曹玉林,王小明,何早波

(1.陜西師范大學計算機科學學院,陜西西安 710062;2.青海師范大學計算機學院,青海西寧 810008)

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移動無線傳感網(wǎng)中惡意軟件傳播的最優(yōu)安全策略

曹玉林1,2,王小明1,何早波1

(1.陜西師范大學計算機科學學院,陜西西安 710062;2.青海師范大學計算機學院,青海西寧 810008)

移動無線傳感器網(wǎng)絡的大規(guī)模應用依賴于建立起應對惡意軟件攻擊的安全策略.一個有效的防護措施就是對傳感器節(jié)點安裝免疫補丁或清除節(jié)點中的病毒.考慮到傳感器節(jié)點的移動特性,根據(jù)傳染病學理論我們建立了惡意軟件傳播的動力學模型.基于此模型提出了以易感節(jié)點免疫比例與感染節(jié)點恢復比例作為優(yōu)化控制變量的最優(yōu)目標函數(shù),使得在任意終止時刻被感染的節(jié)點數(shù)量最少并且實施安全措施成本最小.通過平衡點的穩(wěn)定性分析,得到了惡意軟件傳播與否的閾值.運用龐德里亞金(Pontryagin)極大值原理得到了免疫比例與恢復比例的最優(yōu)控制變量對.仿真結(jié)果表明,該模型對于建立遏制惡意程序在移動無線傳感器網(wǎng)絡中擴散傳播的安全策略具有指導意義.

最優(yōu)控制對;傳染病模型;基本再生數(shù);龐德里亞金極大值原理

電子學報URL:http://www.ejournal.org.cn DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2016.08.012

1 引言

無線傳感器網(wǎng)絡被廣泛應用于各種領(lǐng)域,如智能家居、環(huán)境監(jiān)測等商業(yè)和軍事領(lǐng)域中[1,2].但由于傳感器節(jié)點本身的資源有限,加之使用無線鏈路進行數(shù)據(jù)傳輸,很難構(gòu)建復雜的安全防護機制,因此其安全問題備受關(guān)注.移動無線傳感器網(wǎng)絡中節(jié)點除了具有傳統(tǒng)靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡節(jié)點的感知、計算、存儲和通信能力外,還具有一定的移動特性.由于節(jié)點的動態(tài)移動,節(jié)點間拓撲結(jié)構(gòu)也隨時間變化而改變,因此其安全性面臨更多的挑戰(zhàn).當前針對無線傳感網(wǎng)的攻擊行為復雜多樣,包括蠕蟲攻擊、后門木馬及惡意程序等.本文將主要研究惡意程序這種能快速傳播并引起嚴重危害的攻擊形式.惡意代碼在節(jié)點的相互通信中不斷擴散傳播,一旦惡意代碼注入傳感器節(jié)點中,其損耗節(jié)點的電量,阻塞通性信道,甚至破壞數(shù)據(jù)的完整性[3].因此,如何阻止、控制惡意軟件的進一步傳播成為一個關(guān)鍵的問題.

目前,傳感器網(wǎng)絡中的安全問題已形成一個激烈的研究領(lǐng)域[4,5].基于經(jīng)典的Kermack-Mckendrick模型的傳染病模型已經(jīng)被廣泛地用于分析有線網(wǎng)絡中惡意軟件的傳播,近來在無線網(wǎng)中的應用日趨明顯.通過仿真并結(jié)合實際數(shù)據(jù)做出的分析表明當網(wǎng)絡中節(jié)點的數(shù)量足夠大時,傳染病模型能夠有效地描述惡意軟件的動態(tài)傳播.同時,時空馬爾科夫鏈、元胞自動機[6～8]也被廣泛地應用于模擬無線傳感網(wǎng)中惡意程序的傳播.文獻[6]結(jié)合傳染病模型與損耗方程研究了惡意程序的攻擊行為.其中以節(jié)點通信半徑與媒介掃描速率作為優(yōu)化控制變量,探討了病毒的最大攻擊行為.文獻[7]利用馬爾科夫隨機域研究連鎖網(wǎng)中惡意軟件的傳播.文獻[8]基于元胞自動機,分析了病毒在多跳廣播協(xié)議下的傳播行為.然而,當前的絕大多數(shù)研究成果并沒有給出優(yōu)化的病毒防范策略.文獻[9]研究了有限網(wǎng)絡中對易感主機進行動態(tài)隔離的啟發(fā)式策略.有趣的是,基于Pontryagin極大值原理的優(yōu)化控制理論還很少被用于分析網(wǎng)絡中的安全策略問題.在本文中,解決這樣一個問題,即如何優(yōu)化地組合對易感節(jié)點的免疫比例與對感染節(jié)點的恢復比例,從而使得實施免疫與恢復的成本最小且被惡意軟件感染的節(jié)點數(shù)量最少.

通過安裝安全補丁可以對惡意程序的進攻進行反擊,一是通過修復節(jié)點潛在的漏洞來免疫易感染節(jié)點,二是通過治愈已感染節(jié)點從而清除病毒[10,11].然而,持續(xù)性地給節(jié)點安裝免疫包以及高強度的病毒查殺將很大程度上占用有限的通信信道,消耗節(jié)點電量,這將加大數(shù)據(jù)延遲及縮短網(wǎng)絡的生命周期.同時,對大規(guī)模的傳感網(wǎng)而言,安裝安全補丁將耗費大量的人力財力.因此迫切需要一個優(yōu)化的安全防御策略,使得不但能夠有效地控制惡意軟件的擴散傳播又使得安全措施的成本最小.

首先用隨機方向移動模型來描述節(jié)點的移動行為,確切地刻畫惡意程序在移動環(huán)境下的傳播性態(tài).其次,基于傳染病模型構(gòu)建微分方程模型,有效地描述病毒在網(wǎng)絡中傳播的時空動力學行為.通過對微分方程模型的穩(wěn)定性分析得到?jīng)Q定惡意軟件持續(xù)傳播與否的閾值,基于此可構(gòu)建相應強度的安全措施,使得在一定時刻感染節(jié)點數(shù)量最少且安全策略成本最少的目標函數(shù),運用龐德里亞金極大值原理[12],得到了易感節(jié)點免疫比例及感染節(jié)點恢復比例的最優(yōu)控制對.

2 網(wǎng)絡模型

為了維持網(wǎng)絡的正常生命周期,新的節(jié)點被持續(xù)地加入網(wǎng)絡中(假設(shè)新加入的為易感節(jié)點),加入率為b.由于傳感器節(jié)點依靠電池供給能量并且一般配置在惡劣環(huán)境,無人區(qū)或敵方陣地中,我們假設(shè)節(jié)點的死亡率也為b,因此網(wǎng)絡中的活節(jié)點數(shù)量維持在一個常數(shù)N.用S(t),I(t),R(t)分別表示易感節(jié)點(Susceptible),感染節(jié)點(Infected),免疫節(jié)點(Recovered)在任意t時刻的比例.顯然有:S(t)+I(t)+R(t)=1.

只有節(jié)點相互接觸,即在彼此的通信范圍內(nèi)時,才能進行數(shù)據(jù)傳輸.在隨機方向移動模型下,一個感染節(jié)點在單位時間t內(nèi)能夠接觸到的易感節(jié)點數(shù)記為Cs(t),對于Cs(t),有如下定理.

定理1 在隨機方向移動模型中,單位時間t內(nèi)一個感染節(jié)點能夠接觸到的易感節(jié)點數(shù)為:

(1)

然而,易感節(jié)點進入感染節(jié)點的通信范圍并非意味著惡意軟件能夠成功傳播.感染節(jié)點并不熟知網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu),即易感節(jié)點的空間位置及鄰居節(jié)點的狀態(tài)信息.因此感染節(jié)點以概率ρ不斷發(fā)送探測包來搜尋通信范圍內(nèi)的易感節(jié)點.該探測包耗費少量的網(wǎng)絡資源并且經(jīng)過偽裝而不易被易感節(jié)點辨別.一旦感染節(jié)點發(fā)現(xiàn)目標易感節(jié)點,便將偽裝注入惡意代碼的消息發(fā)送給目標易感節(jié)點,從而該易感節(jié)點被感染而轉(zhuǎn)換為感染節(jié)點.我們假設(shè)消息的傳輸(感染)過程是一個瞬時行為.由于通信信道擁塞、節(jié)點的物理損害及電量耗盡等意外情形致使探測包及病毒包未必能成功傳送.為刻畫這種消息潛伏,引入變量消息成功遞交率α.鑒于上述討論,可得被感染節(jié)點成功感染的易感節(jié)點的比例η為:

η=αρ

(2)

因此在單位時間tunit內(nèi),被惡意程序成功感染的節(jié)點數(shù)量Ns(t)為:

Ns(t)=Cs(t)η

(3)

用p(t)、q(t)分別表示在時刻t被免疫的易感節(jié)點與被清除病毒的感染節(jié)點的比例.為簡便起見,用S,I,R,D、p和q分別表示S(t),I(t),R(t),D(t),p(t)和q(t).節(jié)點間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1所示.

3 模型的建立與分析

3.1 模型的建立

根據(jù)圖1所示的節(jié)點間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系,建立如下的SIR傳染病模型.隨時間的推移,S(t),I(t),R(t)收斂于如下微分方程組的解:

(4)

其中t∈[0,tf].當t=0時,有I(0)>0,S(0)>0 以及R(0)=1>I(0)>S(0).

3.2 平衡點存在性分析

為了進一步研究惡意程序傳播的動力學性態(tài),需要探討微分系統(tǒng)(4)的平衡解及其穩(wěn)定性.由微分方程穩(wěn)定性定理[14,15],系統(tǒng)(4)的無病平衡解是指當存活的感染節(jié)點全部轉(zhuǎn)換為恢復節(jié)點時,(S,I,R)收斂的穩(wěn)定值.此時有I=0.如果系統(tǒng)(4)存在無病平衡解且該解是全局穩(wěn)定的,那么病毒將最終消亡.系統(tǒng)(4)的正平衡解即三類節(jié)點共存時系統(tǒng)收斂的穩(wěn)定值,若正平衡解存在且該解全局穩(wěn)定,這意味著在當前的網(wǎng)絡環(huán)境以及安全措施作用下,病毒將持續(xù)傳播.如前所述,在任意時刻t,總有:

S+I+R=1

(5)

顯然,當?shù)玫饺我鈺r刻t時S與I的值后,由式(5)可得t時刻R,因此,只需考慮如下的簡化系統(tǒng):

(6)

對于系統(tǒng)(6)平衡解的存在性,首先引入?yún)?shù)R0,R0=bλ/((p+b)(q+b)),有定理2.

定理2 當R0<1時,系統(tǒng)(6)有唯一的無病平衡解;當R0>1時,系統(tǒng)(6)無病平衡解與正平衡解同時存在.

證明 令系統(tǒng)(6)右部等于零,由系統(tǒng)(6)的2式可得I0=0或S+=(q+b)/λ.把I=0代入系統(tǒng)(6)的1式中,可得無病平衡解E0(S0,I0),其中S0=b/(p+b),I0=0.也即E0始終是系統(tǒng)(6)的零解.把S+=(q+b)/λ代入系統(tǒng)(6)的1式中,可得:

(7)

由式(7)可見,當且僅當R0>1時,有I+>0,即此時正平衡解與無病平衡解共存.

3.3 局部穩(wěn)定性分析

平衡解E0,E+的局部穩(wěn)定性,有定理3.

定理3 在惡意軟件的傳播過程中,若R0<1,無病平衡解E0是局部漸進穩(wěn)定的.

證明 為探討系統(tǒng)(6)在平衡點E*(S*,I*)處的穩(wěn)定性,其中,E0,E+∈E*,將系統(tǒng)(6)線性化,線性化結(jié)果如式(8)所示.

(8)

系統(tǒng)(8)的參數(shù)對應于系統(tǒng)(6)的Jacobian矩陣如式(9)所示:

(9)

則在無病平衡點處對應的Jacobian矩陣為:

(10)

由式(10),tr(E0)=J11+J22=-(p+b)-(q+b)+(bλ)/(p+b),det(E0)=J11J22-J12J21=-bλ+(p+b)(q+b).

當R0<1時,總有tr(E0)<0,det(E0)>0,則由Lyapunov穩(wěn)定性判定準則[15],當且僅當R0<1時,無病平衡解E0是局部漸進穩(wěn)定.

定理4 在惡意軟件的傳播過程中,若R0>1,正平衡解E+是局部漸進穩(wěn)定的.

證明 由式(9)可得系統(tǒng)(6)在正平衡點E+處的Jacobian矩陣為:

(11)

由式(11),tr(E+)=J11+J22=-bλ/(q+b),det(E+)=bλ-(p+b)(q+b).tr(E+)<0顯然成立,當R0>1,有det(E+)>0.則由Lyapunov穩(wěn)定性判定準則[15],當且僅當R0>1時,正平衡解E+是局部漸進穩(wěn)定的.值得指出的是R0=1是一個關(guān)鍵的臨界情況,其可視為在E0與E+間跨臨界的分叉點.也即R0為我們的病毒防治措施提供了量化的參考.

3.4 全局穩(wěn)定性分析

定理5 如果R0≤1,則無病平衡解E0是全局漸進穩(wěn)定的.

證明 當R0≤1時,系統(tǒng)(6)只存在無病平衡點E0.由Lyapunov穩(wěn)定性定理[15],構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(S,I)為V(S,I)=εI.其中我們設(shè)ε=1/(q+b).由于在時間趨于無窮時,無病平衡解保證了S≤S0=b/(p+b),則V函數(shù)對時間的全導數(shù)為:

=ε(λSI-qI-bI)

=(R0-1)I

≤0

則由Lyapunov穩(wěn)定性判定準則,E0是全局漸進穩(wěn)定的,這意味著病毒將最終消亡.

定理6 若R0>1,則正平衡點E+是全局穩(wěn)定的.

=(S-S+)(λS+I++pS++bS+-λSI-pS-bS)

=(S-S+)(-p(S-S+)-b(S-S+)-λ(SI-S+I+))

+λε(I-I+)(S-S+)

=-(p+b)(S-S+)2-λS+(I-I+)(S-S+)

-λI(S-S+)2+λε(I-I+)(S-S+)

=-(λI+p+b)(S-S+)2+λ(ε-S+)(I-I+)

≤0

則由Lyapunov穩(wěn)定性判定準則,E+是全局漸進穩(wěn)定的,這意味著病毒將持續(xù)存在.

3.5 最優(yōu)控制

在實際生活中,針對傳染病采取的防控措施一種是提前對易感個體進行接種免疫;另一種是針對感染個體進行治療.考慮到這兩種措施的免疫費用分別與對應個體數(shù)量有關(guān),我們將選取易感節(jié)點免疫比例p(t)及感染節(jié)點病毒查殺比例q(t)作為控制變量(0≤p(t)≤1,0≤q(t)≤1).目標是既要有效地控制病毒的擴散傳播,又要使得對傳感器節(jié)點實施免疫及病毒查殺的成本在經(jīng)濟上是可行的.因此建立如下目標函數(shù):G(p,q)

(12)

其中c1是實施免疫操作的成本參數(shù),其與免疫補丁的開發(fā)與安裝過程,安裝免疫補丁所耗費的網(wǎng)絡資源等相關(guān),c2是實施病毒查殺操作的成本參數(shù),其與病毒掃描軟件的開發(fā)與運行以及所耗費的網(wǎng)絡資源等相關(guān),tf表示本文優(yōu)化控制研究的時刻.優(yōu)化控制變量p(t),q(t)的可行域為:U={(p(t),q(t))|0≤p(t)≤1,0≤q(t)≤1,t∈[0,tf]}.基于實際情況,安全措施的綜合成本是p(t)S(t)與q(t)I(t)的非線性函數(shù),因此將成本函數(shù)取為二次項形式.所以積分項c1p2(t)S2(t)與c2q2(t)I2(t)分別描述了免疫與殺毒的成本.式(12)表示要通過控制p(t)和q(t),使得在tf時刻感染節(jié)點I(tf)數(shù)量最少,且在開始時刻到tf時刻控制免疫的成本費用最少.因此我們優(yōu)化控制目標便轉(zhuǎn)化為在U內(nèi)尋找使得目標函數(shù)(12)取得最小值的最優(yōu)控制對(p*(t),q*(t)).我們應用龐德里亞金極大值原理解決該優(yōu)化問題,首先根據(jù)該原理構(gòu)造哈密頓函數(shù)如下:

H=c1p2(t)S2(t)+c2q2(t)I2(t)

+β1(t)(b-λSI-p(t)S-bS)

+β2(t)(λSI-q(t)I-bI)

(13)

其中,β1(t),β2(t)為協(xié)態(tài)變量,為表述簡單,分別用β1,β2表示.由龐德里亞金極大值原理,可得協(xié)態(tài)變量微分方程組:

(14)

其中t∈[0,tf].由目標函數(shù)式(12)可見,在終端時刻tf,我們的優(yōu)化目標在于I(tf),S(tf) 并未出現(xiàn),所以可得橫截條件如下:

β1(tf)=0,β2(tf)=1

(15)

由龐德里亞金極大值原理,可得優(yōu)化條件:

(16)

由式(16)可得:

(17)

如前所述,p(t)與q(t)是0到1之間的變量,所以最終可得優(yōu)化控制對如下:

(18)

4 參數(shù)設(shè)置與仿真分析

首先設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)如表1.

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

由表1給出的參數(shù),我們可得病毒感染率λ=0.8640.由定理2與3可知,病毒最終消亡與否取決于基本再生數(shù)R0.用Matlab求解上述最優(yōu)控制下的微分方程模型.具體求解方法為前推回代法,首先給優(yōu)化控制變量p,q一個初始猜測值,然后用龍格庫塔(Runge-Kutta)法求解微分方程組即系統(tǒng)(6)狀態(tài)變量的數(shù)值解.再用求得的狀態(tài)變量值以及優(yōu)化變量初始值,對協(xié)態(tài)變量微分方程組即系統(tǒng)(16)進行反向積分求出協(xié)態(tài)變量的數(shù)值解,最后根據(jù)式(18)求出優(yōu)化控制變量的值直到該值收斂.

假設(shè)仿真終止時間tf=100,免疫與恢復成本參數(shù)分別設(shè)為c1=1,c2=2.則在目標函數(shù)式(12)的約束下,優(yōu)化變量結(jié)果如圖2所示.對應于圖2優(yōu)化變量作用下的基本再生數(shù)R0如圖3所示.

由圖2可見,在安全防范措施的前期,我們應對易感節(jié)點的免疫為主,對感染節(jié)點的病毒清除為輔.因為如前所述病毒清除成本c2大于感染節(jié)點免疫成本,這有效地控制了整個安全措施的成本.在后期,由于我們的目標是最終控制感染節(jié)點數(shù)量達到最小,因此對病毒的查殺清除強度應有所提高.圖2的物理形態(tài)不僅與實際吻合,最關(guān)鍵的是提供了具體免疫與查殺比例的最優(yōu)組合.

由圖3可見,在優(yōu)化控制作用下,基本再生數(shù)R0在一段時間內(nèi)值大于1,即正平衡點是始終存在且全局穩(wěn)定,這意味著病毒在該時間段內(nèi)仍呈擴散傳播的趨勢.然后在一段時間內(nèi)R0開始小于1,無病平衡點全局穩(wěn)定,這意味著病毒呈消亡趨勢.我們的優(yōu)化目標之一是使得染病節(jié)點在末端時刻數(shù)量達到最小.在優(yōu)化的安全措施下,三類節(jié)點的變化情況如圖4所示.

優(yōu)化目標之二是使惡意軟件的擴散傳播在可控的范圍內(nèi)并且安全措施的成本最小,這種成本包括安裝安全包時占用通信信道、損耗節(jié)點的電量或者是安全包的開發(fā)維護傳播等.作為對比,我們探討一下在相同的時間內(nèi)、控制染病節(jié)點數(shù)量低于相同閾值時,不采取優(yōu)化措施下的成本.為保持在tf=100時,染病節(jié)點數(shù)量達到與優(yōu)化作用下相同,我們有p=0.1,q=0.3,此時R0=0.8229<1,即病毒將最終消亡,其他參數(shù)不變.則非優(yōu)化控制作用下(固定的免疫比例與恢復比例)三類節(jié)點變化情況如圖5所示.

通過式(12)計算目標函數(shù)值可得在優(yōu)化作用下J=5.01443,在非優(yōu)化作用下可得J=149.2297.可見,最優(yōu)策略下,不但有效地控制了病毒的擴散傳播且使得安全策略的成本最小.

5 結(jié)束語

本文研究了在移動無線傳感網(wǎng)中,通過優(yōu)化組合易感節(jié)點免疫比例與感染節(jié)點恢復比例從而使得實施安全防護的成本最小,并且被惡意軟件感染的節(jié)點數(shù)量最少的最優(yōu)安全策略.結(jié)合節(jié)點的隨機移動模型,應用傳染病學理論建立了惡意軟件擴散傳播的微分方程模型.通過分析模型的平衡點及其穩(wěn)定性得到了病毒持續(xù)傳播與否的閾值,應用龐德里亞金極大值原理得到了滿足目標函數(shù)的最優(yōu)控制對.仿真結(jié)果表明相比于傳統(tǒng)的常數(shù)比例安全策略,基于優(yōu)化控制的免疫恢復策略提供了可量化的參考值,其不但有效地控制了病毒的擴散傳播且使得成本達到最小.

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曹玉林 男,1970年8月生,青?；∪?教授、CCF高級會員.1994年、2006年分別在青海師范大學和西北工業(yè)大學獲理學學士和工學碩士.現(xiàn)為陜西師范大學博士,主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡、社會網(wǎng)絡、機會網(wǎng)絡.

E-mail:caoyulin@126.com

王小明 男,1964年生,甘肅天水人.教授,博士生導師.現(xiàn)為陜西師范大學計算機科學學院院長,主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡、機會網(wǎng)絡等.

E-mail:wangxm@snnu.edu.cn

何早波 男，1988年8月生,陜西漢中人.2014年畢業(yè)于陜西師范大學計科院獲工學碩士,現(xiàn)為美國佐治亞州立大學博士.

E-mail:hezaobo@126.com

Optimal Security Strategy for Malware Propagation in Mobile Wireless Sensor Networks

CAO Yu-lin1,2,WANG Xiao-ming1,HE Zao-bo1

(1.SchoolofComputerScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an,Shaanxi710062,China;2.DepartmentofComputerScience,QinghaiNormalUniversity,Xining,Qinghai810008,China)

It is imperative to take reliable measures against outbreaks of malware to enable large-scale application of mobile wireless sensor networks (MWSNs).An effective measure is through dissemination of security patches to immunize or heal the nodes.Considering the mobile behavior of nodes,a malware propagation dynamic model is proposed based on epidemic theories.We formulate an optimal objective function subject to this model with immunization and heal proportion as optimal control variables.Our goal is to minimize the cost of the two measures and the number of infected nodes.Through stability analysis of equilibrium,we find the threshold whether a malware propagates or dies out.We used Pontryagin’s maximum principle to obtain the optimal levels of the two controls.Simulation results show that the model play a significant role in building up the strategies of preventing malware from propagation in MWSNs.

optimal control pair;epidemic model;basic reproduction number;Pontryagin’s maximum principle

2015-05-29;

2015-11-22;責任編輯:李勇鋒

國家自然科學基金(No.61373083,No.61363080)

TP393

A

0372-2112 (2016)08-1851-07