV自適應(yīng)波束形成算法，在陣元級加窗并不能獲得較低的旁瓣，因?yàn)楦髯雨囕敵龉β什幌嗟?，從而?dǎo)致一部分加窗效果被抵消掉[9].

為了解決這些問題，本文引入罰函數(shù)[10-12]對自適應(yīng)方向圖進(jìn)行約束以使主瓣保形、旁瓣降低，并約束干擾子空間的波束響應(yīng)為0,對干擾信號(hào)進(jìn)行抑制. 算法在自適應(yīng)抑制干擾的同時(shí)，使得在子陣級得到的自適應(yīng)方向圖主瓣保形且旁瓣降低，并且能夠獲得較好的輸出信干噪比性能. 由于在實(shí)際中干擾信號(hào)的方向不容易得到，因此為了構(gòu)造干擾子空間，本文對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，以此來估計(jì)所需的干擾子空間.

1 線性約束自適應(yīng)算法

1.1 LCMV算法原理

考慮一N元均勻間隔線性陣列，有P個(gè)互不相關(guān)的窄帶干擾入射，則陣列接收信號(hào)為

(1)

式中：sm(t)為干擾信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；θm為干擾信號(hào)入射方向；a(θm)為干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量；N(t)為背景噪聲，假設(shè)它為空間白噪聲且與干擾信號(hào)不相關(guān). 令

A=[a(θ1)a(θ2) … a(θP)],

S(t)=[s1(t) s2(t) … sP(t)]T，

則式(1)可表示為

(2)

陣列協(xié)方差矩陣為

(3)

LCMV自適應(yīng)權(quán)為以下最優(yōu)化問題的解

(4)

式中：w為求取的自適應(yīng)權(quán)矢量；C為約束矩陣；f為約束響應(yīng)向量. 構(gòu)造代價(jià)函數(shù)φ(w)=wHRw+(wHC-f)λ+λ(CHw-fH)，求得自適應(yīng)權(quán)矢量為

(5)

這里約束期望信號(hào)方向θ0的陣列增益為μ，μ為一常數(shù).

1.2 算法子陣級實(shí)現(xiàn)的主要問題

在實(shí)際中，對于大型陣列，直接在陣元級進(jìn)行自適應(yīng)波束形成，運(yùn)算復(fù)雜度很高，不利于實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，通常將大型陣列劃分為若干個(gè)子陣，在子陣級進(jìn)行自適應(yīng)波束形成. 這里將上述算法推廣到子陣級. 設(shè)子陣個(gè)數(shù)為L且P+1

T=WwinΦT0，

式中Wwin=diag[wn]n=1，2，…，N，其中wn為第n個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)，用于抑制方向圖的旁瓣電平；

表示移相器的作用，λ為信號(hào)波長，dn為第n個(gè)陣元與參考陣元之間的間距，θ0為期望信號(hào)方向，本文假設(shè)波束指向與期望信號(hào)方向一致，n=1，2，…，N. T0為N×L的子陣形成矩陣，在其第l(l=1，2，…，L)列的所有元素中，只有與第l個(gè)子陣的陣元序號(hào)相對應(yīng)的元素值為1，其余均為0(在非重疊子陣的情況下，T0的列向量相互正交).

在子陣級進(jìn)行自適應(yīng)波束形成時(shí)，子陣級協(xié)方差矩陣為Rsub=THRT，在子陣級構(gòu)造所需要的約束矩陣Csub以及相應(yīng)的約束響應(yīng)向量fsub，構(gòu)造子陣級自適應(yīng)權(quán)矢量求解的最優(yōu)化問題

(6)

求得子陣級的自適應(yīng)權(quán)矢量為

(7)

此時(shí)波束指向處的導(dǎo)向矢量為

asub(θ0)=THa(θ0).

當(dāng)LCMV算法應(yīng)用到子陣級時(shí)，雖然可以對干擾進(jìn)行有效地抑制，但是其方向圖的主瓣變形且旁瓣升高，抗干擾性能嚴(yán)重下降. 通常通過陣元級加窗來獲得較低的旁瓣，但是對于子陣級自適應(yīng)波束形成，在陣元級加窗并不能獲得較低的旁瓣，因?yàn)楦髯雨囕敵龉β什幌嗟?，從而?dǎo)致一部分加窗效果被抵消掉.

2 穩(wěn)健的子陣級自適應(yīng)算法

在子陣級實(shí)現(xiàn)LCMV自適應(yīng)波束形成算法時(shí)，雖然能有效地抑制干擾，但是算法會(huì)導(dǎo)致自適應(yīng)方向圖主瓣發(fā)生變形、旁瓣電平升高，抗干擾性能嚴(yán)重下降，這將嚴(yán)重影響雷達(dá)性能. 為使得自適應(yīng)方向圖逼近期望的靜態(tài)方向圖，修正方向圖主瓣以及降低方向圖旁瓣，以獲得良好的性能，本文利用罰函數(shù)其進(jìn)行約束；對信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，估計(jì)出干擾子空間，并在此空間內(nèi)約束波束響應(yīng)為0，從而對干擾進(jìn)行抑制.

2.1 基于罰函數(shù)的方向圖控制

罰函數(shù)的定義如下

(8)

式中：asub(θ)為對應(yīng)空間角θ的子陣級導(dǎo)向矢量，wsub_q為期望方向圖的靜態(tài)權(quán)矢量，由它確定期望的靜態(tài)方向圖；h(θ)為一個(gè)合適的非負(fù)加權(quán)函數(shù). 可以看出E反映了自適應(yīng)方向圖與靜態(tài)方向圖的差異，罰函數(shù)E被認(rèn)為是一個(gè)能量函數(shù)，E的大小反映了自適應(yīng)方向圖按照某種要求逼近期望的靜態(tài)方向圖的程度.

引入罰函數(shù)后，自適應(yīng)權(quán)矢量為以下最優(yōu)問題的解

(9)

式中：wsub為需要求取的子陣級自適應(yīng)權(quán)矢量；Csub、fsub分別為子陣級的約束矩陣、約束響應(yīng)向量，且

Csub=[asub(θ0) asub(θ1) … asub(θP)]，

fsub=[μ 0 … 0]1×(P+1)；

Zsub為L維矩陣，

asub(θ)=THa(θ)，

則

(10)

(11)

通過代價(jià)函數(shù)φ(wsub)對wsub求導(dǎo)數(shù)并令其為0，可以求得自適應(yīng)權(quán)矢量為

(12)

其中Q=Zsub. 在實(shí)際應(yīng)用中，矩陣Z的計(jì)算可以離線進(jìn)行，所以改進(jìn)后的算法增加的計(jì)算量很小. 這種基于罰函數(shù)約束的自適應(yīng)波束形成算法，在抑制干擾的同時(shí)，能夠使得自適應(yīng)方向圖逼近期望的靜態(tài)方向圖，從而獲得主瓣保形與旁瓣降低的效果.

2.2 基于干擾子空間的干擾抑制

由于干擾信號(hào)的方向不容易得到，也就不能直接獲得asub(θ1)，asub(θ2)，…，asub(θP)來構(gòu)造約束矩陣Csub. 但是由陣列協(xié)方差矩陣分解得到干擾子空間，可以間接提取干擾角度信息，然后通過干擾特征矢量約束抑制干擾. 干擾信號(hào)個(gè)數(shù)可以通過MDL、AIC等算法估計(jì)得到.

對R進(jìn)行特征值分解，得到

(13)

式中：λi(i=1，2，…，L)為協(xié)方差矩陣的特征值；ei為與特征值λi對應(yīng)的特征向量，將λi由大到小排列λ1≥λ2≥…≥λP≥λP+1=…=λL，這里已經(jīng)假設(shè)共有P個(gè)互不相關(guān)的干擾， Us=[e1e2… eP]為干擾子空間，Un=[eP+1eP+2…eL]為噪聲子空間，且

Λs=diag[λ1λ2…λP],

Λn=diag[λP+1λP+2… λL].

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知矢量e1，e2，…，eP與矢量a(θ1)，a(θ2)，…，a(θP)張成同一個(gè)矢量空間，即

span[e1e2…eP]=

(14)

式中：span{·}表示矢量張成的矢量空間；Us=[e1e2…eP]即為干擾子空間的估計(jì). 此時(shí)約束矩陣、約束響應(yīng)向量可以構(gòu)造為如下形式

(15)

其中θ0為期望信號(hào)方向. 此時(shí)利用公式就可以得到基于子空間的自適應(yīng)權(quán)矢量. 這樣就能夠?qū)⑺惴ㄔ谧涌臻g進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，并且抑制了干擾.

2.3 算法的實(shí)現(xiàn)步驟

在實(shí)際應(yīng)用中，需要實(shí)時(shí)的根據(jù)接收的回波數(shù)據(jù)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)矢量，然后對回波數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán). 在應(yīng)用本文提出的基于罰函數(shù)和特征空間的子陣級自適應(yīng)波束形成算法計(jì)算自適應(yīng)權(quán)值時(shí)，利用罰函數(shù)對方向圖進(jìn)行約束，使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時(shí)在干擾子空間內(nèi)約束波束響應(yīng)為0，對干擾進(jìn)行抑制. 在計(jì)算自適應(yīng)權(quán)矢量時(shí)，矩陣Z可以事先已經(jīng)計(jì)算出來并存儲(chǔ)，期望的靜態(tài)方向圖權(quán)矢量wsub_q也已經(jīng)確定，自適應(yīng)權(quán)矢量計(jì)算步驟為：

① 利用回波數(shù)據(jù)估計(jì)協(xié)方差矩陣：

式中：K為快拍個(gè)數(shù)；Xsub(k)為k時(shí)刻子陣接收的回波信號(hào).

④ 依據(jù)式(15)構(gòu)造自適應(yīng)權(quán)求解中的約束矩陣以及約束響應(yīng)向量.

⑤ 由式(12)求得最終的自適應(yīng)權(quán)矢量.

其中，步驟③中可以采用MDL、AIC等算法來估計(jì)干擾源的個(gè)數(shù).

3 仿真分析

對本文提出的自適應(yīng)波束形成算法的陣列方向圖以及輸出信干噪比進(jìn)行仿真，比較分析該算法的性能. 仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)陣列為一均勻線陣，陣元間隔為半波長，陣元個(gè)數(shù)為52，將陣元?jiǎng)澐譃?0個(gè)子陣，陣元個(gè)數(shù)依次為10、7、4、4、1、1、4、4、7、10，為非重疊子陣劃分.

3.1 陣列方向圖分析

干擾信號(hào)的入射方向?yàn)?12°、18°，干噪比(INR)均為30 dB，波束指向?yàn)?°，快拍個(gè)數(shù)K=20，且窗函數(shù)為-40 dB泰勒窗，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真.

如圖1(a)所示，改進(jìn)前后的自適應(yīng)算法都能在干擾方向形成零陷，對干擾進(jìn)行有效地抑制；但是改進(jìn)前算法的主瓣變形，而改進(jìn)后算法的主瓣跟靜態(tài)方向圖的主瓣一致；改進(jìn)前算法的旁瓣電平升高，而改進(jìn)后算法的旁瓣電平較低，達(dá)到了靜態(tài)方向圖的旁瓣水平.

圖1(b)是加窗時(shí)的陣列方向圖仿真，可以看出，改進(jìn)前后的算法都能在干擾方向形成零陷，對干擾進(jìn)行有效地抑制；在加窗情況下，改進(jìn)前算法的主瓣變形嚴(yán)重，而改進(jìn)后算法的主瓣與靜態(tài)方向圖的主瓣一致；改進(jìn)前算法的旁瓣電平較高，而改進(jìn)后算法的旁瓣電平較低，達(dá)到了靜態(tài)方向圖的旁瓣水平.

通過對算法自適應(yīng)陣列方向圖的仿真分析，可以得到本文提出的自適應(yīng)波束形成算法能夠?qū)Ω蓴_進(jìn)行有效地抑制，且能夠使陣列方向圖的主瓣保形、旁瓣降低.

3.2 輸出信干噪比分析

3.2.1 不同快拍下的輸出信干噪比

干擾信號(hào)的入射方向?yàn)?12°、18°，干噪比均為30 dB，波束指向?yàn)?°，信噪比(SNR)為0 dB，快拍數(shù)為10～60，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真.

如圖2所示，相同快拍下，改進(jìn)后的算法輸出的信干噪比比改進(jìn)前高；改進(jìn)前算法的輸出信干噪比在快拍數(shù)約為50時(shí)收斂，而改進(jìn)后算法的輸出信干噪比在快拍數(shù)約為20時(shí)就已經(jīng)收斂，說明改進(jìn)后算法的輸出信干噪比收斂速度快. 因此在相同快拍下，改進(jìn)后算法具有較好的輸出信干噪比性能，尤其是在低快拍時(shí)，改進(jìn)后的算法輸出信干噪比性能大幅度提高.

3.2.2 不同波束指向的輸出信干噪比

干擾信號(hào)的入射方向?yàn)?12°、18°，干噪比均為30 dB，波束指向?yàn)?40°～40°，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為20，30，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖3.

從圖3可以看出，在同一波束指向處，改進(jìn)前算法的輸出信干噪比較低，而改進(jìn)后算法的輸出信干噪比較高；比較圖3(a)與圖3(b)，當(dāng)快拍數(shù)從20變?yōu)?0時(shí)，改進(jìn)前算法的輸出信干噪比變化較大，而改進(jìn)后算法的輸出信干噪比變化很小，且都保持較高的水平，說明改進(jìn)后算法對快拍數(shù)不敏感.

通過對算法輸出信干噪比的仿真及分析可知，改進(jìn)后的自適應(yīng)波束形成算法能夠獲得較高的輸出信干噪比，且對快拍個(gè)數(shù)不敏感，具有較好的輸出信干噪比性能.

4 結(jié) 論

針對在子陣級應(yīng)用LCMV自適應(yīng)波束形成算法時(shí)，導(dǎo)致方向圖主瓣變形且旁瓣升高從而導(dǎo)致抗干擾性能嚴(yán)重下降的問題，提出一種基于罰函數(shù)和特征空間的子陣級自適應(yīng)波束形成算法. 該算法通過引入罰函數(shù)對自適應(yīng)方向圖進(jìn)行約束使其逼近期望的靜態(tài)方向圖；同時(shí)在干擾子空間約束波束響應(yīng)為0，對干擾信號(hào)進(jìn)行抑制. 由仿真結(jié)果可以看出，該算法能夠達(dá)到主瓣保形以及降低旁瓣的效果，同時(shí)能夠獲得較好的輸出信干噪比且對快拍數(shù)穩(wěn)健. 本文所提出的算法具有良好的抗干擾性能，是一種適用于子陣級自適應(yīng)波束形成的穩(wěn)健算法.

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Adaptive Beamforming at Sub-Array Level Based on Penalty Function and Eigen-Space

YANG Xiao-peng， ZHANG Zong-ao， SUN Yu-ze， YAN Lu

(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Adaptive beamforming algorithm based on the linearly constrained minimum variance principle (LCMV) is widely applied in adaptive array processing. However, when LCMV is applied to the sub-array level, it causes the distortion of the mainlobe and heightening of the sidelobe. In order to solve these problems, an adaptive beamforming algorithm at sub-array level was proposed based on penalty function and eigen-space. In this proposed method, the penalty function was applied to control the adaptive pattern, meanwhile, interference was suppressed adaptively by setting constraints in interference subspace. Results show that, the proposed method can not only provide automatic suppression of jamming but also guarantee the adaptive pattern be close to the desired quiescent pattern, so that the mainlobe of the pattern is maintained and the level of the sidelobe is lowered. Furthermore, it provides better performance of output signal to interference plus noise ratio (SINR). Computer simulation results of array pattern and output SINR prove the validity of this proposed algorithm.

adaptive beamforming; sub-array level; linearly constraints; penalty function; interference subspace

2014-01-15

國家高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(B14010)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61225005，61120106004)

楊小鵬(1976—)，男，副教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:xiaopengyang@bit.edu.cn.

張宗傲(1989—)，男，碩士生，E-mail:zongaozhang@126.com.

TN 957.2

A

1001-0645(2016)05-0541-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.019