金啟勝
(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽安慶 246003)
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一類擬線性方程初值問題的可解性
金啟勝
(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽安慶 246003)
本文通過一類擬線性方程的特征曲線和積分曲面之間的關(guān)系,研究了一類擬線性方程初值問題的可解性,并給出實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。
特征曲線;積分曲面;初值問題
考察一階擬線性方程
a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u).
(1)
其中,u=u(x,y).稱方向(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))是方程(1)的特征方向,處處與特征方向相切的曲線是方程(1)的特征曲線.設(shè)特征曲線的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t),則沿著特征曲線有
即
(2)
稱(2)為方程(1)的特征方程.顯然,處處與特征方向相切的曲面z=u(x,y)是方程(1)的積分曲面,積分曲面z=u(x,y)是方程(1)的解.
下面討論方程(1)的初值問題.設(shè)有空間曲線?!?x,y,z)=(f(s),g(s),h(s)),s為參數(shù).方程(1)的初值問題就是求方程(1)的解z=u(x,y),使之滿足h(s)≡u(f(s),g(s)),即積分曲面過已知曲線Γ.在許多情況下,x表示空間變量,y表示時(shí)間變量,所以就有y=0時(shí)刻的初值問題u(x,0)=h(s),空間曲線Γ的參數(shù)方程為x=s,y=0,z=h(x).
定理1
若特征曲線γ上一點(diǎn)P(x0,y0,z0)位于積分曲面S∶z=u(x,y)上,則γ整個(gè)位于S上.
證明 設(shè)γ的方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t),由特征曲線定義可知,它是方程組(2)的解,并且對某參數(shù)t=t0滿足x0=x(t0),y0=y(t0),z0=z(t0)=u(x0,y0).
(3)
其中,x=x(t),y=y(t).因?yàn)閦=u(x,y)是(1)的解,所以U=0是(3)的解.根據(jù)常微分方程初值問題解的唯一性定理,由U(t0)=0知U(t)≡0,即z(t)≡u(x(t),y(t)),所以γ∈S.
根據(jù)定理1可知,特征曲線完全位于積分曲面內(nèi),積分曲面S是特征曲線γ的并,即過S上每一點(diǎn)都有一條包含在S中的特征曲線;反之,如果曲面S∶z=u(x,y)是特征曲線的并,則該曲面必是積分曲面.根據(jù)定理1還可得到,兩個(gè)有公共點(diǎn)P的積分曲面必沿著一條過點(diǎn)P的特征曲線γ相交;反之,如果積分曲面S1和S2沿著曲線γ相交而不相切,則γ必是特征曲線.
定理2
設(shè)曲線γ∶(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))光滑,且f′2+g′2≠0,在點(diǎn)P0=(x0,y0,z0)=(f(s0),g(s0),h(s0))處,行列式為
(4)
又設(shè)a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在γ附近光滑.則初值問題
(5)
在s=s0某鄰域內(nèi)存在唯一解.
證明 在s0附近,即在|s-s0|<δ,δ>0中求特征方程(2)的解
x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t).
(6)
使得當(dāng)t=0時(shí),等式(x,y,z)=(f(s),g(s),h(s))成立,其中|s-s0|<δ,0≤t x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)具有連續(xù)的一階偏微商,它們關(guān)于s,t滿足 Xt=a(X,Y,Z),Yt=b(X,Y,Z),Zt=c(X,Y,Z). (7) X(s,0)=f(s),Y(s,0)=g(s),Z(s,0)=h(s). (8) 因?yàn)镴≠0,根據(jù)隱函數(shù)定理,可以從(6)的前兩個(gè)式子求出光滑函數(shù)s=S(x,y),t=T(x,y),當(dāng)|s-s0|<δ1,0≤t≤T1時(shí),滿足S(x0,y0)=s0,T(x0,y0)=0,則 z=Z(S(x,y),T(x,y))=u(x,y). (9) 就是初值問題(5)的解. 對函數(shù)(9)分別求偏微商,得到 Zx=ZsSx+ZtTx,Zy=ZsSy+ZtTy. (10) 對x=X(s,t),y=Y(s,t),z=Z(s,t)前兩個(gè)式子分別就x求偏微商得 (11) 其中,Δ=XsYt-XtYs≠0,因?yàn)镴≠0.類似對y求偏微商得 (12) 把(11),(12)代入(10),并把(10)第一個(gè)式子乘以a(X,Y,Z),再加上第二個(gè)式子乘以b(X,Y,Z),得到[a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy]Δ=(ZsYt-ZtYs)a+(ZtXs-ZsXt)b. 把a(bǔ),b,Δ代入化簡得a(X,Y,Z)Zx+b(X,Y,Z)Zy=c(X,Y,Z),即u(x,y)=Z(S(x,y),T(x,y))是初值問題(5)的解.則存在性得證. 根據(jù)定理1可知,任何通過曲線γ的積分曲面包含過γ上各點(diǎn)的特征曲線,所以其中必包含曲面(6),從而局部地與這個(gè)曲面重合,也就是說,解是唯一的. [1]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004:32-42. [2]金啟勝,鐘金標(biāo),周宗福.一類擬線性橢圓型方程邊值問題的可解性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2015,45(22):249-252. [3]胡業(yè)新.一類擬線性橢圓型方程邊值問題的穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,57(6):1181-1190. [4]周長亮,王遠(yuǎn)弟.一類擬線性拋物型方程的非局部邊值問題[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,17(5):606-613. [5]楊志林.擬線性橢圓型方程邊值問題解的存在性與唯一性[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,25(6):1180-1183. The Solvability of a Kind of Quasilinear Equation Initial Value Problem JIN Qi-sheng (Anqing Vocational and Technical College, Anqing Anhui 246003, China) In this paper,the relationship between the characteristic curve and the integral surface of a kind of quasilinear equation, studied solvability of a kind of quasilinear equation the initial-value problem. And an example is given to verify the correctness of the conclusion. characteristic curve; integral surface; initial value problem 2016-05-27 2015年安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目“微分方程在高職數(shù)學(xué)建模中的創(chuàng)新型應(yīng)用研究”(2015jyxm539);2016年安徽省自然科研項(xiàng)目“動(dòng)態(tài)粒子群優(yōu)化的數(shù)學(xué)建?!?KJ2016A447)。 金啟勝(1972- ),男,副教授,碩士,從事微分方程研究。 O175.2 A 2095-7602(2016)08-0001-033 應(yīng)用舉例