王青橋

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

自錨式懸索橋主纜成橋線形及空纜線形計(jì)算

王青橋

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）有限公司，上海市 200092）

介紹了基于分段懸鏈線法和拋物線法的自錨式懸索橋主纜成橋線形及空纜線形計(jì)算的原理和方法。成橋線形計(jì)算內(nèi)容主要包括主纜理論成橋線形計(jì)算、主纜無應(yīng)力索長(zhǎng)計(jì)算、主纜與主索鞍切點(diǎn)計(jì)算及主索鞍位置計(jì)算?？绽|線形計(jì)算內(nèi)容主要包括索鞍偏移量計(jì)算、空纜理論線形計(jì)算及索夾安裝位置計(jì)算。同時(shí)結(jié)合工程實(shí)例對(duì)比分析了拋物線法和分段懸鏈線法求解主纜成橋線形和空纜線形的誤差影響。

自錨式懸索橋；成橋線形；空纜線形；無應(yīng)力索長(zhǎng)；索鞍偏移量；影響矩陣

0　引　言

自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)新穎、外形美觀，近年來在城市橋梁中應(yīng)用較為普遍。主纜是自錨式懸索橋的主要承重結(jié)構(gòu)，懸索橋的結(jié)構(gòu)線形主要受主纜線形的控制。同時(shí)懸索橋與斜拉橋不同，不能通過施工階段的跟蹤調(diào)整來實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)線形，它的主纜線形必須通過可靠的計(jì)算參數(shù)，采用精確的計(jì)算方法計(jì)算出設(shè)計(jì)線形，同時(shí)通過嚴(yán)格的施工控制保證最終的成橋線形與設(shè)計(jì)線形相符。

自錨式懸索橋的主纜線形計(jì)算主要包括成橋線形計(jì)算及空纜線形計(jì)算。成橋線形是主纜設(shè)計(jì)的目標(biāo)和基礎(chǔ)，主纜的無應(yīng)力長(zhǎng)度、索鞍偏移量、空纜索夾位置、吊索長(zhǎng)度計(jì)算等均由主纜成橋線形決定。空纜線形是指索鞍預(yù)偏后，索夾和吊桿還未掛上時(shí)主纜所取得的線形和受力狀態(tài)?？绽|狀態(tài)分析的目的就是確定索鞍預(yù)偏量、空纜掛纜時(shí)主纜的水平分力和索夾控制點(diǎn)坐標(biāo)，空纜狀態(tài)是索夾位置放樣的基礎(chǔ)。

1　主纜成橋線形計(jì)算

1.1計(jì)算理論

目前，對(duì)于計(jì)算自錨式懸索橋主纜成橋線形，主要有拋物線法和分段懸鏈線法。

1.1.1拋物線法

拋物線法假定主纜所受荷載沿水平方向均布，如圖1（b）所示，對(duì)于實(shí)際的懸索橋，加勁梁和橋面系可以視為沿水平方向均布，但主纜自重沿主纜均布不沿水平方向均布。如果主纜自重相對(duì)于橋面系和加勁梁重量很小，主纜線形可以用拋物線法來近似。

1.1.2分段懸鏈線法

分段懸鏈線法可以比較真實(shí)地反映主纜成橋線形。成橋時(shí)，主纜所受荷載為沿主纜弧長(zhǎng)均布自重及通過吊索傳遞的集中力，因此各吊點(diǎn)之間的主纜線形為受主纜自重作用的懸鏈線，如圖1（a）所示，整個(gè)主纜可以視為按吊點(diǎn)劃分的多段懸鏈線的組合。

圖1　索段示意

1.2拋物線法求解主纜成橋線形

對(duì)于固定A（0,0）,B（l，h）兩點(diǎn)索段，根據(jù)力學(xué)平衡方程，拋物線方程可以表示為式中：l為跨徑；h為索段兩點(diǎn)高差；H為主纜水平力；q為主纜所受均布荷載。

當(dāng)x=l/2時(shí)，y=h/2+f，帶入式(1)得

式中：f為主纜矢高。

1.2.1中跨成橋線形求解

懸索橋設(shè)計(jì)一般中跨的矢高f是確定的，由式（2）得出q/H，帶入式（1）可以確定中跨的拋物線線形。

1.2.2邊跨成橋線形求解

邊跨矢高一般未知，但根據(jù)塔頂平衡條件，邊、主跨主纜水平力H相等，得出q/H，帶入式（1）得出邊跨的拋物線線形。

1.2.3無應(yīng)力索長(zhǎng)求解

無應(yīng)力索長(zhǎng)是指構(gòu)件在標(biāo)準(zhǔn)溫度下，截面應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)的長(zhǎng)度。主纜成橋線形確定后，可以由有應(yīng)力索長(zhǎng)減去彈性伸長(zhǎng)量求得無應(yīng)力索長(zhǎng)。

根據(jù)拋物線方程積分可得有應(yīng)力索長(zhǎng)為

其中

有應(yīng)力索長(zhǎng)減去彈性伸長(zhǎng)量，可得無應(yīng)力索長(zhǎng)為

1.2.4主纜與主索鞍切點(diǎn)及索鞍精確位置求解

以上成橋線形是根據(jù)理論IP點(diǎn)計(jì)算的，實(shí)際上纜索與主索鞍相切，所以應(yīng)根據(jù)給定的索鞍半徑確定主纜與索鞍的切點(diǎn)以及索鞍的精確位置，然后對(duì)索鞍處的主纜線形以及無應(yīng)力長(zhǎng)度進(jìn)行修正。

根據(jù)主索鞍半徑R，可根據(jù)影響矩陣法迭代求解主纜與主索按切點(diǎn)坐標(biāo)，影響矩陣法求解具體詳見1.3節(jié)。

1.3懸鏈線法求解主纜成橋線形

對(duì)于自錨式懸索橋，任一吊桿間索段為懸鏈線，如圖1(a)所示，其懸鏈線方程可表示為

式中：li為索段兩端水平距離差；hi為索段兩端豎向距離差；Hi、Vi為索段力；Si為懸鏈線有應(yīng)力索長(zhǎng)。

對(duì)僅有垂直吊桿的情況

式中：Pi為吊桿力。

1.3.1影響矩陣法

以上懸鏈線法方程為非線性方程，可以通過影響矩陣法求解。影響矩陣法的實(shí)質(zhì)是通過多步線性問題的迭代計(jì)算來實(shí)現(xiàn)非線性問題求解的過程。首先賦予基本變量的初始值，得到目標(biāo)函數(shù)的誤差值，然后分別使各基本變量產(chǎn)生單位增量，求得目標(biāo)函數(shù)改變值組成的影響矩陣，據(jù)此求得基本變量的修正值，修正變量后重復(fù)迭代過程，直至誤差值滿足精度要求。

1.3.2中跨成橋線形求解

中跨計(jì)算的基本變量及目標(biāo)函數(shù)見表1。

表1　IP點(diǎn)處計(jì)H、V算影響矩陣

設(shè)IP點(diǎn)處的H、V為基本變量。首先成橋線形拋物線假定預(yù)估一個(gè)IP點(diǎn)處H、V初始值，根據(jù)式（3）、式（4）求得每個(gè)吊桿間索段的li、hi。

收斂目標(biāo)為

式中：m、n分別為左鞍座到跨中的吊桿數(shù)和吊桿總數(shù)；f為中跨主纜矢高；Δy為兩個(gè)鞍座IP點(diǎn)的y坐標(biāo)之差。

若初始H、V不能滿足收斂目標(biāo)，得出目標(biāo)函數(shù)誤差向量

基本變量H、V的影響矩陣法求解可通過以下步驟實(shí)現(xiàn)：

（1）索端力產(chǎn)生單位增量，使H＝H+1和V＝V+ 1，分別算出主跨中點(diǎn)坐標(biāo)和主跨端點(diǎn)坐標(biāo)的增量，得到影響矩陣

（2）求出H、V的修正量（ΔH、ΔV）T

（3）修正索端力H=H-ΔH，V=V-ΔV，重新計(jì)算li、hi、ef、ey。

重復(fù)以上迭代過程，直到ef、ey誤差滿足精度要求，得出精確的H、V。

1.3.3邊跨成橋線形求解

根據(jù)平衡條件，邊跨的主纜水平力H與中跨相等，所以邊跨的基本變量為塔頂IP點(diǎn)處邊跨主纜豎向分力V，目標(biāo)函數(shù)為邊跨主纜另一端豎向坐標(biāo)y。邊跨線形同樣采用影響矩陣法計(jì)算。

1.3.4無應(yīng)力索長(zhǎng)求解

對(duì)于固定于A（0，0），B（l，h）兩點(diǎn)索段，懸鏈線方程數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中

由于根據(jù)成橋線形已知H、V，由式（3）可以求得有應(yīng)力索長(zhǎng)S。有應(yīng)力索長(zhǎng)減去彈性伸長(zhǎng)量，可得無應(yīng)力索長(zhǎng)為

1.3.5主纜與主索鞍切點(diǎn)及索鞍精確位置求解

根據(jù)主索鞍半徑R，利用影響矩陣法迭代求解主纜與主索鞍切點(diǎn)坐標(biāo)以及索鞍精確位置，基本變量與目標(biāo)函數(shù)見表2。主索鞍切點(diǎn)及圓心位置計(jì)算如圖2所示。

表2　主纜與主索鞍切點(diǎn)計(jì)算影響矩陣

圖2　主索鞍切點(diǎn)及圓心位置計(jì)算示意

影響矩陣法迭代步驟如下：

（1）假設(shè)主纜與鞍座的切點(diǎn)x坐標(biāo)為x1、x2，根據(jù)懸鏈線方程可求出兩切點(diǎn)y坐標(biāo)y1、y2。

（2）求出過兩點(diǎn)的懸鏈線法線交點(diǎn)，即索鞍圓心A0（x0，y0），求出與兩切點(diǎn)距離d1、d2。

（3）求出目標(biāo)函數(shù)誤差向量Δr1=d1-R、Δr2= d2-R。

（4）切點(diǎn)坐標(biāo)產(chǎn)生單位增量，分別使x1=x1+1和x2=x2+1，求出影響矩陣

（5）求出x、x2的修正量（Δx1，Δx2）T

（6）修正切點(diǎn)坐標(biāo)x1=x1-Δx1，x2=x2-Δx2。

重復(fù)以上迭代過程，直到誤差Δr1、Δr2滿足精度要求，求得精確的切點(diǎn)x1、x2及索鞍圓心A0（x0，y0）。

2　主纜空纜線形計(jì)算

2.1索鞍偏移量求解

索鞍偏移量是指以滿足成橋合理狀態(tài)的各跨主纜無應(yīng)力索長(zhǎng)空掛于索鞍上，使索鞍邊中跨空索水平力相等時(shí)索鞍的移動(dòng)量。

設(shè)置索鞍偏移量的目的主要是防止主纜在鞍座上滑動(dòng)和不平衡水平力引起的主塔彎矩。

根據(jù)索鞍偏移量的設(shè)計(jì)原則可知：

（1）空纜狀態(tài)各跨間無應(yīng)力索長(zhǎng)等于成橋時(shí)無應(yīng)力索長(zhǎng)。

（2）空纜狀態(tài)，中邊跨索力水平分力相等；

索鞍偏移量的計(jì)算可以通過影響矩陣法迭代求解，基本變量和目標(biāo)函數(shù)見表3。

表3　索鞍偏移量計(jì)算影響矩陣

2.2空纜線形及索夾安裝位置求解

由于已求得索鞍偏移量d1、d2及空纜水平力H1，根據(jù)式（5）可求得空纜線形。

為保證成橋時(shí)吊索處于正確的位置，需計(jì)算空纜狀態(tài)索夾的安裝位置。計(jì)算原則是空纜時(shí)索夾的無應(yīng)力長(zhǎng)度等于成橋時(shí)索夾間的無應(yīng)力長(zhǎng)度。

索夾的安裝位置可通過影響矩陣法求解。基本變量為索夾的x坐標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)為索夾的無應(yīng)力索長(zhǎng)。

3　算例

某預(yù)應(yīng)力混凝土自錨式懸索橋，其結(jié)構(gòu)體系如圖3所示，中跨跨徑為140 m，矢高f=25 m。邊跨跨徑為60 m，高度h=28 m；中跨吊桿間距28×5 m，邊跨吊桿間距12×5 m；單根主纜截面積A=0.1 m2, E=1.97×105MPa，主纜集度為7.918 kN/m，吊桿力為2 135 kN。

圖3　某自錨式懸索橋結(jié)構(gòu)體系簡(jiǎn)圖

3.1成橋線形計(jì)算結(jié)果對(duì)比

分段懸鏈線法和拋物線法計(jì)算的成橋線形結(jié)果見表4、表5和圖4。

圖4　拋物線法與懸鏈線法成橋線形吊點(diǎn)豎向坐標(biāo)誤差

由表4、表5和圖4可以得出：

（1）對(duì)于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋成橋狀態(tài)，主纜水平力H及豎向力V誤差很小，水平力誤差僅為－0.074%，豎向力誤差3%左右，拋物線法對(duì)成橋主纜內(nèi)力計(jì)算精度較高。

（2）無應(yīng)力索長(zhǎng)的誤差率很小，中跨為0.01 m，邊跨為0.003 m。

（3）索鞍圓心及索鞍切點(diǎn)誤差都小于1 cm，精度滿足設(shè)計(jì)要求。

（4）吊點(diǎn)邊跨豎向坐標(biāo)的最大差值為6.21 mm，中跨豎向坐標(biāo)的最大差值為4.510 mm，邊中跨最大誤差發(fā)生的位置靠近索塔，邊跨差值比中跨差值大38%左右。圖中誤差值都為正值，說明按拋物線法計(jì)算的豎向坐標(biāo)距離橋面偏高。

3.2空纜線形計(jì)算結(jié)果對(duì)比

分段懸鏈線法和拋物線法計(jì)算的空纜線形結(jié)果見表6和圖5。

表6　空纜線形計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖5　拋物線法與懸鏈線法空纜狀態(tài)索夾位置坐標(biāo)誤差

由表6和圖5可以得出：

（1）空纜水平力誤差為-5.07%，拋物線法計(jì)算精度較高。

（2）索鞍偏移量誤差率達(dá)-38.19%，絕對(duì)差值為76 mm，誤差率較大，這對(duì)空纜狀態(tài)索塔的受力狀態(tài)影響較大。

（3）空纜狀態(tài)邊跨索夾豎向坐標(biāo)的最大差值為192.8 mm，發(fā)生在距離索塔1/3邊跨跨度附近；中跨索夾豎向坐標(biāo)的最大差值為-336.7 mm，發(fā)生在中跨跨中附近。索夾的縱向坐標(biāo)最大誤差值為108.2 mm。以上誤差對(duì)索夾的精確定位影響較大。

4　結(jié)　論

本文對(duì)懸索橋主纜成橋線形和空纜線形相關(guān)內(nèi)容的理論求解方法進(jìn)行了總結(jié)，同時(shí)介紹了拋物線法理論和懸鏈線法理論的具體求解過程。通過算例對(duì)拋物線法理論和懸鏈線法理論進(jìn)行了比較，可以得出對(duì)于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋，拋物線法的誤差很小，滿足一般工程精度的要求，但拋物線法對(duì)索鞍偏移量的計(jì)算及空纜索夾安裝位置的計(jì)算誤差較大。

拋物線法是一種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，計(jì)算上相對(duì)簡(jiǎn)單，但比較粗略，對(duì)于小跨徑的常規(guī)自錨式懸索橋，拋物線法滿足一般工程精度的要求。但隨著橋梁跨徑的加大，主纜自重所占的荷載份額越來越大，拋物線法誤差顯著增大，不宜采用，應(yīng)采用分段懸鏈線法。

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U448.25

A

1009-7716（2016）04-0160-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.04.050

2015-12-14

王青橋（1984-）,男，安徽安慶人，碩士，工程師，從事橋梁設(shè)計(jì)工作。