江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué) 楊 峰

江蘇省無(wú)錫市金星中學(xué) 朱宸材

欲識(shí)廬山真面目，返璞歸原覓本真
——以蘇科版《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》課題研究課為例

江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué) 楊 峰

江蘇省無(wú)錫市金星中學(xué) 朱宸材

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的“實(shí)踐與應(yīng)用”領(lǐng)域是課改的一個(gè)特色。該領(lǐng)域提供學(xué)生進(jìn)行一種實(shí)踐性、探索性和研究性學(xué)習(xí)的課程渠道，而新興而起的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，應(yīng)當(dāng)成為改善學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重要途徑：以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究為載體，開展有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，倡導(dǎo)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流的方式，對(duì)于不同的學(xué)生在課題學(xué)習(xí)上都能夠得到不同的發(fā)展。教師作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究的組織發(fā)起者，要注意培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究、獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問(wèn)題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種積極的評(píng)價(jià)方式，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；課題研究；數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)

新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)課程的四維目標(biāo)（知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等）的達(dá)成，與原有課程相比，新課程在關(guān)注知識(shí)結(jié)果目標(biāo)的同時(shí)，更注重對(duì)過(guò)程目標(biāo)的關(guān)注和對(duì)學(xué)習(xí)者——學(xué)生的關(guān)注，目標(biāo)更加人文化，更關(guān)注學(xué)生獲得知識(shí)的過(guò)程以及在學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)歷、感受和體驗(yàn)。目前，以蘇科版教材為基礎(chǔ)，江蘇課改正在探索一條數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的改革之路，而作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的最佳模版課題研究已經(jīng)成為教學(xué)中的嘗試和探索的方向。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合身邊的事物，指導(dǎo)學(xué)生開展一些具有一定的趣味性和研究?jī)r(jià)值的的課題研究，如“陽(yáng)光下物體的高度與影長(zhǎng)之間有什么關(guān)系嗎？”“如何測(cè)量一棵大樹的高度？”等。圍繞這些課題展開數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)完成類似的課題會(huì)非常感興趣。同時(shí)，以課題研究為載體，倡導(dǎo)學(xué)生融入動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流的方式中去，在探索、研究的同時(shí)進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，通過(guò)解決問(wèn)題提高數(shù)學(xué)能力。這不僅可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)有益的補(bǔ)充，而且對(duì)于不同的學(xué)生在課題研究上都能夠得到不同的發(fā)展。下面從筆者的一次數(shù)學(xué)課題實(shí)驗(yàn)課談起：

如何根據(jù)實(shí)際情況確定出有意義的課題開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究呢？在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中又怎樣來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)課題的研究呢？筆者進(jìn)行了一些探索和嘗試。

一、在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中安排具有探索性的實(shí)際應(yīng)用型的課題研究

課題研究的整個(gè)活動(dòng)經(jīng)歷“問(wèn)題情境→建立模型→求解→解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程。教師要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容預(yù)先提前兩天提出研究課題，并根據(jù)課題研究?jī)?nèi)容做好分組工作，讓學(xué)生有一定的時(shí)間思考、討論，預(yù)先進(jìn)入課題所設(shè)置的問(wèn)題情境中來(lái)。

案例1：如何測(cè)量大樹的高度

研究工具：卷尺（帶有刻度），小鏡子，標(biāo)竿，有厘米刻度的直尺，自制的高度為1.5m的測(cè)角儀（能測(cè)量“仰角”和“俯角”的）一架。建立模型并求解。類似于測(cè)量物體高度的題目在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一定接觸過(guò)，只要在書上、習(xí)題上尋找一下，很快就能找到方向，然后設(shè)計(jì)出相應(yīng)的測(cè)量方法，經(jīng)過(guò)每個(gè)小組成員的自主探索，在合作交流中及時(shí)找到解決問(wèn)題的突破口，最終設(shè)計(jì)出盡可能多的測(cè)量方法來(lái)。以下是學(xué)生在做這個(gè)課題研究時(shí)設(shè)計(jì)的幾個(gè)測(cè)量方法：

①利用陽(yáng)光下的影子。

這是最簡(jiǎn)單的研究方法。

②利用測(cè)角儀。

利用自制的高度為1.5米的測(cè)角儀，在距大樹a米的地方測(cè)出樹頂?shù)难鼋铅?，由解直角三角形的相關(guān)知識(shí)可以得出樹高為1.5+atgα米。

③利用鏡子的反射。

研究方法：在地面上放好小鏡子，調(diào)整人的位置，使眼睛正好能從鏡中看到樹的頂端，根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，測(cè)量出相應(yīng)數(shù)據(jù)，可以求出樹高。

④利用標(biāo)桿。

設(shè)計(jì)方案：在大樹前直立一根標(biāo)桿，觀測(cè)者在標(biāo)桿后調(diào)整距離，使眼睛正好看到標(biāo)桿頂、樹頂在一條直線上。

測(cè)量數(shù)據(jù)：分別測(cè)量人到樹的距離a、標(biāo)桿到樹的距離b、人眼睛此時(shí)的離地高度c、標(biāo)桿的長(zhǎng)度。

計(jì)算方法：如圖，運(yùn)用相似三角形的知識(shí)，進(jìn)行求解。

⑤利用帶有厘米刻度的直尺。

觀測(cè)者拿著一把刻有厘米刻度的直尺，站在距大樹a米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，觀察在直尺幾厘米刻度的地方恰好遮住大樹，測(cè)量臂長(zhǎng)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，也可以求出樹高。

在具體測(cè)量之前，只要善于尋找，積極思考，解決問(wèn)題的方法是很多的，在理解課題的數(shù)學(xué)情境的前提下，不同層次的學(xué)生都能夠著手進(jìn)行課題的實(shí)驗(yàn)研究。確定了方法，這時(shí)候小組根據(jù)制訂的方案到室外展開實(shí)際操作，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、比較、歸納，最后完成課題的研究。如果從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度，對(duì)于課題的探索到此并沒(méi)有結(jié)束，教師接下來(lái)還可以提出下面的一些問(wèn)題：

（1）在利用陽(yáng)光下的影子的實(shí)驗(yàn)方法時(shí)，如果大樹的影子一部分落在地上，一部分落在一邊的墻上，測(cè)量這兩段影長(zhǎng)，在同一時(shí)刻，再測(cè)量出標(biāo)竿的高度a和影長(zhǎng)，能不能尋找適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龃髽涞母叨龋?/p>

（2）通過(guò)以上課題的研究能不能再尋找方法測(cè)量出學(xué)校旁邊小河溝的寬度呢？

只要學(xué)生理解了上面測(cè)量樹高的問(wèn)題，那么類似的繼續(xù)延伸下去的探索性問(wèn)題還可以提出很多。數(shù)學(xué)的應(yīng)用性問(wèn)題得到不斷的補(bǔ)充、拓展、延伸，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成無(wú)疑是大有幫助的。

二、把一些規(guī)律性的結(jié)論設(shè)置為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的對(duì)象

數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容不僅要包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果，還要包括這些結(jié)果的形成過(guò)程。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們都會(huì)總結(jié)出一些具有規(guī)律性的結(jié)論。例如：在接觸折疊問(wèn)題的時(shí)候，會(huì)有這樣一個(gè)結(jié)論：折痕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線。又如：在學(xué)習(xí)相似三角形的時(shí)候可能遇到這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：陽(yáng)光下物體的高度與影長(zhǎng)成正比例，一般經(jīng)歷如下一些過(guò)程：

確定課題：在同一時(shí)刻，陽(yáng)光下物體的高度與影長(zhǎng)之間的關(guān)系。

確定研究?jī)?nèi)容：在同一時(shí)刻，在能夠測(cè)量出物體高度的條件下測(cè)量該物體的高度和在陽(yáng)光下的影子的長(zhǎng)度。

確定研究形式：尋找研究物體，測(cè)量、計(jì)算、比較，小組討論，歸納結(jié)論。

確定研究過(guò)程：教師提前一天布置課題，學(xué)生自由組合，利用課間時(shí)間完成研究?jī)?nèi)容，得出數(shù)據(jù)，計(jì)算物高與影長(zhǎng)的比值，得出結(jié)論，最后全班交流。

在學(xué)生實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，如果誤差太大，還要分析、尋找原因。然后推選小組代表向全班介紹課題的研究方法和研究結(jié)果，教師最后要運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，讓學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的層面上理解研究的課題。

三、通過(guò)制作數(shù)學(xué)道具來(lái)展開有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究

在學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面展開圖、學(xué)習(xí)正方體的立體展開圖的時(shí)候，幾乎所有的數(shù)學(xué)老師都會(huì)預(yù)先布置學(xué)生做好相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后展開學(xué)習(xí)，力求得到一個(gè)形象化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。制作數(shù)學(xué)道具展開學(xué)習(xí)，這其實(shí)也是一個(gè)很有效的數(shù)學(xué)課題。

案例2：在學(xué)習(xí)解直角三角形的時(shí)候經(jīng)常會(huì)接觸到測(cè)角儀

什么是測(cè)角儀呢？教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者可以這樣解釋“測(cè)角儀就是……，它能夠……，它在數(shù)學(xué)題目中可以這樣來(lái)簡(jiǎn)畫……”，然后這個(gè)從來(lái)沒(méi)有見到過(guò)的測(cè)角儀就開始一次次地出現(xiàn)在了很多實(shí)際問(wèn)題中了，是不是感覺(jué)來(lái)得太突兀了一點(diǎn)？學(xué)生真正明白這個(gè)儀器了嗎？不過(guò)一個(gè)測(cè)角儀價(jià)格上千元，作為一個(gè)教學(xué)儀器只是為了用來(lái)給學(xué)生展示一下的話，那也實(shí)在是太浪費(fèi)了。所以我們不妨將制作測(cè)角儀作為一個(gè)課題研究讓學(xué)生試試看。根據(jù)手邊現(xiàn)有的材料，只要一個(gè)普通的三腳架，加上木條、膠水、小繩、量角器等工具，學(xué)生完全可以制作出一個(gè)可以投入實(shí)際使用，能夠測(cè)量“仰角”和“俯角”的測(cè)角儀來(lái)。測(cè)角儀制作出來(lái)后，又引出了測(cè)樓高、樹高等一系列的課題研究，不妨在活動(dòng)課上帶著學(xué)生一起去測(cè)量一下，不妨做一做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

四、將學(xué)生易錯(cuò)的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題提煉出來(lái)進(jìn)行課題研究

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)的一些經(jīng)常發(fā)生的錯(cuò)誤，如等腰三角形有三線合一的性質(zhì)：等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，也可以簡(jiǎn)記為等腰三角形三線合一，或三線中知一可以推二，但在初三復(fù)習(xí)全等三角形的時(shí)候?qū)W生通常會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：已知三角形中的一條線段是角平分線、中線、高線中的兩條就立刻得出結(jié)論這是一個(gè)等腰三角形，問(wèn)原因，回答是：“三線合一啊！”針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師首先應(yīng)該把等腰三角形三線合一的性質(zhì)重新再?gòu)?fù)習(xí)一下，接下來(lái)，做為一個(gè)命題：如果已知三角形中的一條線段是角平分線、中線、高線中的兩條那么這個(gè)三角形是一個(gè)等腰三角形，這個(gè)命題是真命題嗎？教師這時(shí)候可以把知2是否一定得3或者兩線重合是否一定得出等腰三角形設(shè)置為一個(gè)數(shù)學(xué)研究的課題，讓學(xué)生進(jìn)行自主探索、合作交流，或者動(dòng)手進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，將課題研究的過(guò)程、結(jié)果都完整地記錄下來(lái)，最后教師進(jìn)一步進(jìn)行總結(jié)，使整個(gè)知識(shí)內(nèi)容呈一個(gè)螺旋上升的趨勢(shì)，不僅學(xué)生做到了真正的理解，而且還將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了拓展、延伸。類似的參考課題還有“邊邊角一定能證全等嗎”等。讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手參與探索、交流、歸納，親自動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，積極參與的學(xué)習(xí)過(guò)程，無(wú)論是理解程度上還是記憶上，都是比教師直接講出來(lái)要具有有效性。

以課題研究為載體，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識(shí)和應(yīng)用能力的同時(shí)，也幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法有一個(gè)直觀生動(dòng)而深刻的理解，從而更好地掌握知識(shí)。教師作為課題研究的組織者和引導(dǎo)者，要注意培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究、獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問(wèn)題的能力，以及交流與合作的能力，并且采用多種積極的評(píng)價(jià)方式，通過(guò)課題學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

總之，新課程強(qiáng)調(diào)要努力轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，突出學(xué)生的主體地位，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)正是一種體現(xiàn)這一理念的有效的教學(xué)方式。在教學(xué)中，要根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容特點(diǎn)，合理選用適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)手段，優(yōu)化設(shè)計(jì)模擬型、學(xué)具型、操作型、應(yīng)用型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改變學(xué)習(xí)方式，不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，在“做”和“思考”的過(guò)程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）：1-6

［2］夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級(jí)期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1初中）：33-35.

［3］鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）：1-3.