張子珩， 儲(chǔ)茂權(quán)

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

GWCN環(huán)的一些研究

張子珩， 儲(chǔ)茂權(quán)

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

本文主要討論了GWCN環(huán)的若干性質(zhì)以及它與一些特殊環(huán)的關(guān)系，研究了GWCN環(huán)的強(qiáng)正則性，證明了：若R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，那么下列條件等價(jià)：(1)R是強(qiáng)正則環(huán)；(2)R為左GP-V’-環(huán)，且R的極大本質(zhì)左理想均為廣義弱理想; (3) R是左GP-V’-環(huán)，且R的極大本質(zhì)右理想均為廣義弱理想.

GWCN環(huán)；約化環(huán)；弱半交換環(huán)；強(qiáng)正則環(huán)

1 預(yù)備知識(shí)

本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán).環(huán)中的單位元記為1.設(shè)R是環(huán)，記Z(R)，N(R)，E(R)分別是R的所有中心元，冪零元，冪等元的集合，P(R)，J(R)分別是R的素根和(Jacobson)根.對(duì)任意a∈R，l(a)，r(a)分別為a的左零化子及右零化子.對(duì)任意正整數(shù)n，Rn×n和Tn(R)分別表示R上的全體n×n階矩陣和n×n階上三角矩陣之集,Rn={(an)∈Tn(R)|a11=a22=…=ann}.

稱環(huán)R為約化環(huán)[1]，若N(R) =0.稱環(huán)R為CN環(huán)[2]，若N(R)?Z(R).稱環(huán)R為GWCN環(huán)[3]，若對(duì)任意的a∈N(R)，b∈R，有a2b2=ab2a.稱環(huán)R為強(qiáng)正則環(huán)[4]，若對(duì)任意的a∈R，總存在b∈R，使得a=a2b.

顯然CN環(huán)是約化環(huán)的推廣，GWCN環(huán)是CN環(huán)的推廣.

本文的主要目的是討論GWCN環(huán)的一些性質(zhì)，研宄GWCN環(huán)與一些特殊環(huán)的關(guān)系，討 論GWCN環(huán)是強(qiáng)正則的一些條件.

2 主要結(jié)果

引理2.1 若環(huán)R為約化環(huán)或交換環(huán)，則R2為GWCN環(huán).

環(huán)R為約化環(huán)時(shí)a=0，顯然有A2B2=0=AB2A.

命題2.2 設(shè)R為任意環(huán)，自然數(shù)n≥3,那么

(1)Rn不是GWCN環(huán)；

(2)Tn(R)不是GWCN環(huán)；

(3)Rn×n不是GWCN環(huán).

(2)與(1)類似可證.

(3)假設(shè)Rn×n是GWCN環(huán)，由于GWCN環(huán)的子環(huán)仍為GWCN環(huán)，那么Tn(R)為GWCN環(huán)，矛盾.故當(dāng)n≥3時(shí)Rn×n不是GWCN環(huán).

稱環(huán)R為弱半交換環(huán)[5]，若對(duì)任意ab=0,a,b∈R有aRb?N(R).

命題2.3 GWCN環(huán)是弱半交換環(huán).

證明：設(shè)R為GWCN環(huán)，xy=0，其中x,y∈R.由于(yx)2=0,yxr2yx=0，對(duì)任意的r∈R.取任意t∈R，用r+tx替換r，得yxtxryx=0，yxRxRyx=0.對(duì)任意的a∈R，有(yxa)3=0，那么(xay)4=xa(yxa)3y=0.因此xay∈N(R).故R是弱半交換環(huán).

例2.4 設(shè)R′=Q〈α,β,γ〉是非交換元在有理數(shù)域Q上的多項(xiàng)式組成的環(huán)，I是由〈α3,β3,γ3,βα,γβ,αγ,γα,α2β,αβ2,β2γ,βγ2〉生成的理想.令R=R′/I，則R是GWCN環(huán)但不是半交換環(huán).

稱環(huán)R的左理想I是Abelian的[3]，若對(duì)任意e∈E(R)∩I,?x∈I，有ex=xe.稱環(huán)R是Abelian的[3]，若R是R的一個(gè)Abelian左理想.易知環(huán)R是Abelian的當(dāng)且僅當(dāng)eR(1-e)=0，?e∈E(R).

命題2.6 對(duì)于環(huán)R，若存在e∈E(R)使得eR和(1-e)R是GWCN環(huán)，且環(huán)R有Abelian極大左理想M，那么R為GWCN環(huán).

證明：設(shè)有a∈N(R)，e∈E(R).若e?M，則1-e∈M.那么對(duì)任意的x∈R，x(1-e)∈M.由M是Abelian極大左理想，有(x(1-e))(1-e)=(1-e)(x(1-e))，即x(1-e)=(1-e)x(1-e).因此eR(1-e)=0.若e∈M，那么1-e?M，于是eR?M，以及M(1-e)?M.那么eR(1-e)?eM(1-e)=Me(1-e)=0.故在任意情況下均有eR(1-e)=0.同理(1-e)Re=0，從而R是Abelian的.因此ea∈N(eR)，(ea)2(eb)2=(ea)(eb)2(ea)，((1-e)a)2((1-e)b)2=((1-e)a)((1-e)b)2((1-e)a).ea2b2=eab2a，(1-e)a2b2=(1-e)ab2a，可得a2b2=ab2a.

對(duì)于環(huán)R，令Ω是R的中心正則元構(gòu)成的乘法閉子集.

命題2.7 對(duì)于環(huán)R，R是GWCN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Ω-1R是GWCN環(huán).

證明：GWCN環(huán)的子環(huán)仍為GWCN環(huán)，故只需證必要性.

設(shè)α∈Ω-1R，β∈Ω-1R，α=u-1a，β=v-1b.其中u,v∈Ω，a,b∈R.若α∈N(Ω-1R)，由于Ω包含在R的中心里，故0=αn=(u-1a)n，a∈N(R).又由R是GWCN環(huán)，有a2b2=ab2a.那么

α2β2=(u-1a)2(v-1b)2=u-1au-1av-1b=(u-1)2(v-1)2a2b2=(u-1)2(v-1)2ab2a=(u-1a)(v-1b)2(u-1a)=αβ2α.

故Ω-1R為GWCN環(huán).

推論2.8 對(duì)于環(huán)R，R[x]是GWCN環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x,x-1]是GWCN環(huán).

證明：GWCN環(huán)的子環(huán)仍為GWCN環(huán)，故只需證必要性.

設(shè)Ω={1,x,x2,…}，于是Ω是R[x]的所有中心正則元的一乘法閉子集.又R[x,x-1]=Ω-1R[x]且R[x]為GWCN環(huán).由命題2.7可知R[x,x-1]為GWCN環(huán).

稱環(huán)R為右(左)p-投射環(huán)[6],若R中元素的右(左)零化子由R中一冪等元生成.稱環(huán)R的左理想I是正則的[3]，若對(duì)任意a∈I,有a∈aIa.稱環(huán)R為半素環(huán)[7]，若R無非零的冪零理想.

引理2.9[3]若環(huán)R有Abelian極大左理想，且R為GWCN環(huán)，則環(huán)R是Abelian的.

下面給出GWCN環(huán)是約化的一些條件.

命題2.10 設(shè)環(huán)R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，如果環(huán)R滿足下列條件之一：

(1)R有一極大左理想是正則的；

(2)R為半素環(huán)；

(3)R為右(左)p-投射環(huán).

則環(huán)R是約化的.

證明：(1)設(shè)M為環(huán)R的極大左理想，且M正則.設(shè)a∈R有a2=0.那么對(duì)任意x∈R,a2x2=ax2a=0,特別地，a(x+ya)2=0，對(duì)任意y∈R，即ayaxa=0，即aRaRa=0，則a∈J(R)?M.由于M是R的正則左理想，存在b∈M，使得a=aba=(aba)ba∈aRaRa=0.故R是約化環(huán).

(2)設(shè)a∈R有a2=0.那么有aRaRa=0，則(RaR)3=0.由于R是半素的，有RaR=0，則a=0.故R是約化環(huán).

(3)設(shè)R為右p-投射環(huán)，且a2=0.那么存在e∈E(R)使得rR(a)=eR.因此a=ea=ae=0.故R是約化環(huán).

類似可證R為左p-投射環(huán)，則R為約化環(huán).

稱左R-模M是左nil-內(nèi)射的[8]，若對(duì)于任意a∈N(R)，任意左R-模同態(tài)f:Ra→M可擴(kuò)展到R→M.稱環(huán)R為左nil-內(nèi)射環(huán)[8]，若RR是左nil-內(nèi)射的.類似可定義右R-模N右nil-內(nèi)射環(huán).稱環(huán)R為右nil-內(nèi)射環(huán)[8]，若RR是右nil-內(nèi)射的.稱左R-模M是左wnil-內(nèi)射的[8]，若對(duì)于任意0≠a∈N(R)，存在正整數(shù)n使得an≠0，且任意左R-模同態(tài)f:Ran→M可擴(kuò)展到R→M.稱環(huán)R為左wnil-內(nèi)射環(huán)[8]，若RR是左wnil-內(nèi)射的. 類似可定義右R-模N右wnil-內(nèi)射環(huán).稱環(huán)R為右wnil-內(nèi)射環(huán)[8]，若RR是右wnil-內(nèi)射的.顯然，左GP-內(nèi)射環(huán)及左nil-內(nèi)射環(huán)均是左wnil-內(nèi)射的，反之不真(見[8]).

引理2.11 設(shè)R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán).

(1)若每個(gè)單奇異左R-模是wnil-內(nèi)射的，那么R是約化的.

(2)若每個(gè)單奇異左R-模是p-內(nèi)射的，那么RbR+l(b)=R，任意b∈R.

證明:(1)設(shè)a2=0,若a≠0,那么l(a)≠R.存在R的極大左理想M使得l(a)?M.若M在RR中不是本質(zhì)的，則M=Re=l(1-e)，?e∈E(R).由于a∈l(a)?M=l(1-e)，以及R為有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，則R為Abelian的，且a(1-e)=0=(1-e)a,1-e∈l(a)?l(1-e),矛盾.因此M是R的本質(zhì)左理想.故R/M是wnil-內(nèi)射的.設(shè)f:Ra→R/M，f(ra)=r+M.f為確定的R-同態(tài).那么存在左R-同態(tài)g:R→R/M使得g(a)=f(a).則有1+M=f(a)=g(a)=ag(1)=ac+M，其中g(shù)(1)=c+M.則1-ac∈M.由于R為GWCN環(huán)，a2=0.那么有aRaRa=0.可推出ac∈N(R)且1-ac可逆.但1-ac∈M.矛盾.故a=0，R為約化環(huán).

(2)假設(shè)存在非零元c∈R使得RcR+l(c)≠R.那么存在R的一個(gè)極大左理想M使得RcR+l(c)?M.若M在RR中不是本質(zhì)的，那么M=Re=l(1-e)，存在e∈E(R).由于c∈RcR+l(c)?M=l(1-e),c(1-e)=0=(1-e)c，1-e∈l(c)?l(1-e)，矛盾.因此M是R的本質(zhì)左理想.故R/M是p-內(nèi)射的.設(shè)f:Rc→R/M，f(rc)=r+M.f為確定的R-同態(tài).那么1+M=f(c)=cd+M，d∈R.則1-cd∈M.由于cd∈RcR?M,1∈M，矛盾.故對(duì)任意的b∈R有RbR+l(b)=R.

稱環(huán)R為左(右)GP-V’環(huán)[9]，若其每個(gè)單奇異左(右)R-模是GP-內(nèi)射的.稱環(huán)R的左理想L是廣義弱理想[10]，若對(duì)任意a∈L，存在正整數(shù)n≥1使得anR?L.環(huán)R的右理想K是廣義弱理想的定義類似.稱環(huán)R為MELT環(huán)(MERT)環(huán)[11]，若其每個(gè)極大本質(zhì)左(右)理想均為R的理想.

命題2.12 設(shè)R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，則下列條件等價(jià)：

(1)R是強(qiáng)正則環(huán)；

(2)R為左GP-V′環(huán)，其極大本質(zhì)左理想均為廣義弱理想；

(3)R是左GP-V′環(huán)，其極大本質(zhì)右理想均為廣義弱理想.

證明:(1)?(2)及(1)?(3)顯然.

(2)?(1) 由引理2.11,R為約化環(huán).若存在a∈R使得l(a)+Ra≠R.那么存在R的一個(gè)極大左理想M有l(wèi)(a)+Ra?M.且M為R的本質(zhì)左理想.若M不是本質(zhì)的，那么存在e∈E(R)，M=Re=l(1-e).由于a∈Ra?M=l(1-e).由R為約化環(huán)可得(1-e)a=0，因此1-e∈l(a)?l(1-e)，矛盾.因此R/M為單奇異左R-模，并且由假設(shè)，R/M是GP-內(nèi)射模.那么存在正整數(shù)n使得an≠0,且每個(gè)從Ran到R/M的左R-模同態(tài)都可擴(kuò)展為由R到R/M的同態(tài).定義f:Ran→R/M，f(ran)=r+M，對(duì)任意r∈R.由于R是約化的，l(a)=l(an)，則f為R-同態(tài).那么存在b∈R使得1-anb∈M.假設(shè)anb?M，那么M+Ranb=R，x+ranb=1，存在x∈M，r∈R.而M為廣義弱理想，且bran∈M.故存在正整數(shù)k使得(bran)kb∈M.那么(1-x)k+1=(ranb)k+1=ran(bran)kb∈M，則1∈M，矛盾.故an∈M，并且有1∈M，矛盾.因此對(duì)任意的a∈R有l(wèi)(a)+Ra=R，R是強(qiáng)正則的.

(3)?(1) 由引理2.11,R為約化環(huán).故對(duì)任意w∈R,l(w)=r(w).假設(shè)，l(a)+aR≠R,存在a∈R.那么存在R的極大右理想K包含l(a)+aR.與(2)?(1)類似，K為R的本質(zhì)右理想.事實(shí)上，有l(wèi)(a)+RaR?K.假設(shè)RaR?K，那么ras?K，存在r∈R，s∈R.故K+rasR=R，x+rast=1，存在x∈K,t∈R. 由于K為廣義弱理想，且astr∈K，那么存在正整數(shù)n使得r(astr)n∈K.因此(1-x)n+1=(rast)n+1=r(astr)nast∈K.故有1∈K,矛盾.故RaR?K且l(a)+RaR≠R.那么l(a)+RaR?L,L為R的一個(gè)極大左理想.由于R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，L為R的本質(zhì)左理想，那么R/L是GP-內(nèi)射的.因此存在正整數(shù)m使得am≠0且每個(gè)由Ram到R/L的左R-同態(tài)都可擴(kuò)展為由R到R/L的同態(tài).定義f:Ram→R/L，f(ram)=r+L，任意r∈R.顯然f為確定的左R-同態(tài)，且存在b∈R使得1-amb∈L.但amb∈RaR?L，1∈L與L≠R矛盾，故有l(wèi)(a)+aR=R，任意a∈R.又R是約化的，故R是強(qiáng)正則的.

推論2.13 (1)R是強(qiáng)正則的當(dāng)且僅當(dāng)R為GWCN MELT環(huán)，R有Abelian極大左理想，且R的每一個(gè)單奇異左模是GP-內(nèi)射的.

(2)R是強(qiáng)正則的當(dāng)且僅當(dāng)R為GWCN MERT環(huán)，R有Abelian極大左理想，且R的每一個(gè)單奇異左模是GP-內(nèi)射的.

命題2.14 設(shè)R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，那么R是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R的極大左理想為廣義弱理想，每個(gè)單左R-模是GP-內(nèi)射的.

證明：(?)顯然；

(?) 由假設(shè)及引理2.11，R為約化環(huán)，l(w)=r(w)=l(wm)，w∈R，m∈N*.若l(a)+Ra≠R，存在a∈R. 那么存在R的一個(gè)極大左理想M包含l(a)+Ra.那么R/M是GP-內(nèi)射的，由命題2.12(2)?(1)證明可知，矛盾.因此l(a)+Ra=R，任意a∈R.故R是強(qiáng)正則的.

命題2.15 設(shè)R是有Abelian極大左理想的GWCN環(huán)，那么R是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R的極大右理想為廣義弱理想，每個(gè)單左R-模是GP-內(nèi)射的.

證明：(?)顯然；

(?) 由引理2.11知，R為約化環(huán)，l(w)=r(w)=l(wm)，w∈R，m∈N*.若l(a)+aR≠R，存在a∈R，那么存在R的一個(gè)極大右理想K包含l(a)+aR.l(a)+RaR?K，那么l(a)+RaR≠R.因此存在R的一個(gè)極大左理想L使得l(a)+RaR?L.假設(shè)RaR?K那么存在r∈R，s∈R，有ras?K.則K+rasR=R，x+rast=1，存在x∈K,t∈R.由于K是廣義弱理想，astr∈K，那么存在正整數(shù)n，r(astr)n∈K.因此有(1-x)n+1=(rast)n+1=r(astr)nast∈K.故有1∈K，矛盾.故l(a)+RaR?L，L為R的一個(gè)極大左理想.那么R/L是GP-內(nèi)射的.由命題2.12中的(3)?(1)證明，矛盾.因此有l(wèi)(a)+aR=R，任意a∈R.故R是正則的. 由R又是約化的，故環(huán)R是強(qiáng)正則環(huán).

[1]RAMAMURTHIVS.Ontheinjectivityandflatnessofcertaincyclicmodules[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1975,48(1):21-25.

[2] DRAZIN P M. Rings with central idempotent or nilpotent elements[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1956,187:157-165.

[3] ZHOU Yin, WEI Junchao. Generalized weakly central reduced rings[J]. Turkish Journal of Mathematics, 2015,39:604-617.

[4] REGE M B. On von neumann regular rings and SF-rings[J]. Math. Japan, 1986,31(6):927-936.

[5] DU Cuizhen, WANG Long, WEI Junchao. On a generalization of semicommutative rings[J], Taiwanese Journal of Mathematics, 2007,11(5):1359-1368.

[6] BIRKENMEIER G F, KIM J Y, PARK J K. Principally quasi-baer rings[J]. Commu-nications in Algebra, 2001,29:639-660.

[7] HUNGERFORD T W. Algebra[M]. NewYork： springer-verlag, 1980：444-448.

[8] WEI Junchao, CHEN Jianhua. Nil-injective rings[J]. International Electronic Journal ofAlgebra, 2007,3:1-21.

[9] ROGER Y C M. On regular rings and artinian rings[J]. Rivista Di Matematica Della Universita Di Parma, 1985,11(4):101-109.

[10] ZHOU Haiyan. Left SF-rings and regular rings[J]. Communications in Algebra, 2007,35:3842-3850.

[11] ROGER Y C M. On V-rings and prime rings[J]. Journal of Algebra, 1980,62:13-20.

[12] YIN Xiaobin, WANG Rui, LI Xiaolong. The non-singularity and regularity of GP-V’-rings[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2011,31(6):1003-1008.

[13] LI Xiaolong, WU Jun. On strong regularity of quasi ZI-rings[J]. Journal of Anhui Normal University(Natural Science), 2011,34(1):20-22.

[14] WANG Long, WEI Junchao, LI Libin. NZI rings[J]. Turkish Journal of Mathematics, 2013,37:781-792.

[15] AGAYEV N, HARMANCI A. On semicommutative modules and rings[J]. Kyungpook Mathematical Journal, 2007,47(1):21-30.

[16] WANG Long, WEI Junchao. Central semicommutative rings[J]. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2014,45(1):13-25.

[17] OZEN T. On a class of semicommutation rings[J]. Kyungpook Mathematical Journal, 2011,51(3):283-291.

[18] ZHOU Haiyan. Left SF-rings and regular rings[J]. Communications in Algebra, 2007,35:3842-3850.

On GWCN Rings

ZHANG Zi-heng, CHU Mao-quan

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

In this paper, we give some properties of GWCN rings and the relationships between GWCN rings and other special rings. The strong regularity of GWCN rings is studied. We mainly obtain that if R has an Abelian maximal left ideal and R is a GWCN ring, then R is strongly regular if and only if R is a left GP-V′-ring whose maximal essential left ideals are GW-ideals if and only if R is a left GP-V′-ring whose maximal essential right ideals are GW-ideals.

GWCN rings; reduced rings; weakly semicommutative rings; strong regular rings

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.06.005

2015-06-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401009).

張子珩(1992-),女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)；通訊作者：儲(chǔ)茂權(quán)，男，安徽岳西人，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué).

張子珩，儲(chǔ)茂權(quán).GWCN環(huán)的若干性質(zhì)[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，39(6)：530-534.

O153.3

A

1001-2443(2016)06-0530-05