鄭來運(yùn)

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 銀川 750021)

?

具有Markovian調(diào)制的隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性

鄭來運(yùn)

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 銀川 750021)

根據(jù)Euler數(shù)值方法，給出了一類具有Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)的數(shù)值解，并應(yīng)用It公式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall引理證明了數(shù)值解的收斂性，給出了數(shù)值解收斂于解析解的充分條件。

隨機(jī)資本系統(tǒng)；Markovian調(diào)制；It公式

考慮如下具有Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)：

(1)

帶Markovian調(diào)制的系統(tǒng)具有很好的優(yōu)點(diǎn)，它能描述(模型化)動(dòng)力系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)的突然變化，如系統(tǒng)組成部分的失敗或修復(fù)、突然的環(huán)境變化、子系統(tǒng)間互聯(lián)的改變以及對(duì)不同的非線性部分的操作等[1]，因此受到了廣泛關(guān)注[2-17]。由于一般很難或無法獲得該系統(tǒng)的解析解，近年來，很多學(xué)者更加關(guān)注隨機(jī)微分方程數(shù)值解的研究。例如：Yuan等[2]討論了具有Markovian調(diào)制的隨機(jī)微分方程 數(shù)值解的收斂性；Wang等[5]研究了帶 Poisson 跳和 Markovian調(diào)制的隨機(jī)時(shí)滯微分方程數(shù)值解的收斂性；Rathinasamy等[6]給出了帶多時(shí)滯和Markovian調(diào)制的線性隨機(jī)微分方程半隱式Euler法的均方穩(wěn)定性，最近又討論了具有Markovian調(diào)制的年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)分裂步數(shù)值方法[7]；Zhou等[8]證明了在局部 Lipschitz 條件下，帶 Markovian調(diào)制的中立型時(shí)滯隨機(jī)微分方程數(shù)值解的收斂性；Li等[9]討論了帶Markovian調(diào)制的隨機(jī)時(shí)滯微分方程數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性，并研究了帶Markovian調(diào)制[10]以及帶跳和Markovian調(diào)制[11]的年齡相關(guān)隨機(jī)種群方程數(shù)值解的收斂性；Jiang等[12]討論了帶Markovian調(diào)制的隨機(jī)時(shí)滯積分微分方程分裂步向后Euler數(shù)值解的穩(wěn)定性；張啟敏等[13-14]研究了帶Markovian調(diào)制的年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解的漸漸穩(wěn)定性以及半馴服Euler法的指數(shù)穩(wěn)定性。對(duì)于投資模型問題，Markovian調(diào)制模型在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的多個(gè)重要領(lǐng)域均有應(yīng)用[15-16]，但對(duì)于帶Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)，相關(guān)研究較少[17]。本文討論給定條件下帶Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值逼近解的收斂性。

1　預(yù)備知識(shí)和Euler逼近

設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備概率空間，{Ft}t≥0是其上的一個(gè)濾子且滿足一般性條件(即單調(diào)增右連續(xù)，且F0包含所有的P零測集)。設(shè)r(t),t>0為定義在(Ω,F,P)上取值于有限狀態(tài)S={1,2,…,N}的右連續(xù)Markovian鏈，其生成元Γ=(γij)N×N定義如下：

其中，Δ>0，γij≥0(i≠j)表示從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率，且

(2)

其中，Kt=K(a,t)。

對(duì)于系統(tǒng)(1)，取Δt=h為離散時(shí)間步長(時(shí)間增量)，則其Euler逼近解迭代式為

(3)

初始值

(4)

假定系統(tǒng)(1)滿足如下條件：

1)μ(a,t)在Q上非負(fù)可測，γ(t)和A(t)在[0;T]上非負(fù)連續(xù)，滿足

2)f(i,0)=0,g(i,0)=0,i∈S。

3) (Lipschitz條件)存在正常數(shù)Ki，對(duì)任意x,y∈H,i∈S，有

若上述條件成立，則方程(1)在(a,t)∈Q上存在唯一解K(a,t)，證明方法與文獻(xiàn)[18]中方法類似，這里不再贅述。

2　相關(guān)引理

引理2若條件(A)-(D)成立，則存在常數(shù)k≥2和C1>0，使得

證明過程類似于文獻(xiàn)[17]，且可得

證明由式(4)可得

對(duì)|Qt|2應(yīng)用It公式，有

于是得

對(duì)?t∈[0,T]，有

利用條件3)得

基于QoS綜合匹配的語義Web服務(wù)選擇方法過程中，兩個(gè)QoS屬性參數(shù)之間相關(guān)性的臨界距離L，本文將其設(shè)定為1。QoS語義匹配成功后，對(duì)相應(yīng)的QoS數(shù)值進(jìn)行匹配。

(5)

應(yīng)用Burkholder-Davis-Gundy不等式，對(duì)某些正常數(shù)M1>0，有

(6)

于是由式(5)和(6)可得

應(yīng)用 Gronwall 引理，得

證明完畢。

引理4對(duì)任意的t∈[0,T]，存在正常數(shù)C3和C4，使得

引理5若條件1)～3)成立，則存在常數(shù)C5使

證明對(duì)任意的t∈[0,T]，存在正整數(shù)m，使得t∈[mh,(m+1)h)，有

于是，

應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式和假設(shè)條件，有

應(yīng)用Doob不等式和引理3，有

證明完畢。

3　數(shù)值解的收斂性

由引理1～5可證明在給定條件1)～4)下，具有Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)的數(shù)值解收斂到其解析解。

定理1若條件1)～4)成立，則

證明由式(2)和(4)，有

于是，對(duì)?t∈[0,T]，有

應(yīng)用Burkholder-Davis-Gundy不等式，得

其中，k1和k2均為正常數(shù)。于是有

再利用Gronwall不等式，可得

即有

定理2若條件1)～4)成立，則數(shù)值逼近解(4)收斂于系統(tǒng)(1)的解析解，即滿足

4　結(jié)束語

本文討論了一種具有Markovian調(diào)制的役齡相關(guān)隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性。結(jié)果表明：在相應(yīng)條件下，系統(tǒng)的數(shù)值逼近解(4)收斂于其解析解。

[1]MARITON M.Jump Linear Systems in Automatic Control[M].New York:Marcel Dekker，1990.

[2]YUAN C G,MAO X R.Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching[J].Mathematics and Computers in Simulation，2004，64:223-235.

[3]WANG Z，LIU Y，YU L，et al.Exponential stability of delayed recurrent neural networks with Markovian jumping parameters[J].Physics Letters A，2006，356:346-352.

[4]戴偉星，胡適耕.帶Markov調(diào)制的隨機(jī)微分延遲方程的穩(wěn)定性(英文)[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2008，28:511-520.

[5]WANG L S，XUE H.Convergence of numerical solutions to stochastic differential delay equations with Markovian switching and Poisson jump[J].Applied Mathematics and Computation 2007，188:1161-1172.

[6]RATHINASAMY A，BALACHANDRAN K.Mean square stability of semi-implicit Euler method for linear stochastic differential equations with multiple delays and Markovian switching[J].Applied Mathematics and Computation，2008，206:968-979.

[7]RATHINASAMY A.Split-step-methods for stochastic age-dependent population equations with Markovian switching[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications，2012，13:1334-1345.

[8]Zhou S B，Wu F K.Convergence of numerical solutions to neutral stochastic delay differential equations with Markovian switching[J].Computational and Applied Mathematics，2009，229:85-96.

[9]LI R H，HOU Y M.Convergence and stability of numerical solutions to SDDE with Markovian Switching[J].Applied Mathematics and Computation，2006，175:1080-1091.

[10]LI R H，LEUNG P K，PANG W K.Convergence of numerical solutions to stochastic age-dependent population equations with Markovian switching[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，233:1046-1055.

[11]LI R H，PANG W K，LEUNG P K.Convergence of numerical solutions to stochastic age-structured population equations with diffusions and Markovian switching[J].Applied Mathematics and Computation，2010，216:744-752.

[12]JIANG F，SHEN Y，HU J H.Stability of the split-step backward Euler scheme for stochastic delay integro-differential equations with Markovian switching[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16:814-821.

[13]MA W J，ZHANG Q M.，WANG Z P.Asymptotic stability of stochastic age-dependent population equations with Markovian switching[J].Applied Mathematics and Computation，2014，227:309-319.

[14]楊洪福，張啟敏.具有Markov調(diào)制的隨機(jī)年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)半馴服Euler法的指數(shù)穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版)，2016，37:7-88.

[15]GUO X.Information and Option Pricing[J].Quantitative Finance，2001(1):38-44.

[16]ELLIOTT R J，HINZ J.Portfolio analysis，hidden Markov models and chart analysis by PF-diagrams[J].International Journal of Theoretical and Applied Finance，2002，5:385-399.

[17]ZHANG Q M，LIU Y T，LI X N.Strong convergence of split-step backward Euler method for stochastic age-dependent capital system with Markovian switching[J].Applied Mathematics and Computation，2014，235:439-453.

[18]ZHANG Q M，LIU W A，NIE Z K.Existence，uniqueness and exponential stability for stochastic age-dependent population[J].Applied Mathematics and Computation，2004，154:183-201.

[19]ANDERSON W J.Continuous-time Markov Chains[M].Berlin:Springer，1991.

(責(zé)任編輯陳艷)

Convergence of Solution for Stochastic Capital System with Markovian Switching

ZHENG Lai-yun

(School of Mechanical Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

The numerical solution of a class of stochastic age-dependent capital system with Markovian switching was given according to the Euler method in time discretization. Utilizing It’s formula, Gronwall lemma and Barkholder-Davis-Gundy inequality, some criteria were obtained for the convergence of the numerical solution.

stochastic capital system; Markovian switching; It’s formula

2016-05-08

寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ14048)

鄭來運(yùn)(1979—),女，寧夏人，講師，主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制理論的研究，E-mail: zhenglaiyun@126.com。

format：ZHENG Lai-yun.Convergence of Solution for Stochastic Capital System with Markovian Switching[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(10):156-162.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.10.025

O231

A

1674-8425(2016)10-0156-07

引用格式：鄭來運(yùn).具有Markovian調(diào)制的隨機(jī)資本系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(10):156-162.