江蘇省無錫市梅里中學(xué) 陳曉靚

數(shù)學(xué)能力的提升源于質(zhì)疑

江蘇省無錫市梅里中學(xué) 陳曉靚

初三數(shù)學(xué)教師，離不開找題，看題，解題。最近，在看這兩年的數(shù)學(xué)中考試題時，偶然間發(fā)現(xiàn)2014年連云港數(shù)學(xué)中考試卷的第27題，此題是中考壓軸題，難度較大，解題難點(diǎn)在于分析動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式運(yùn)算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點(diǎn)。此題是一道考查研究意識、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的好題。

原題再現(xiàn)：某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8。

問題思考：

如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF。

圖1

圖2

圖3

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值。

（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由。

問題拓展：

（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且PQ=8。若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長。

（4）如圖3，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值。

初解質(zhì)疑：第一次解這題時，發(fā)現(xiàn)本題第（3）問略有漏洞，即沒有提到點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，這樣一來可能出現(xiàn)PQ=8時，但小于正方形邊長的情況，此時當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)P還沒有運(yùn)動到B點(diǎn)，還有一小段的平移，而PQ的中點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡也應(yīng)有一小段線段才對。這難道是出題不嚴(yán)謹(jǐn)？

再解迷惑：當(dāng)我再次閱讀題干時發(fā)現(xiàn)，某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8，而第三小題中以AB為邊作正方形ABCD，動點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且PQ=8，此PQ=8應(yīng)為定長，運(yùn)動開始時，點(diǎn)Q也有可能在B點(diǎn)處（不看圖的話），與點(diǎn)Q在D處中點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長是相等的，沒有圖的話，甚至PQ保持平行于正方形的邊運(yùn)動的情況也存在。所以我覺得加上“Q點(diǎn)隨著P點(diǎn)逆時針方向運(yùn)動”的條件較為嚴(yán)密。

研討解惑：遇到此問題后，與老教師研討，深受啟發(fā)。覺得加上“Q點(diǎn)隨著P點(diǎn)逆時針方向運(yùn)動”的條件沒有必要，這種動點(diǎn)問題不要擅自加上X時針方向運(yùn)動，反而顯得題目不夠嚴(yán)謹(jǐn)，其中，“如圖”也是一個至關(guān)重要的條件，我覺得十分有道理。

思考提升：受到點(diǎn)撥啟發(fā)之后，我覺得借“如圖”表示線段數(shù)量關(guān)系是有先例的（但我并不認(rèn)為這是一種最好的方式），我后來量了一下，PQ=AB，再根據(jù)圖中點(diǎn)P、Q的方位，點(diǎn)Q開始位置應(yīng)為點(diǎn)D。這樣一來，說“出題不嚴(yán)謹(jǐn)”，未免不妥了。據(jù)我猜測，此題源于定長線段兩端點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上滑動，求線段中點(diǎn)軌跡。這樣理解題意，可能較切合命題的本意。可是加上“Q隨著P逆時針運(yùn)動”的條件比較切合學(xué)生實(shí)際。若不加，點(diǎn)Q的運(yùn)動可能出現(xiàn)跳躍情況或轉(zhuǎn)向情況，多種運(yùn)動狀態(tài)的組合，討論起來就比較麻煩了。

看法新穎：一點(diǎn)新看法：若PQ=AB=8，從物理學(xué)的角度看，當(dāng)點(diǎn)P沿A―B―C―D運(yùn)動時，動線段PQ另一端點(diǎn)Q，一般應(yīng)是受A的牽引在正方形邊上滑動，故P、Q同時在AB、DC上同速向右平移可以排除。

聯(lián)想升華：由于對本題的質(zhì)疑，使我聯(lián)想到此題的擴(kuò)充。平面上的動直線與正方形相交于P、Q兩點(diǎn)。求動線段PQ中點(diǎn)組成的圖形。（當(dāng)時，就必出現(xiàn)兩動線段端點(diǎn)分別位于正方形兩平行邊上的情況。特別是PQ=AB時，會出現(xiàn)動線段平行正方形邊長的情況，值得注意的是，本題PQ中點(diǎn)，均不在正方形各邊上。）此題作為課外研究，也許蠻有趣的?？搭}即可預(yù)知，最后求得圖形，關(guān)于正方形中心對稱，能夠較好地體現(xiàn)幾何之美。

新題呈現(xiàn)：

題目1：已知；邊長為a的正方形ABCD，它所在平面有一動直線與此正方形相交于不重合的P、Q兩動點(diǎn)。

（1）求動線段PQ長度的最大值，此最大值一定為無理數(shù)嗎？

（2）求動線段PQ中點(diǎn)O組成的圖形。

（3）在正方形內(nèi)部隨機(jī)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)不是PQ中點(diǎn)的概率是多少？

提示1：此題第2小題有一定難度，若覺得不好下手，請先做下題。

在直角坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)，有一長為L的動線段PQ的兩端點(diǎn)P、Q保持在X軸、Y軸上滑動，求動線段PQ中M組成的圖形。若把第一象限換成第二象限，情況又如何？

提示2：對動線段PQ狀態(tài)的分類是解題的關(guān)鍵。分類方法之一是：PQ與正方形兩對邊相交（有正交、斜交兩種方式）；PQ與正方形相鄰兩邊相交。

題目2：求周長為L的直角三角形斜邊的最小值和面積的最大值。

題目3：在三角形ABC中，∠C為直角，AB=c，AC=b，點(diǎn)D為AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC，點(diǎn)F為垂足，過點(diǎn)F作FE平行于AB，交AC于點(diǎn)E。

（1）BD為何值時，三角形DFE為直角三角形？

（2）當(dāng)三角形DFE為鈍角三角形、三角形DFE為銳角三角形時，求BD變化的范圍。

（3）求三角形DFE面積的最大值、最小值。

總結(jié)反思：近些年來，幾何、函數(shù)圖像中的動點(diǎn)問題一直熱度不減，此題型主要目的是滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的思維能力和探索能力。讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，感悟數(shù)學(xué)的思想方法和本質(zhì)。在解決此類題型時，要從幾何圖形本身出發(fā)，注意點(diǎn)在運(yùn)動過程中的特殊位置，整合多種情況，掌握動中取靜的一般規(guī)律。這就要求我們在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)注重“動手操作，實(shí)踐探索”的能力培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，能夠在考試當(dāng)中較快地找到應(yīng)對此類題型的方法。對于數(shù)學(xué)教師來說，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，在數(shù)學(xué)教學(xué)的征程中要不斷探索，不斷質(zhì)疑，不斷提高，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維，散播創(chuàng)新的種子，點(diǎn)燃創(chuàng)新的火花，開發(fā)創(chuàng)新的才能。