荊卉婷

一類歐式期權(quán)定價問題

荊卉婷

賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動因具備長程相依性、重對數(shù)率等精美性質(zhì)，可用于資本市場。文章主要考慮由賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的金融市場，從其相關(guān)性質(zhì)出發(fā)，定義了新型的歐式期權(quán)定價公式并繪制出一些仿真結(jié)果。

賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動；歐式期權(quán)

一、前言

具有長程相依性的自相似隨機過程廣泛應(yīng)用于包括金融、電信學(xué)、流體力學(xué) 等許多領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)布朗運動(fractional Brownian motion)是使用最廣泛的一種，也是自相似高斯過程中唯一一個具有平穩(wěn)增量的隨機過程。近年來，分?jǐn)?shù)布朗運動以其簡單的結(jié)構(gòu)、精美的性質(zhì)以及廣泛的應(yīng)用引起了許多學(xué)者的興趣，隨著研究的不斷深入，已經(jīng)獲得了很多有意義的結(jié)果但是與分?jǐn)?shù)布朗運動的廣泛研究相比較，其它類型的自相似高斯過程的研究卻非常少！這主要是由于其他類型自相似高斯過程并沒有平穩(wěn)增量，且相依結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。

此后，很多學(xué)者開始了諸如次分?jǐn)?shù)布朗運動，雙分?jǐn)?shù)布朗運動等自相似高斯過程的研究，然而對于賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動的研究還非常少，結(jié)構(gòu)也更加復(fù)雜，這也是我們開展賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動研究的原因之一。另一方面，賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動涵蓋分?jǐn)?shù)布朗運動、雙分?jǐn)?shù)布朗運動等許多具有長程相依性的自相似高斯過程，所以我們認(rèn)為這類研究對于金融市場的定價問題具有應(yīng)用意義。

本文主要研究賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動在金融市場中的一個應(yīng)用，給出了由賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動版本的歐式期權(quán)定價公式，并繪出了當(dāng)長程相依性指數(shù)及波動率取不同值時，歐式期權(quán)的價格隨時間變化的圖像。

二、歐式期權(quán)定價公式及相關(guān)證明

由于金融系統(tǒng)的復(fù)雜性，投資者往往不是在得到金融信息時立刻做出決定，而是等信息達(dá)到一定的量的時候再做出決定。這種行為往往導(dǎo)致長程相依性，賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動能夠成為解釋這種現(xiàn)象的有用工具。在我們的模型中，假設(shè)股票價格V服從下面的隨機過程：

假設(shè)金融市場有兩種資產(chǎn)，其中一種資產(chǎn)為證券，收益率為無風(fēng)險利率r;另一種資產(chǎn)為股票，其收益率是一個隨機過程Vt，初始價格為V0。我們關(guān)心的是以此股票為標(biāo)的資產(chǎn)的到期日為T執(zhí)行價格為k的歐式期權(quán)定價問題。

定義1：股票價格{Vt}的預(yù)期收益μ與時間T之間滿足

因為對{Vt}沒有限制，μ一般情況下與T有關(guān)。

引理1：歐式看漲期權(quán)價格C(K,T)為

類似的，歐式看跌期權(quán)價格P(K,T)為

因此我們有

引理2：方程（1）的解為

定理1.到期日為T執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)價格C(K,T)為

其中

又根據(jù)引理（1）（2），可知到期日執(zhí)行價格為的歐式期權(quán)價格C（K,T）為

另一方面，我們可以類似證明.

三、數(shù)值仿真

根據(jù)以上內(nèi)容，給出一些數(shù)值仿真結(jié)果，在圖（1）～圖（4）中，我們繪出了不同參數(shù)值σ∈{0.2，0.3,0.5}從圖可以看出，看漲期權(quán)的價格是到期日T，波動率σ及長相依指數(shù)α的增函數(shù)；看跌期權(quán)的價格是波動率σ及及長相依指數(shù)α的增函數(shù)，但關(guān)于到期日T是先增后減。取σ∈{0.2，0.0，0.2}固定b=0.4的圖像

圖（1）

圖（2）

圖（1）：期權(quán)價格關(guān)于到期日為T的圖像，其中的參數(shù)值為r=0.06，α=0.2，b=0.4，K=60，V0=100,0＜T＜50.

圖（2）：期權(quán)價格關(guān)于到期日為T的圖像，其中的參數(shù)值為b=0.4， r=0.06，σ=0.2，K=60，V0=100,0＜T＜50.K=60，V0=100,0＜T＜50.

圖（3）

圖（4）

圖（3）:長程相依指數(shù)取不同參數(shù)值時歐式看漲（看跌）期權(quán)價格關(guān)于到期日T的圖像，其中的參數(shù)數(shù)值為r=0.06，α=0.2，b=0.4，K=60，V0=100,0＜T＜50.

圖4：長程相依指數(shù)取不同參數(shù)值時歐式看漲（看跌）期權(quán)價格關(guān)于到期日T的圖像，其中的參數(shù)數(shù)值為b=0.4，r=0.06，σ=0. 2，K=60，V0=100,0＜T＜50.K=60，V0=100,0＜T＜50.

四、總結(jié)

本文利用賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動的一些良好的性質(zhì)與實際金融市場相結(jié)合，建立了依托該理論的數(shù)學(xué)公式，試?yán)闷涮刭|(zhì)給出歐式期權(quán)的定價公式，并繪制了仿真圖像，發(fā)現(xiàn)賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運動，確實可應(yīng)用于金融市場，尤其是在信用違約率、期權(quán)定價等方面擁有廣泛應(yīng)用，因此未來進行更優(yōu)化處理會得到更準(zhǔn)確的結(jié)論，并且非常具有實用價值。

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荊卉婷，女，黑龍江佳木斯人，寧波工程學(xué)院經(jīng)濟與管理學(xué)院助教、碩士，研究方向：金融工程。

F830.91

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1008-4428（2016）06-79-02