吳洪博,王倫磊

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安 710119)

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函數(shù)算術(shù)均值極限的黎曼積分形式及其在R0命題邏輯中的應(yīng)用

吳洪博,王倫磊

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安 710119)

提出并證明了在有界閉域上非負(fù)且黎曼可積的多元函數(shù)的算數(shù)平均值極限的黎曼積分形式，還證明了n值R0命題邏輯中當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)公式的廣義真度極限的存在定理；并根據(jù)在有界閉域上非負(fù)且黎曼可積的多元函數(shù)的算數(shù)平均值極限的黎曼積分形式和n值R0命題邏輯中當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)公式的廣義真度極限的存在定理,在連續(xù)值R0命題邏輯中建立了相對(duì)于局部有限理論的公式的廣義真度理論,為在R0命題邏輯中建立基于局部有限理論的近似推理,廣義積分語(yǔ)義理論等奠定了基礎(chǔ).

計(jì)量邏輯;黎曼積分;R0命題邏輯;局部有限理論;廣義真度

電子學(xué)報(bào)URL:http://www.ejournal.org.cn DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2016.08.020

1 引言

上世紀(jì)二十年代,Lukasiewicz關(guān)于三值命題邏輯的論文on three-valued logic的發(fā)表標(biāo)志著多值命題邏輯研究工作的開(kāi)始[1].1998年Hájek 于文獻(xiàn)[2]中的研究工作是對(duì)基于連續(xù)t-模建立的命題邏輯的系統(tǒng)總結(jié).進(jìn)入二十一世紀(jì),我國(guó)學(xué)者徐揚(yáng)教授建立了格值命題邏輯,已故學(xué)者王國(guó)俊教授建立了R0命題邏輯,王三民教授建立了NML命題邏輯,國(guó)外學(xué)者F Estava,L G?do 建立了MTL命題邏輯等等[3～7],這些命題邏輯的建立進(jìn)一步豐富了多值命題邏輯的研究?jī)?nèi)容.

語(yǔ)義理論是多值邏輯不可分割的組成部分,語(yǔ)義理論的研究與發(fā)展始終伴隨著多值命題邏輯的研究與發(fā)展.二十一世紀(jì)初期王國(guó)俊教授提出的模糊推理的三I算法理論,廣義重言式理論,計(jì)量邏輯理論是關(guān)于語(yǔ)義理論研究的重要組成部分.文獻(xiàn)[7～23]是關(guān)于這些理論研究所取得的重要成果.文獻(xiàn)[24～26]將計(jì)量邏輯理論中的真度方法應(yīng)用于多值模態(tài)邏輯和基于有限遷移系統(tǒng)的線性時(shí)態(tài)邏輯的計(jì)量化方法的研究之中,并取得了一些重要成果.計(jì)量邏輯中的基本理論是公式的真度理論[7，8],文獻(xiàn)[9]在n值R0命題邏輯中建立了公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度理論.本文的主要內(nèi)容是在連續(xù)值R0命題邏輯中引入與n值R0命題邏輯中廣義真度相和諧的公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度理論.首先,根據(jù)R0命題邏輯中公式的廣義真度理論研究的需要,給出了在測(cè)度不等于零的有界閉域上多元非負(fù)可積函數(shù)的算數(shù)平均值極限的黎曼積分形式;其次,證明了n值R0命題邏輯中當(dāng)n→∞時(shí)廣義真度極限的存在定理,特別地,當(dāng)公式所誘導(dǎo)的邏輯函數(shù)在由局部有限理論所決定的積分區(qū)域的測(cè)度不等于零時(shí),給出了廣義真度極限的黎曼積分形式;最后,根據(jù)n值R0命題邏輯中當(dāng)n→∞時(shí)廣義真度極限的存在定理,在連續(xù)值R0命題邏輯中建立了公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度理論.本文的結(jié)果將n值R0命題邏輯和連續(xù)值R0命題邏輯通過(guò)相對(duì)于局部有限理論的公式的廣義真度和諧地結(jié)合起來(lái),將有助于計(jì)量邏輯理論,近似推理理論,積分語(yǔ)義理論的進(jìn)一步推廣和發(fā)展.

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]R0命題邏輯中的公式集F(S)是由可數(shù)無(wú)窮集S={p1,p2…}和邏輯連接詞┐,→,∧生成的(1,2,2)型自由代數(shù)(F(S),(┐,→,∧)).稱S中的元為命題變?cè)?此外,在F(S)中將┐(┐A∧┐B)記作A∨B.

R0命題邏輯中的推理規(guī)則是MP規(guī)則.

其中的公理集請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

┐x1=1-x1,x1∧x2=min{x1,x2},

分別稱(Wn,(┐,∧,?)),(W,(┐,∧,?))為n值R0代數(shù)與R0單位區(qū)間,將它們分別記作Wn,W.

定義3[7]映射v:F(S)→Wn(或W)稱為F(S)的賦值,如果v是(┐,∧,?)型代數(shù)同態(tài).以Wn為賦值域的命題邏輯稱為n值R0命題邏輯,以W為賦值域的命題邏輯稱為連續(xù)值R0命題邏輯.用Ω記以Wn或W為賦值域的全體賦值之集.

3 多元非負(fù)函數(shù)算術(shù)均值的極限定理

本節(jié)中有關(guān)黎曼積分,算數(shù)平均值等概念和性質(zhì)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[28].

定理1 非負(fù)函數(shù)算術(shù)均值的極限定理

設(shè)a

以Δn表示點(diǎn)(ξ1,…,ξm)所在的小方體與D相交的點(diǎn)的集合.則

證明 我們僅以二元函數(shù)為例進(jìn)行證明

由題設(shè)知f(x1,x2)在有界閉域D上黎曼可積,我們應(yīng)用黎曼積分的定義對(duì)∫Df(x1,x2)dx1dx2進(jìn)行計(jì)算.

首先，[a,b]2中分點(diǎn)滿足：當(dāng)i=0,1,…,n時(shí),

D的分割是上述小方體δ(ξ1,ξ2)與D的交集構(gòu)成的集族,D的分割成員分為三類(lèi),記：

令S=∫Ddx1dx2,則由題設(shè)知S>0并且由文獻(xiàn)[28]知?M>0使得?(x1,x2)∈D,0≤f(x1,x2)≤M.

在D的分割中,分塊具有以下性質(zhì):

因此，?ε>0,?N∈Z+使得當(dāng)n≥N時(shí),

=ε

因此,結(jié)合黎曼積分的定義[28]得

∫Df(x1,x2)dx1dx2

4 n值R0命題邏輯中廣義真度極限

文獻(xiàn)[7,8]中真度理論是從有限值命題邏輯和連續(xù)值命題邏輯兩個(gè)方面建立的.文獻(xiàn)[9]在n值R0命題邏輯中通過(guò)計(jì)算公式屬于Γ-重言式之集的隸屬度的方法建立了公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度理論,但并未在連續(xù)值R0命題邏輯中建立與之相對(duì)應(yīng)的廣義真度理論,或相對(duì)應(yīng)的廣義積分語(yǔ)義理論.本節(jié)我們將證明在n值R0命題邏輯中廣義真度極限的存在性以及給出特定條件下廣義真度極限的黎曼積分形式.

首先,設(shè)?！葅A}?F(S),我們給出如下約定:SΓ={p∈S|?B∈Γ,p出現(xiàn)B中},SA=S{A}.如果SΓ是有限集合,則稱Γ是F(S)的局部有限理論.

定義5[9]在n值R0命題邏輯中,設(shè)Γ是F(S)的局部有限理論,A∈F(S),i∈{0,1,…,n-1},

Σ(Γ)={v∈Ω?B∈Γ,v(B)=1}≠?,

當(dāng)Σ(Γ)=?時(shí),約定τn(Γ,A)=1.

稱τn(Γ,A)是公式A的Γ-真度.

其中vS?！萐A∶S?！萐A→Wn是賦值v:F(S)→Wn在S?！萐A上的限制.

注1 ?i,j∈{0,1,…,n-1},當(dāng)i≠j時(shí)，

定理2 廣義真度極限的存在定理

證明 在定義5中,Γ-真度可以表示為:

定理3 廣義真度的均值形式

在n值R0命題邏輯中,設(shè)Γ是F(S)的局部有限理論,A∈F(S),S?！萐A={p1,p2,…,pm},

證明 (1)?i∈{0,1,…,n-1},

(2)?i∈{0,1,…,n-1},定義hi:N(Γ,A,i)→Δn(Γ,A,i)如下:hi(v|{p1,…,pm})=(v(p1),…,v(pm)).參照文獻(xiàn)[9]可以證明:hi是雙射.

定理4 廣義真度極限的積分形式

證明 由文獻(xiàn)[27]可知公式A誘導(dǎo)的函數(shù)

5 連續(xù)值R0命題邏輯中的廣義真度

根據(jù)n值R0命題邏輯中廣義真度極限的存在定理和廣義真度極限的黎曼積分形式,本節(jié)中我們將在連續(xù)值R0命題邏輯中給出公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度的合理形式,使得通過(guò)廣義真度的形式將有限值R0命題邏輯和連續(xù)值R0命題邏輯和諧的結(jié)合在一起.

證明 這是定理4和定義6的直接結(jié)果.

例1 在連續(xù)值R0命題邏輯中,設(shè)

Γ1={(p1→p2)→p2},Γ2={p1→p2,p2→p1}.A=p1∧p2.請(qǐng)計(jì)算τ[0,1](Γ1,A),τ[0,1](Γ2,A).

解答

(1)由公式(p1→p2)→p2誘導(dǎo)的函數(shù)形式是(x1?x2)?x2.根據(jù)定義2,定義4可知

因此， Δ[0,1](Γ1,A)={(x1,x2)∈[0,1]2|(x1?x2)?x2=1}

=4×∫Δ[0,1](Γ1,A)(x1∧x2)dx1dx2

因此根據(jù)定義6得:

6 后記

本文將在有界閉域上非負(fù)且黎曼可積的多元函數(shù)算術(shù)平均值極限的黎曼積分形式和n值R0命題邏輯中公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度的極限存在定理相結(jié)合,在連續(xù)值R0命題邏輯中建立了公式相對(duì)于局部有限理論的廣義真度理論,不但進(jìn)一步完善了R0命題邏輯中公式相對(duì)于局部有限的廣義真度理論,而且使得兩種R0命題邏輯通過(guò)廣義真度理論的形式緊密的聯(lián)系在一起,同時(shí)為在R0命題邏輯中建立基于局部有限理論的廣義真度理論的近似推理理論,計(jì)量邏輯理論,積分語(yǔ)義理論等奠定了基礎(chǔ).

致謝 作者對(duì)評(píng)審人和編委給出的誠(chéng)摯的修改建議表示衷心感謝.

[1]J Lukasiewicz.O Trówartosciowej (On three-valued logic)[J].Ruch Filozoficzny,1920,5(2):170-171.

[2]P Hájek.Metamathematics of Fuzzy Logic[M].Dordrecht:Kluwer Academics Publisher,1998.

[3]Y Xu,D Ruan,K Y Qin,J Liu.Lattice-Valued Logic[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,2003.

[4]F Esteva,L G?do.Monoidal t-norm-based logic:towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,124(3):271-288.

[5]S M Wang,B S Wang,F Ren.NML,a schematic extension of F.Esteva and L.G?do's logic MTL[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,149(2):285-295.

[6]張小紅.模糊邏輯及其代數(shù)分析[M].北京:科學(xué)出版社,2008(第一版).

[7]王國(guó)俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京:科學(xué)出版社,2008(第二版).

[8]G J Wang,H J Zhou.Quantitative logic.Information Science[J].2009,179(3):226-247.

[9]H B Wu.The generalized truth degrees of quantitative logic in the logic system L*n[J].Computers and Mathematics with Applications,2010,59(8):2587-2596.

[10]H W Liu,G J Wang.Triple I method based on point-wise sustaining degrees[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,55(11):2680-2688.

[11]H W Liu,G J Wang.Unified forms of fully implication restriction methods for fuzzy reasoning[J].Information Sciences,2007,177(3):956-966.

[12]H B Wu.The theory of generalized tautologies in the revised Kleene system[J].Science in China (Series E),2001,44(3):233-238.

[13]汪德剛,谷云東,李洪興.模糊模態(tài)命題邏輯及其廣義重言式[J].電子學(xué)報(bào),2007,35(2):261-264.

Wang Degang,Gu Yundong,LI Hongxing.Fuzzy modal logic and its tautologies[J].Acta Electronica Sinica,2007,35(2):261-264.(in Chinese)

[14]王國(guó)俊,宋建設(shè).命題邏輯中的程度化方法[J].電子學(xué)報(bào),2006,34(2):252-257.

WANG Guo-jun,SONG Jian-she.Graded method in propositional logic[J].Acta Electronica Sinica,2006,34(2):252-257.(in Chinese)

[15]李駿,王國(guó)俊.邏輯系統(tǒng)Ln*中的命題真度理論[J].中國(guó)科學(xué):E 輯,2006,36(6):631-643.

LI Jun,WANG Guo-jun.Theory of truth degrees of propositions in logic system Ln*[J].Science in China:Information science,2006,36(6):631-643.(in Chinese)

[16]吳洪博,周建仁,張瓊.(3n+1)值邏輯系統(tǒng)R0L中公式的真度性質(zhì)[J].電子學(xué)報(bào),2011,39(10):2230-2234,2229.

Wu Hongbo,Zhou Jianren,Zhang Qiong.The properties of truth degrees of formulas in (3n+1)-valued logic system R0L[J].Acta Electronica Sinica,2011,39(10):2230-2234,2229.(in Chinese)

[17]李駿,姚錦濤.命題邏輯系統(tǒng)SMTL中公式的積分真度理論[J].電子學(xué)報(bào),2013,41(5):878-883.

LI Jun,YAO Jin-tao.Theory of integral truth degrees of formula in SMTL propositional logic[J].Acta Electronica Sinice,2013,41(5):878-883.(in Chinese)

[18]吳洪博,周建仁.計(jì)量邏輯中真度的均值表示及其應(yīng)用[J].電子學(xué)報(bào),2012,40(9):1822-1828.

Wu Hongbo,Zhou Jianren.The form of mean representation of truth degree with application in quantitative logic[J].Acta Electronica Sinica,2012,40(9):1822-1828.(in Chinese)

[19]張東曉,李立峰.二值命題邏輯公式的語(yǔ)構(gòu)程度化方法[J].電子學(xué)報(bào),2008,36(2):320-325.

Zhang Dongxiao,Li Lifeng.Syntactic graded method of 2-va;ued propositional logic formulas[J].Acta Electronica Sinica,2008,36(2):320-325.(in Chinese)

[20]吳洪博.Lukasiewicz命題邏輯中公式的Γ-真度和極限定理[J].中國(guó)科學(xué):信息科學(xué),2014,44(12):1542-1559.

WU Hong-bo.Limit theorem and Γ-truth degrees in Lukasiewicz propositional logic[J].Science in China:Information Science,2014,44(12):1542-1559.(in Chinese)

[21]周紅軍,折延宏.Lukasiewicz命題邏輯中命題的Choquet積分真度理論[J].電子學(xué)報(bào),2013,23(3):557-563.

Zhou Hongjun,She Yanhong.Theory of Choquet integral truth degrees of propositions in Lukasiewicz propositional logic[J].Acta Electronica Sinica,2013,23(3):557-563.(in Chinese)

[22]胡明娣,王國(guó)俊.經(jīng)典邏輯度量空間中的模2次范整線性空間結(jié)構(gòu)[J].電子學(xué)報(bào),2011,39(4):899-905.

Hu Ming-di,Wang Guo jun.Z(2)-normal linear structure on classical logic metric space[J].Acta Electronica Sinica,2011,39(4):899-905.(in Chinese)

[23]胡明娣,王國(guó)俊.對(duì)稱邏輯公式在經(jīng)典邏輯度量空間中的分布[J].電子學(xué)報(bào),2011,39(2):419-423.

Hu Ming-di,Wang Guo-jun.Distribution of the symmetrical logic formulas in the classical logic metric space[J].Acta Electronica Sinica,2011,39(2):419-423.(in Chinese)

[24]王國(guó)俊,段巧林.模態(tài)邏輯中的(n)真度理論與和諧定理[J].中國(guó)科學(xué)(F輯),2009,39(2):234-245.

WANG Guo-jun,DUAN Qiao-lin.Harmonious theorem and (n) truth degrees in model logic[J].Science in China:Information Science,2009,39(2):234-245.(in Chinese)

[25]時(shí)慧嫻,王國(guó)俊.多值模態(tài)邏輯的計(jì)量化方法[J].軟件學(xué)報(bào),2012,23(12):3074-3087.

SHI Hui-xian,WANG Guo-jun.Quantitative method of multi-valued model logic[J].Journal of Software,2012,23(12):3074-3087.(in Chinese)

[26]時(shí)慧嫻,王國(guó)俊.基于有限遷移系統(tǒng)的線性時(shí)態(tài)邏輯的計(jì)量化方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2012,26(5):30-35.

SHI Hui-xian,WANG Guo-jun.A quantitative approach for linear temporal logic based on finite transition system[J].Fuzzy system and Mathematics,2012,26(5):30-35.(in Chinese)

[27]周建仁,吳洪博.R0-蘊(yùn)涵算子所導(dǎo)出的邏輯函數(shù)的特征[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),2014,57(2):235-248.

Zhou Jianren,Wu Hong-bo,Characterizations of logic functions derived by R0-operator[J].Acta Mathematics Sinica,2014,57(2):235-248.(in Chinese)

[28]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001(第三版).

[29]徐新亞.實(shí)變函數(shù)論[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2010.

吳洪博 男,1959年出生,陜西咸陽(yáng)人,四川大學(xué)理學(xué)博士,陜西師范大學(xué)教授,研究方向?yàn)楦裆贤負(fù)渑c模糊邏輯.

E-mail:wuhb @ snnu.edu.cn

王倫磊 女,1991出生,陜西安康人,陜西師范大學(xué)碩士研究生,研究方向?yàn)榉墙?jīng)典數(shù)理邏輯.

Riemann Integral form of Limit of Arithmetic Mean Value of a Function and Its Application in R0Propositional Logic System

WU Hong-bo,WANG Lun-lei

(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an,Shaanxi710119,China)

The Riemann integral form of limit of arithmetic mean value of a non-negative and Riemann integrable function with multiple variables in a bounded closed domain is proposed and proved.Secondly,the existence theorem of limit of generalized truth degree of a formula inn-valued R0propositional logic is obtained.Thirdly,the theory of generalized truth degrees is proposed in continuously valued R0propositional logic by combining of the Riemann integral form of limit of arithmetic mean value of a non-negative and Riemann integrable function with multiple variables in a bounded closed domain and the existence theorem of limit of generalized truth degree of a formula inn-valued R0propositional logic,which provides the foundation for establishing theories of approximate reasoning and generalized integral semantics based on locally finite theory in R0propositional logic.

quantitative logic;Riemann integral;R0propositional logic;locally finite theory;generalized truth degree

2015-01-28;

2015-07-27；責(zé)任編輯：馬蘭英

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61572016,No.11531009);中央高校基本科研業(yè)務(wù)專(zhuān)項(xiàng)資金(No.GK201501001)

O141.1

A

0372-2112 (2016)08-1909-06