安徽省太和中學(xué) 韓長峰

聚焦考雙查曲面線面觀

安徽省太和中學(xué) 韓長峰

考綱對雙曲線的要求：“了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)。”基于了解層次，高考對雙曲線的考查以小題居多，難度中等。下面，筆者就對雙曲線的命題點和考查題型進行總結(jié)歸納，以饗讀者。

題型一：雙曲線的定義

分析 待求范圍的代數(shù)式|PF1|+|PF2|是兩條焦半徑之和，靈活運用雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=2，結(jié)合銳角三角形的特征，即可求解。

解 不妨設(shè)點P（x，y）在雙曲線右支上，

評注 在圓錐曲線中，涉及曲線上一點到焦點或準(zhǔn)線等的距離問題時，優(yōu)先選用圓錐曲線定義求解，能夠大大簡化代數(shù)運算過程。

題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

分析 先利用圓與漸近線相交確定A點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性，找到A點坐標(biāo)與四邊形ABCD面積的關(guān)系。

解 根據(jù)雙曲線的對稱性，易知四邊形ABCD為矩形。

不妨設(shè)點A在第一象限，A的坐標(biāo)為（x，y），

答案選D。

評注 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法為待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a、b、c的方程并求出a、b、c的值。給出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，也要能熟練得出雙曲線的基本量a、b、c。

題型三：雙曲線的幾何性質(zhì)

答案選A。

（2）求雙曲線的離心率時，應(yīng)將題設(shè)中雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a、b、c的方程或不等式，然后利用b2=c2-a2和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，再通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍。

題型四：直線與雙曲線的綜合問題

分析 （1）設(shè)A（c，yA），根據(jù)題設(shè)條件得到4（1+b2）=3b4，從而解得b2的值。（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：y=k（x-2），聯(lián)立方程組，利用“設(shè)而不求，整理處理”的思想。

解 （1）設(shè)A（c，yA），

評注 （1）解決直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得到關(guān)于x或y的一元二次方程。當(dāng)二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項系數(shù)不等于0時，用判別式Δ來判定。

（2）解決直線與雙曲線的綜合問題時，不僅要聯(lián)立方程組、消元，利用判別式Δ并結(jié)合韋達定理是必不可少的過程，而且需要考生能將題中的條件轉(zhuǎn)化為含“x1+x2”和“x1x2”的代數(shù)式。

縱觀以上，各類考試對雙曲線的考查要求我們要牢固掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，要求我們有較強的數(shù)據(jù)處理和運算的能力。所以在學(xué)習(xí)過程中，我們要認真研究，深刻理解雙曲線的各個層面上的知識，為提升我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高我們的數(shù)學(xué)成績打下堅實的基礎(chǔ)。