陳 偉

(江南大學數(shù)字媒體學院,江蘇無錫 214122)

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一種有效的分段光滑信號逼近方法

陳 偉

(江南大學數(shù)字媒體學院,江蘇無錫 214122)

傳統(tǒng)的Fourier變換, 連續(xù)小波變換等方法在逼近具有分段光滑特性的非連續(xù)信號時, 因Gibbs現(xiàn)象的干擾會產生比較大的誤差. 本文提出了一種有效的分段光滑信號逼近方法. 首先根據(jù)給定信號的分段點位置, 構造一組標準正交分段多項式系, 該函數(shù)系具有正交性, 收斂性及再生性. 然后將信號在該函數(shù)系下進行正交分解及重構, 即可得到該信號的最佳平方逼近結果. 數(shù)值實驗表明, 本文方法比傳統(tǒng)的正交基具有更好的逼近結果.

分段光滑信號；逼近；Gibbs現(xiàn)象；正交表達

電子學報URL:http://www.ejournal.org.cn DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2016.08.033

1 引言

正交變換在信號的逼近, 壓縮, 特征提取等領域具有廣泛的應用, 它的數(shù)學基礎便是正交函數(shù)系. 常見的正交函數(shù)系, 如Fourier變換中的三角基, 多項式空間中的Legendre基, Chebyshev基以及多種小波函數(shù)等, 它們都是連續(xù)的甚至光滑的. 然而, 這些正交基并不適合表達分段光滑信號(即非連續(xù)信號), Gibbs現(xiàn)象(Gibbs現(xiàn)象：用有限項Fourier級數(shù)表達間斷信號時, 在間斷點處會出現(xiàn)波動, 并且這種波動不能因求和的項數(shù)增大而徹底消失).便是其障礙之一. 事實上, 只要是連續(xù)的正函數(shù)系, 其有限個基函數(shù)的線性組合不可能表達間斷函數(shù). 實際應用中, 不可能采用無限計算. 那么, 如果要表達間斷信息, 只有采用非連續(xù)的函數(shù)才有可能. 因此, 為了將正交變換理論引入非連續(xù)信號處理中, 正交分段多項式函數(shù)系(orthogonal piecewise polynomial system, OPPS)便是一種有效的方法.

OPPS的研究可以追溯到Haar函數(shù)[1]和Walsh函數(shù)[2], 它們都是零次多項式. 上世紀八十年代初, 齊東旭與馮玉瑜建立了L2[0,1]上的一類完備OPPS[3], 命名為U-系統(tǒng). 作為Walsh函數(shù)向高次推廣的結果, U-系統(tǒng)是一類真正意義上的OPPS, 也是一類預小波(prewavelet)[4]. 此后, 文獻[5,6]分別構造了與U-系統(tǒng)幾乎等價的OPPS. 2007年, 在U-系統(tǒng)的基礎上, 文獻[7]提出了另一類OPPS, 稱之為V-系統(tǒng), 它是一類有限區(qū)間上的多小波[8]. U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)在復雜幾何信號處理中得到廣泛的應用[9～13].

在本文中, 我們提出了一種新的OPPS的構造方法. 根據(jù)給定的區(qū)間[0,1]上的非均勻層次嵌套剖分, 首先定義一組線性無關函數(shù)組, 該函數(shù)組中的基為截斷單項式. 我們證明了, 當對這組截斷單項式進行Gram-Schmidt正交化后, 結果即為對應非均勻節(jié)點下的OPPS, 它具有正交性, 再生性及收斂性等性質.

2 非均勻層次嵌套剖分

(1)Jn=2n.

圖1顯示了當n=1,2,3,4時的某一組非均勻層次嵌套剖分.

3 非均勻OPPS

3.1 截斷單項式及其性質

那么,

稱為Xn上的截斷單項式函數(shù)系.

證明 由引理1及Vn的定義即得證.

3.2 非均勻正交分段多項式系的構造

證明 將線性無關函數(shù)中的函數(shù)按序排列并記為W1,W2,…,Wj,…,相應的正交化結果記為G1,G2,…,Gj,…,而非均勻OPPS的基函數(shù)為V1,V2,…,Vj,….

當j=1時,可具體驗證G1=W1=V1.

當j=2時,可具體驗證G2=W2=V2.

假定G1=V1,對j=1,2,…,m-1(m≥4)成立,根據(jù)Gram-Schmidt正交化手續(xù),

我們將證明上述事實對j=m時也成立.

因此,

而由于

因此

于是

從而

3.3 非均勻OPPS的性質

本文提出的非均勻OPSS具有若干良好的性質，限于篇幅，這里不加證明地列出它的性質,這些性質是對信號進行有效逼近的保障.

(a)標準正交性：k次非均勻OPPS是L2[0,1]上的標準正交函數(shù)系,即

(b)平方收斂性：若f(x)∈L2[0,1],則

(c)一致收斂性：若f(x)∈C[0,1]，則

(d)再生性：設f(x)是區(qū)間[0,1]上的分段k次多項式函數(shù),且分段點位于Xn{0,1},則f(x)可以用Xn上的k次非均勻OPPS的有限項基函數(shù)線性組合表示,即

Λ為有限的指標集.

3.4 分段光滑信號的非均勻OPPS逼近算法

設f(x)的數(shù)學表達式如下:

那么,f(x)的非均勻OPPS逼近過程如下:

Step 1 根據(jù)定義1及定理1,構造Xn上的k(k≥1)次OPPS.k的取值可由f(x)的復雜程度與逼近精度決定,k的取值越大,逼近精度越高,一般情況下k取3或4已足夠.此時OPPS共有2n(k+1)個基函數(shù),記為V0(x),V1(x),…,V2n(k+1)-1(x).

那么,g(x)即為分段光滑信號f(x)的非均勻OPPS逼近結果.當f(x)為Xn上的分段k次多項式函數(shù),此時g(x)實現(xiàn)了對f(x)的精確逼近,即誤差為零.

4 數(shù)值實驗

4.1 分段光滑信號逼近

例1 設f1(x)為定義在[0,1]區(qū)間上的一個非均勻分段3次多項式函數(shù),表達式如下:

f1(x)=

第三步,得到逼近結果:

可以看出,g1(x)是對f1(x)的精確重構,如圖2(f)所示,該結果也驗證了再生性.

例2 設f2(x)為定義在區(qū)間[0,1]上的一個非均勻分段光滑函數(shù),表達式如下:

f2(x)的圖像見圖3(a).為了定量計算逼近誤差,用1024個采樣點統(tǒng)計近似誤差,即

其中,Sn(f2)表示前n項逼近的結果.使用Fourier，DB2小波與3次U-系統(tǒng)進行逼近的結果及誤差見圖3(b)～(e).最后,我們用3次非均勻OPPS逼近f2(x).計算過程與例1一樣,此不累述.這里只列出逼近系數(shù)αi,i=0,1,…,15及逼近結果g2(x)的數(shù)學表達式.圖3(f)顯示了逼近結果圖像及誤差.可以看出,利用本文提出的非均勻OPPS逼近算法,逼近效果有了較大的提高.

5 結論

現(xiàn)有的正交分段多項式函數(shù)系(OPPS)定義在有限區(qū)間上的均勻剖分節(jié)點上,這種固定的內在結構決定了它們在表達非均勻分段信號時的結果是不理想的.本文提出了一種非均勻OPPS的構造方法,它能根據(jù)給定的非均勻層次嵌套剖分,自動高效地得到相應的非均勻OPPS.該函數(shù)系具有正交性,完備性,再生性及收斂性.數(shù)值實驗表明,本文方法比傳統(tǒng)正交函數(shù)系在分段光滑信號逼近中具有更好的結果.

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陳 偉 男，1986年1月出生于江蘇省寶應縣.2013年獲得澳門科技大學理學博士學位，現(xiàn)為江南大學數(shù)字媒體學院講師，主要研究興趣為小波分析和計算機圖形學.

E-mail:wchen-jdsm@163.com

An Efficient Approximation Method for Piecewise Smooth Signal

CHEN Wei

(SchoolofDigitalMedia,JiangnanUniversity,Wuxi，Jiangsu214122,China)

The truncating Fourier and continue wavelet representation of a discontinuous piecewise smooth signal will introduce an unneglectable error which was named as the Gibbs phenomenon. In this paper, we proposed an effective piecewise smooth signal approximation method. Firstly, a set of normal orthogonal piecewise polynomials was constructed according to the given positions of breaking points, and it has the properties of orthogonality, convergence and reproduction. Then the signal was orthogonal decomposed under this basis and the best square approximation result could be obtained using reconstruction. The numerical experiments show that our method have the higher accuracy approximation results than the other basis.

piecewise smooth signal; approximation; Gibbs phenomenon; orthogonal representation

2015-06-15,

2015-12-28；責任編輯：馬蘭英

國家自然科學基金(No.61170320, No.61272026)；浙江大學CAD&CG國家重點實驗室開放課題(No.A1513，No.A1609)；中央高校基本科研業(yè)務費(No.JUSRP11416)

TP302.4

A

0372-2112 (2016)08-2004-05