熊 濤

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

?

多剛體系統(tǒng)的一致性控制研究

熊 濤

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

基于非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論，以非完整移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象，研究多剛體系統(tǒng)的一致性問題，提出了一種新的分布式控制器。通過引入持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)，驗(yàn)證了無論參考信號(hào)是否為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，所提出的控制器都能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性的目的，且能一致到期望的參考值。利用李雅普諾夫方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。最后，對(duì)所提控制器進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制器的有效性。

非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)；多剛體系統(tǒng)；持續(xù)激勵(lì)；非完整移動(dòng)機(jī)器人

0 引言

多剛體系統(tǒng)的一致性控制在多機(jī)器人合作控制、交通車輛控制、無人機(jī)編隊(duì)和網(wǎng)絡(luò)資源分配等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。多剛體系統(tǒng)姿態(tài)同步的控制方法主要包括：主從式控制法、基于行為的控制法以及虛擬結(jié)構(gòu)控制法。文獻(xiàn)[1]中，WANG P K和HADAEGH F Y提出了主從式(Leader-Follower)控制法，該控制方法將同步問題轉(zhuǎn)化為一般的跟蹤問題，優(yōu)點(diǎn)是可以單獨(dú)分析某個(gè)剛體的跟蹤性能，而缺點(diǎn)是一旦Leader發(fā)生故障或失效，其他剛體將失去參考信號(hào)，無法完成同步目標(biāo)，造成系統(tǒng)混亂。文獻(xiàn)[1]作為該領(lǐng)域的開創(chuàng)性成果，研究了多領(lǐng)導(dǎo)者情況下的多剛體姿態(tài)協(xié)調(diào)控制，運(yùn)用了近鄰控制器的概念，使系統(tǒng)達(dá)到了全局漸近穩(wěn)定。BALCH T和ARKIN R C提出了基于行為(Behaviour-based)的控制法[2]，根據(jù)相鄰剛體的姿態(tài)變化來調(diào)整自身的變化，優(yōu)點(diǎn)是某個(gè)剛體的故障或失效并不會(huì)影響到整個(gè)剛體群的運(yùn)動(dòng)，而只是影響相鄰剛體的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[3]憑借局部信息交換，設(shè)計(jì)有效的控制律，解決了一隊(duì)剛體的姿態(tài)對(duì)齊問題。 REN W和BEARD R W提出了虛擬結(jié)構(gòu)(Virtual Structure)控制法[4]，假設(shè)剛體群中存在虛擬的單個(gè)剛體，每個(gè)剛體都根據(jù)該虛擬剛體調(diào)整自身的姿態(tài)。文獻(xiàn)[4]中提出的集中式虛擬結(jié)構(gòu)法使剛體群依賴于唯一的虛擬剛體，容易使其成為單個(gè)失效點(diǎn)，而文獻(xiàn)[5-7]提出的分布式虛擬結(jié)構(gòu)法則避免了該缺點(diǎn)。因此，后來的姿態(tài)同步問題多運(yùn)用分布式控制法。本文針對(duì)平面二維多剛體系統(tǒng)，基于圖論、非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論等方法，對(duì)多剛體系統(tǒng)的一致性控制問題進(jìn)行探討。

符號(hào)說明:令R表示實(shí)數(shù)集合，Rn表示n維實(shí)數(shù)列向量集合，Rm×n表示m×n實(shí)數(shù)矩陣集合，xT表示實(shí)數(shù)向量x的轉(zhuǎn)置，diag{x1,x2,…,xN}表示對(duì)角元素為x1,x2,…,xN的對(duì)角矩陣，IN表示N階單位矩陣，G表示圖。

1 問題描述

本文以非完整移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象，考慮由N個(gè)具有相同機(jī)械結(jié)構(gòu)的非完整移動(dòng)機(jī)器人組成的系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程由以下方程組表示：

(1)

其中，i=1,2,…,N。當(dāng)i=d時(shí)，表示移動(dòng)機(jī)器人組的期望參考軌跡，ud、ωd是已知的時(shí)變函數(shù)。根據(jù)相關(guān)圖論知識(shí)，這N個(gè)移動(dòng)機(jī)器人可以表示為圖G=(V,E)的N個(gè)節(jié)點(diǎn)。通過輸入和狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)(1)可被轉(zhuǎn)化為如下級(jí)聯(lián)形式：

(2)

其中，xi1=θi，xi2=xi，xi3=yi，ui1=ωi，ui2=uicosθi。當(dāng)i=d時(shí)，表示參考機(jī)器人方程的級(jí)聯(lián)形式。

根據(jù)上述系統(tǒng)模型，控制目標(biāo)可以概括為：對(duì)于每一個(gè)追隨者，基于其本身及其鄰居的狀態(tài)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使系統(tǒng)中的機(jī)器人狀態(tài)達(dá)到一致，且都一致于期望狀態(tài)。但是在實(shí)際情況中，由于外部干擾、通信時(shí)延等因素的影響，要達(dá)到理想的一致是比較困難的，因此，實(shí)際的控制目標(biāo)為：在合適的控制器和通信拓?fù)湎?，系統(tǒng) (1) 中所有機(jī)器人的狀態(tài)收斂到期望值的一個(gè)鄰域內(nèi)，即對(duì)系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)控制律使得：

(3)

(4)

其中，i，j=1,2,…,N，ε是一個(gè)大于0的常數(shù)，代表誤差范圍。

系統(tǒng)(1)寫成矩陣形式為：

(5)

根據(jù)李代數(shù)相關(guān)秩的條件[8]，很容易證明系統(tǒng) (5) 是可控的。然而，一個(gè)無漂移常規(guī)系統(tǒng)光滑穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)輸入的數(shù)量等于狀態(tài)的數(shù)量，因此，找不到靜態(tài)光滑或連續(xù)的反饋控制器來穩(wěn)定系統(tǒng) (1) 。查閱文獻(xiàn)[9]可知，運(yùn)用線性時(shí)不變連續(xù)狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性。本節(jié)接下來將會(huì)研究已知期望參考軌跡的多剛體系統(tǒng)的一致性問題。

2 控制律設(shè)計(jì)

基于前述級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的形式及前期工作中已有的控制律：

(6)

其中，k0>0,k1>0是正常數(shù)，aij是系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的鄰接矩陣的元素，aij=1表示剛體i可以接收剛體j的狀態(tài)信息，ai0=1表示剛體i可以接收參考剛體的狀態(tài)信息；相反地，aij=0和ai0=0表示剛體i和剛體j以及參考剛體之間沒有通信，無法得知它們的狀態(tài)信息。

結(jié)合協(xié)調(diào)控制律ui2：

(7)

其中，k2>0，k3>0是正常數(shù)。

通過仿真研究可以看到，所有狀態(tài)無法都達(dá)到一致，這說明基于積分器系統(tǒng)或線性系統(tǒng)的一致性結(jié)果不能直接沿用到非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)中?；诖耍疚尼槍?duì)兩種不同期望的參考信號(hào)重新設(shè)計(jì)了控制律。

定義1[10]：存在正常數(shù)α1、α2和δ使以下不等式對(duì)所有t>0成立：

(8)

則稱ud為持續(xù)激勵(lì)。

(1)控制律ui1的設(shè)計(jì)

當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，顯然，系統(tǒng)(1)的所有狀態(tài)都是可控的。仍然采用控制器(6)來控制(1)的第一個(gè)子系統(tǒng)。

當(dāng)ud1→0(或甚至ud1=0)時(shí)，首先定義剛體i與其鄰居之間的平均距離為：

(9)

構(gòu)造控制律ui1如下：

(10)

(2)控制律ui2的設(shè)計(jì)

首先，定義矩陣Z2=[x12,x22,…,xN2]T和Z3=[x13,x23,…,xN3]T?；诜峭暾苿?dòng)機(jī)器人系統(tǒng)控制方面的研究結(jié)果，無論ui1收斂到持續(xù)激勵(lì)信號(hào)或者是零，構(gòu)造如下控制律：

ui2=-k2LZ2-k3ui1LZ3

(11)

其中，L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣。

從公式(11)的結(jié)構(gòu)可以看出，如果ud1→0(或甚至ud1=0)，那么所有xi1達(dá)到一致的速度快于Z2和Z3的一致速度，所以狀態(tài)xi3將達(dá)不到一致。但由于控制律ui1設(shè)計(jì)時(shí)引入的持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)ksin(t)，使系統(tǒng)保持可控，此時(shí)，運(yùn)用所提出的控制律ui2可以使所有狀態(tài)變量都達(dá)到一致。

3 穩(wěn)定性分析

定理1 如果φ(t)是一個(gè)持久激勵(lì)信號(hào)，k2>0和k3>0是常數(shù)，且L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統(tǒng)：

(12)

將達(dá)到指數(shù)一致。

證明：考慮無向圖G的Laplacian勢(shì)能相關(guān)函數(shù)作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)：

(13)

當(dāng)G是連通圖時(shí)，上式為半正定，對(duì)其求導(dǎo)得：

(14)

可以看出，其導(dǎo)數(shù)為負(fù)半定。

{[Z2,Z3]T|LZ2=0,LZ3=0}

(15)

定理2(當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)的一致性定理)假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是無向連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收參考信號(hào)xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(8)和(13)的控制下能達(dá)到一致。

證明：在控制器(6) 和(11)的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

(16)

(17)

其中，Λui1=diag{u11,u21,…,uN1},Z1=diag{x11,x21,…,xN1},Λai0=diag{a10,a20,…,aN0}，Zd1=diag{xd1,xd1,…,xd1}。

將系統(tǒng)(16)中的ui1用ud1來替代，則系統(tǒng)(16)可視作系統(tǒng)：

(18)

被

(19)

級(jí)聯(lián)，級(jí)聯(lián)項(xiàng)為：

(20)

(1)如果系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個(gè)剛體可以接收參考信號(hào)系統(tǒng)(2)的信息，則子系統(tǒng)將指數(shù)一致到ud1。

(2)根據(jù)定理1，當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，子系統(tǒng)(18)將達(dá)到指數(shù)一致。

(3)級(jí)聯(lián)項(xiàng)(20)滿足[Z2,Z3]T的線性增長(zhǎng)條件。

那么，基于以上3個(gè)條件，并根據(jù)非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的理論[10-12]，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是聯(lián)通的，且至少有一個(gè)剛體可以接收參考信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)中的N個(gè)剛體在控制器(6)和(11)的控制下能夠達(dá)到期望的一致。

定理3(當(dāng)ud1→0(或ud1=0)時(shí)的一致性定理)假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)涫菬o向連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(10)和(11)的控制下達(dá)到一致。

證明:

(1)當(dāng)ρi≥ε時(shí)

這種情況下，在控制器ui1的設(shè)計(jì)中引入持久激勵(lì)信號(hào)來保證整個(gè)系統(tǒng)的可控性，例如控制器(10)中的ksin(t)。對(duì)于子系統(tǒng)(19)，在連通通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，ui1將收斂到ksin(t)。對(duì)于子系統(tǒng)，在控制器(10)的控制下，根據(jù)非自治系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)理論，以及φ(t)=ksin(t)時(shí)定理1的指數(shù)一致結(jié)果，可得出ρi<ε。

(2)當(dāng)ρi<ε時(shí)

在這種情況下，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收參考信號(hào)，當(dāng)ρi在ε領(lǐng)域內(nèi)自由取值時(shí)，系統(tǒng)(19)能收斂到原始的參考信號(hào)。那么，在控制器(10)和(11)控制下，多剛體系統(tǒng)的實(shí)際一致性問題得到解決。

基于定理2和定理3，通過證明可知，在重新設(shè)計(jì)的控制器中，無論ud1是否是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，多剛體系統(tǒng)都能達(dá)到一致性。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將所提出的控制器與前期工作所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較。在現(xiàn)有的控制律(6)和(7)下，基于無向連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，k0=1,k1=1,k2=5,k3=6。從圖1中可以看到，無法讓第三個(gè)狀態(tài)達(dá)到一致。

圖1 每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)軌跡

由于參考信號(hào)趨于零的情況下非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的一致性研究較少，為了闡述本文所提出的控制器的有效性，以下將進(jìn)行兩種不同參考信號(hào)的仿真。

(1)ud1=0

選取系數(shù)：k0=1,k1=1,k2=5,k3=6，誤差范圍為：ε=0.000 01。系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

基于定理3中提出的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果顯示如圖2～圖5，從圖中可以看到，每個(gè)機(jī)器人狀態(tài)都能達(dá)到一致。

圖2 ud1=0時(shí)第1個(gè)狀態(tài)的一致性

圖3 ud1=0時(shí)第2個(gè)狀態(tài)的一致性

圖4 ud1=0時(shí)第3個(gè)狀態(tài)的一致性

圖5 ud1=0時(shí)每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)軌跡

(2)ud1=3sin (0.2t)

這種情況下，參考信號(hào)為一個(gè)持久曲線信號(hào)，取k0=8,k1=1,k2=5,k3=6，系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

仿真結(jié)果如圖6～圖9，基于定理2中的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果表明每個(gè)剛體都能達(dá)到一致，從運(yùn)動(dòng)軌跡圖中可以看到，所有的剛體最后都收斂到一起，并呈一定的曲線運(yùn)動(dòng)，從仿真圖中可以看出本文所提控制器能有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性。

圖6 ud1=3sin (0.2t)時(shí)第1個(gè)狀態(tài)的一致性

圖7 ud1=3sin (0.2t)時(shí)第2個(gè)狀態(tài)的一致性

圖8 ud1=3sin (0.2t)第3個(gè)狀態(tài)的一致性

圖9 ud1=3sin (0.2t)時(shí)每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)軌跡

5 結(jié)論

本文利用非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論，提出了一種具備無論系統(tǒng)參考信號(hào)是否為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)都能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性的分布式控制器。該控制器的設(shè)計(jì)通過在控制律中引入持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)，改善了前期工作的缺點(diǎn)，在參考信號(hào)不為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，也能讓系統(tǒng)達(dá)到一致性。最后，將所提控制方法應(yīng)用到兩種不同參考信號(hào)的情況中，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。

[1] WANG P K C,HADAEGH F Y.Coordination and control of multiple microspacecraft moving in formation [J].Journal of the Astronautical Sciences,1996,44(3): 315-355.

[2] BALCH T,ARKIN R C.Behavior-based formation control for multirobot teams [J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,1998,14(6): 926-939.

[3] Ren Wei.Distributed attitude alignment in spacecraft formation flying [J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,2007,21(2-3): 95-113.

[4] Ren Wei,BEARD R W.Virtual structure based spacecraft formation control with formation feedback [C].AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference and Exhibit.2002: 2002-4963.

[5] Ren Wei,BEARD R W.Decentralized scheme for spacecraft formation flying via the virtual structure approach [J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2004,27(1): 73-82.

[6] Zou Anmin,KUMAR K D,Hou Zengguang.Attitude coordination control for a group of spacecraft without velocity measurements [J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012,20(5): 1160-1174.

[7] ABDESSAMEUD A,TAYEBI A,POLUSHIN I G.Attitude synchronization of multiple rigid bodies with communication delays [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(9): 2405-2411.

[8] ISIDORI A.Nonlinear control systems [M].Springer Science & Business Media,1995.

[9] Dong Wenjie,FARRELL J A.Cooperative control of multiple nonholonomic mobile agents [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(6): 1434-1448.[10] Zhou Jiakang,Ma Guangfu,Hu Qinglei,et al.Delay depending decentralized adaptive attitude synchronization tracking control of spacecraft formation[J].Chinese Journal of Aeronautics,2012,25(3): 406-415.

[11] PANTELEY E,LORIA A.On global uniform asymptotic stability of nonlinear time-varying systems in cascade [J].Systems & Control Letters,1998,33(2): 131-138.

[12] 齊玉峰.非線性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制設(shè)計(jì)[D].天津:天津工業(yè)大學(xué),2006.

Research on consistency control of multiple rigid systems

Xiong Tao

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

This paper proposes a new distributed controller to control nonholonomic mobile robot,which as a special object of multi-rigid-body system,by utilizing the nonautonomous cascade system basic theory.By introducing a persistent excitation disturbance term,it is verified that the proposed controller can achieve system consistency and even can converge to expected reference value for all robots,whatever the

ignal is persistent excitation disturbance.A stability analysis is presented using Lyapunov’s direct method.Finally,simulation results illustrate the efficiency of proposed controller compared with the previous works.

nonautonomous cascade system; multiple rigid systems; persistent excitation; nonholonomic mobile robot

TP273

A DOI：10.19358/j.issn.1674-7720.2016.19.025

熊濤.多剛體系統(tǒng)的一致性控制研究[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(19)：84-88,94.

2016-06-15)

熊濤(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向：非線性系統(tǒng)，協(xié)調(diào)控制，魯棒控制。