徐 兵，尹冠生，佘 斌，徐桂中

(1.鹽城工學(xué)院，江蘇：鹽城 224051；2.長安大學(xué)，陜西 西安 710064)

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基于有限元方法的材料力學(xué)教學(xué)方法改革研究

徐 兵1，尹冠生2，佘 斌1，徐桂中1

(1.鹽城工學(xué)院，江蘇：鹽城 224051；2.長安大學(xué)，陜西 西安 710064)

本文擬在材料力學(xué)課程教學(xué)中引入有限元軟件作為輔助教學(xué)手段，通過有限元技術(shù)將抽象的力學(xué)概念利用圖形和動(dòng)畫給學(xué)生直觀展示，促進(jìn)其對于力學(xué)概念的掌握；通過設(shè)計(jì)合理的課堂演示實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過學(xué)生自主調(diào)整計(jì)算參數(shù)的手段，借助有限元軟件可以開展自主學(xué)習(xí)、甚至初步科學(xué)研究工作。

材料力學(xué)； 有限元；教學(xué)方法；教學(xué)改革

作為土木工程、機(jī)械工程等工科專業(yè)的學(xué)生，材料力學(xué)是一門必須學(xué)習(xí)和掌握的課程，通過材料力學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是所有力學(xué)課程中材料力學(xué)的概念最多、內(nèi)容要求最高的一門課程，初次接觸材料力學(xué)的學(xué)生往往抱怨。并且，由于材料力學(xué)所研究的內(nèi)容多涉及內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等抽象虛幻，一般物理現(xiàn)象所不能直觀的表現(xiàn)，使得同學(xué)們的學(xué)習(xí)難度加大[1-3]。

有限元技術(shù)是一種結(jié)合力學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等多學(xué)科的一種新興的科學(xué)技術(shù)，在科學(xué)研究領(lǐng)域有著良好的應(yīng)用，其通過計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等方法，可以將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)借助于圖形或者圖表的方式直觀的展示給用戶[4，5]。通常在工程應(yīng)用中需要借助于有限元工具計(jì)算出結(jié)構(gòu)或者材料的應(yīng)力、應(yīng)變、能量、溫度、速度等變化規(guī)律。這和材料力學(xué)的研究內(nèi)容不謀而合。在教學(xué)中采用有限元程序或者相關(guān)軟件軟件，可以將材料力學(xué)中抽象的應(yīng)力應(yīng)變位移等數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為生動(dòng)的圖形圖像動(dòng)畫，有助于提高學(xué)生的形象思維能力，幫助學(xué)生理解和掌握課本內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力[6-9]。

1 材料力學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容

教育部高等學(xué)校理工科非力學(xué)專業(yè)力學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求中指出：材料力學(xué)是變形體力學(xué)的重要基礎(chǔ)分支之一，是一門為設(shè)計(jì)工程實(shí)際構(gòu)件提供必要理論基礎(chǔ)的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，也是一門理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的課程。材料力學(xué)的任務(wù)是研究桿件在承受各種荷載時(shí)的變形等力學(xué)性能。通過學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生掌握將工程實(shí)際構(gòu)件抽象為力學(xué)模型的方法；掌握研究桿件內(nèi)力、應(yīng)力、變形分布規(guī)律的基本原理和方法；掌握分析桿件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題的理論與計(jì)算；具有熟練的計(jì)算能力和一定的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?；為后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)，以及進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計(jì)和科學(xué)研究打好力學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)構(gòu)件分析、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等方面的能力[10]。

在對于學(xué)生能力培養(yǎng)方面指出要培養(yǎng)學(xué)生的：1)建模能力：具有建立工程構(gòu)件力學(xué)模型的能力，能夠根據(jù)具體問題選擇合理的計(jì)算模型；2)計(jì)算能力：具有對桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題的計(jì)算能力，并對計(jì)算結(jié)果的合理性進(jìn)行定性判斷的能力；3)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ?)自學(xué)能力[10]。

與此同時(shí)伴隨科技進(jìn)步和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，更多的新材料和新方法被引入到力學(xué)領(lǐng)域，尤其傳統(tǒng)力學(xué)在新材料領(lǐng)域的應(yīng)用。因此，在新時(shí)期的材料力學(xué)教學(xué)除去經(jīng)典力學(xué)理論的講解力學(xué)的基本概念外，還需要結(jié)合現(xiàn)有材料科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，尤其是新型材料的力學(xué)性質(zhì)，將力學(xué)教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)行有目的拓展。同時(shí)，由于不同行業(yè)、國家或者地區(qū)對于材料力學(xué)性能都編有各自使用的材料力學(xué)性能相關(guān)規(guī)范或者規(guī)程，在教學(xué)尤其是面向應(yīng)用型本科教學(xué)過程中，尤其要注意教學(xué)和行業(yè)的結(jié)合[11]。

2 有限元方法的基本內(nèi)容

有限元計(jì)算方法是一種新型的計(jì)算方法和手段，可以用圖形化的手段，直觀的展示在外部荷載作用條件下結(jié)構(gòu)或者材料的各種應(yīng)力、應(yīng)變、反力、位移、能量的數(shù)值及變化過程[4]。圖1為常規(guī)有限元分析流程。通過建模賦值等手段，可以將現(xiàn)實(shí)的工程問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。將有限元方法引入到教學(xué)，是一種創(chuàng)新。尤其在材料力學(xué)的教學(xué)中可以借助有限元這一手段，將書本中生澀的概念直觀的展示給學(xué)生，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)自主能動(dòng)性。

圖1 有限元計(jì)算流程

有限元工具的應(yīng)用，可以完成力學(xué)教學(xué)中的計(jì)算，得出較為準(zhǔn)確的近似解答。其過程和結(jié)果可以直接應(yīng)用到講稿、多媒體中。并且通過該手段，可以省去數(shù)學(xué)計(jì)算的過程，在教學(xué)中突出強(qiáng)調(diào)力學(xué)概念和力學(xué)方法。培養(yǎng)學(xué)生對于力學(xué)課程的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)并鍛煉其動(dòng)手能力。

3 教學(xué)改革案例介紹

3.1 材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系學(xué)習(xí)及其研究

材料拉伸是材料力學(xué)中較為經(jīng)典的研究內(nèi)容，對于在拉力作用下材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式如下[12]：

σ=Eε

(1)

授課時(shí)，可以先建立有限元模型及分析結(jié)果如下圖：

圖2 拉伸試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

圖3 拉伸變形示意圖

圖3為計(jì)算結(jié)果云圖，其中色彩的不同代表的數(shù)值大小不一樣，按照有藍(lán)到紅的規(guī)律由小到大。為了方便觀察，其變形值被放大了5 000倍。此外，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)件邊緣位置應(yīng)力分布不均勻，此時(shí)可以結(jié)合課本中圣維南原理[10]解釋造成這種不均勻的原因。計(jì)算中材料尺寸20 mm*4 mm，網(wǎng)格數(shù)量為20*4。變換外力和材料彈性模量后計(jì)算結(jié)果如表1、表2所示：

表1 參數(shù)變換后應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

變換外力后有限元計(jì)算得到材料承受的應(yīng)力2，其和理論應(yīng)力1之間存在有一定的誤差。這是由于有限元計(jì)算只是一種近似計(jì)算的方法，其計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值之間有一定的差距。但是通過表格1，發(fā)現(xiàn)其相對誤差率最大為-0.011 4%，因此這樣的一種由于算法的近似性所引起的誤差在進(jìn)行材料力學(xué)理論講解中可以忽略。

表2 參數(shù)變換后有限元計(jì)算結(jié)果

注：1.表中應(yīng)力應(yīng)變皆為有限元計(jì)算結(jié)果，彈模計(jì)算值由公式 所得。 2.相對誤差為彈模計(jì)算值和彈模輸入值的差值比率；

通過表1、表2發(fā)現(xiàn)在允許的誤差范圍內(nèi)，有限元計(jì)算的結(jié)果是可靠的。同時(shí)將表格2的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制圖形后發(fā)現(xiàn)：1)在彈性模量不變的前提下，隨著外力的增加應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈直線變化即與公式(1)中的現(xiàn)行變化關(guān)系成對應(yīng)；2)彈性模量的不同引起的是應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中直線斜率的不同。

圖4 計(jì)算得應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖

3.2 梁的彎曲正應(yīng)力

彎曲是一種最為常見的受力形態(tài)，構(gòu)建發(fā)生彎曲，必然產(chǎn)生彎曲正應(yīng)力，其材料力學(xué)公式為[12]：

(2)

按照梁單元特征建立有限元模型并進(jìn)行分析，其計(jì)算云圖如圖5所示。

圖5 彎曲試驗(yàn)?zāi)Ｐ图胺抡嬖茍D

其計(jì)算截面為8 mm*20 mm，長度為200 mm，輸入彈模為2.06e11 Pa，輸入彎矩為2 N·m，經(jīng)過計(jì)算可得邊緣處最大拉應(yīng)力為：

而有限元計(jì)算結(jié)果中最大拉應(yīng)力為0.00 364 MPa，兩者誤差不超過1%，認(rèn)為有限元計(jì)算結(jié)果有效。

由圖5-c-2圖5-d-2中提取構(gòu)件應(yīng)力和應(yīng)變并應(yīng)用公式(1)計(jì)算結(jié)構(gòu)彈模時(shí)發(fā)現(xiàn)彎曲模型中各處彈模一致，從而驗(yàn)證了各項(xiàng)同性材料在變化過程中各點(diǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律這一基本特征。

由于計(jì)算中梁的橫截面為矩形截面，并且所選用的材料為各向同性的均值材料，截面是一個(gè)嚴(yán)格的中心對稱截面，因此梁的中心軸在梁的幾何中心。對比彎曲應(yīng)力圖或者彎曲應(yīng)變圖可以發(fā)現(xiàn)，梁的應(yīng)力分布是關(guān)于中性軸對稱的，其應(yīng)力大小與距離中性軸的距離y是成正比的。

表3 彎曲模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

在授課過程中可以要求學(xué)生變換截面尺寸、截面形式、彈性模量、荷載類型等進(jìn)行練習(xí)。并在此基礎(chǔ)上，可以有針對性進(jìn)行新型材料的抗彎模擬實(shí)驗(yàn)，并可將理論計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。從而達(dá)到對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，鍛煉其動(dòng)手能力和積極進(jìn)取的主動(dòng)性。

4 結(jié) 論

以往被用于科學(xué)計(jì)算的有限元技術(shù)引入到材料力學(xué)課程的教學(xué)中是一種教學(xué)方法上的創(chuàng)新，通過有限元技術(shù)的使用可以使得學(xué)生掌握科學(xué)計(jì)算的一般流程和一般方法，為以后的深入研究工作打好基礎(chǔ)。通過有限元技術(shù)在材料力學(xué)課程的深度應(yīng)用，可以得到如下結(jié)論：

1)通過有限元計(jì)算結(jié)果，可以直觀的展示材料力學(xué)的研究內(nèi)容如應(yīng)力、應(yīng)變、能量、變形等。將這些生澀的概念直觀的用圖形的方法展示，可以給學(xué)生以視覺沖擊，改變傳統(tǒng)力學(xué)課程在學(xué)生心中的枯燥無味的印象[6-9]。

2)有限元仿真中無需進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)，課本中就能找到常規(guī)材料的計(jì)算參數(shù)，因此在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可以自主設(shè)計(jì)計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算，并且有限元計(jì)算結(jié)果可以很好的和書本中的相關(guān)理論進(jìn)行驗(yàn)證。通過這樣的過程進(jìn)一步鞏固了學(xué)生對于書本中知識的掌握程度，鍛煉了其動(dòng)手實(shí)踐能力。

3)通過材料力學(xué)課程和有限元軟件的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以自主設(shè)計(jì)計(jì)算實(shí)驗(yàn)，甚至是進(jìn)行材料的力學(xué)性能研究工作，只需獲取計(jì)算必須的材料參數(shù)，其受力狀態(tài)和受力性能以及受力后的變化過程都能夠被很好的模擬出來。從而激發(fā)學(xué)生對于自主學(xué)習(xí)研究的興趣，為以后的進(jìn)一步科學(xué)研究工作打下基礎(chǔ)。

4)由于本科學(xué)生能力的不同，將有限元引入教學(xué)，需要教師對有限元技術(shù)提前做好準(zhǔn)備，設(shè)計(jì)合理的有限元分析演示實(shí)驗(yàn)。并且做好相應(yīng)的有限元計(jì)算模板，使學(xué)生只需修改少量參數(shù)，即可完成相關(guān)實(shí)驗(yàn)。

[1] 宋曦,楊靜寧.工科專業(yè)材料力學(xué)教學(xué)創(chuàng)新的探索與實(shí)踐[J].力學(xué)與實(shí)踐，2010：2.

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[12] 劉鴻文.材料力學(xué)(第五版)[M].北京：高等教育出版社，2013.

Teaching Method Research on Material Mechanics by FEA Method

XU Bing,YIN Guan-sheng,SHE Bin,XU Gui-zhong

(1.Yancheng Institute of Technology,Jiangsu Yancheng 224051；2.Chang’an University,Shaanxi Xi’an 710064)

It introduces FEA software in Material Mechanics teaching as a auxiliary methods.By the using of FEA methods,teachers could display the mechanical concepts directly with graphics and animates,and could promote the students grasp the concepts.It can improve the students’ interest in learning by the reasonable classroom experiment.By adjusting the parameters in the FEA software,the students can carry out autonomous learning,and even the preliminary scientific research.

material mechanics；teaching method；FEA；educational reform

2016-04-27

江蘇省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(PPZY2015C218)；鹽城工學(xué)院開放課程項(xiàng)目(KFKC201508)；鹽城工學(xué)院自主學(xué)習(xí)課程項(xiàng)目(22kc201460)

1007-2934(2016)05-0133-04

G 642.0

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.034