趙　磊，趙新華，周海波，2*，王收軍，牛興華

(1. 天津理工大學 機械工程學院 天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室,天津 300384；2.佳木斯大學 機械工程學院，佳木斯 154007)

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并聯(lián)測量機柔性動力學建模與誤差耦合

趙磊1，趙新華1，周海波1，2*，王收軍1，牛興華1

(1. 天津理工大學 機械工程學院 天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室,天津 300384；2.佳木斯大學 機械工程學院，佳木斯 154007)

為解決目前高速機構(gòu)存在的高速與高精度之間的矛盾，研究了高速并聯(lián)測量機的柔性問題。應(yīng)用彈性梁運動學理論和Galerkin模態(tài)截斷法推導(dǎo)了一維彈性梁運動學變形位移模型；以歐拉-貝努利梁為假設(shè)，應(yīng)用Hamilton原理建立了考慮中線變形的柔性結(jié)構(gòu)耦合動力學模型。最后，基于中線耦合動力學模型，測試了不同速度下彈性振動產(chǎn)生的誤差，提出了通過調(diào)節(jié)黏滯摩擦系數(shù)來降低振動耦合誤差，進而提高測量精度的方法?；诜抡鎸嶒烌炞C了提出方法的有效性和可行性。結(jié)果表明：在忽略結(jié)構(gòu)誤差前提下，角速度為300 rad/s時產(chǎn)生的橫向一階振動耦合誤差最大值為28.6 μm；合理調(diào)整黏滯摩擦在0.4～0.5時，振動耦合誤差降低至15 μm以內(nèi)，相比調(diào)整前誤差降低了13.6 μm。提出的方法為進一步解決高速與高精度之間的矛盾和研究高階彈性振動與精度的耦合機理提供了理論基礎(chǔ)。

并聯(lián)測量機；柔性動力學；建模；高階彈性振動；誤差耦合

1　引　言

并聯(lián)機構(gòu)由多條運動支鏈運動同時控制末端執(zhí)行器，抵消了串聯(lián)機構(gòu)存在的誤差累積效應(yīng)[1-2]。從機構(gòu)學角度看，具有運動慣量低、負載能力強、剛度大等優(yōu)點，彌補了串聯(lián)機器人的不足，使得并聯(lián)機構(gòu)成為一個潛在的高速、高精度運動機構(gòu)[3-4]。目前，少自由度并聯(lián)機構(gòu)得到越來越廣泛的關(guān)注和應(yīng)用，已成為國內(nèi)外學者關(guān)注的熱點，除了明顯的經(jīng)濟性外，其結(jié)構(gòu)簡單、易于控制，已在工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。并聯(lián)測量機把并聯(lián)機器人和高精密測量技術(shù)結(jié)合，繼承了并聯(lián)機構(gòu)速度高、承載能力強、控制精度高和易于控制等優(yōu)點。然而，高速與高精度之間的矛盾是目前串、并聯(lián)機構(gòu)急需解決的難題。對于高速運動機構(gòu)，隨著機構(gòu)原動構(gòu)件轉(zhuǎn)速的提高，慣性負荷會成為激振力的主要組成部分，且激振力的頻率也隨之提高[5]。連桿機構(gòu)各構(gòu)件的慣性負荷與原動構(gòu)件轉(zhuǎn)速的平方成正比，機械速度的增加，連桿構(gòu)件柔度的加大會導(dǎo)致變形增加，使得機構(gòu)控制精度產(chǎn)生誤差，出現(xiàn)高速與高精度之間的矛盾，傳統(tǒng)的多剛體動力學已無法揭示柔性結(jié)構(gòu)耦合動力學特性[6]。對于并聯(lián)柔性機構(gòu)的耦合動力學特性的研究已取得了系列的研究成果，然而對于高速柔性機構(gòu)的彈性振動與誤差耦合機理以及對控制精度的影響等問題的研究較少，主要原因是對于并聯(lián)柔性機構(gòu)的標定策略不完善，且執(zhí)行終端無法實時反饋其空間的實際坐標；而高速并聯(lián)測量機通過其高精度測頭可獲取測頭中心的實際坐標。因此，高速運動下建立精確并聯(lián)測量機的柔性動力學模型，尋求一種適用于柔性體變形運動的離散方法，解析柔性體彈性振動變形對系統(tǒng)精度的影響，為解決目前高速機構(gòu)存在的高速與高精度之間的矛盾提供了理論基礎(chǔ)，具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價值。

針對并聯(lián)測量機，將柔性連桿作歐拉貝努利假設(shè)，基于彈性梁變形理論，采用Galerkin模態(tài)截斷法離散彈性梁連續(xù)體動力學模型，結(jié)合Hamilton最小作用原理，對比分析了傳統(tǒng)動力學模型與考慮幾何線性耦合動力學模型中并聯(lián)測量機柔性結(jié)構(gòu)連桿的振動特性，闡述了傳統(tǒng)動力學模型中出現(xiàn)動力負剛化的原因，解析了高速下彈性變形與誤差的耦合關(guān)系，提出了調(diào)節(jié)黏滯摩擦系數(shù)降低高速橫向一階振動耦合誤差的方法，并驗證所提出方法的有效性和可行性。

2　并聯(lián)測量機結(jié)構(gòu)及運動學建模

并聯(lián)測量機由平面6桿并聯(lián)機構(gòu)、高精密移動升降臺和一維測頭等組成，如圖1所示。

圖1　并聯(lián)測量機Fig.1　Parallel Measuring Machine

基座D1、D2和D3分別固定于邊長為HD的等邊三角平臺的3個頂點處，三角平臺由3個高度為H的支柱支撐，三角平臺幾何中心在升降臺中心軸線上，測桿長度為Lc，固定于3條支鏈的終端中心處。3個驅(qū)動副分別安置于3個基座，通過驅(qū)動副的轉(zhuǎn)動帶動被動桿進而實現(xiàn)被控終端O在XOY平面內(nèi)的平動，結(jié)合升降臺的移動，實現(xiàn)被測工件的三維檢測。為便于分析，將三角平臺投射到XOY平面內(nèi)，如圖2所示。

圖2　并聯(lián)測量機的坐標系Fig.2　Coordinate system of Parallel Measuring Machine

D1和D2分別位于Y軸和X軸上，B1、B2和B3為被動關(guān)節(jié)所在位置。6個桿件的理論長度分別為LD1、LD2、LD3、LB1、LB2、LB2和LB3，Q(xo,yo)為控制終端的坐標，θDi(i=1,2,3)和θBi(i=1,2, 3)分別為主動關(guān)節(jié)和被動關(guān)節(jié)處與X軸的夾角，其中θDi(i=1,2,3)為驅(qū)動角，θBi(i=1,2,3)為被動角。

(1)

又：

(2)

將式(2)代入式(1)，整理可得：

(3)

簡化式(3)得:

(4)

由式(4)可求解得:

(5)

當基座坐標Di(xDi、yDi)、驅(qū)動角θDi(i=1,2,3)和LD1、LD2、LD3、LB1、LB2、LB3已知的條件下，即可求解終端O的坐標。由于所研究的測量機高速下的彈性振動來源于并聯(lián)機構(gòu)的運動，后續(xù)耦合誤差分析是忽略了結(jié)構(gòu)誤差和驅(qū)動副誤差，只研究自身高速彈性梁橫向一階振動與誤差的耦合，故只給出并聯(lián)機構(gòu)終端的運動學模型。

3　并聯(lián)測量機柔性動力學建模

3.1彈性梁運動學分析

在高速運動下，柔性結(jié)構(gòu)中的柔性體在其自身變形的同時還存在自身變形與工作范圍內(nèi)運動相互耦合產(chǎn)生彈性體耦合振動[4]。

圖3　彈性梁運動學坐標系Fig.3　Kinematic coordinate system of flexible elastic beam

圖3中，e0為慣性基，ef為固結(jié)在未變形彈性梁中線上的浮動基，r0為浮動基在慣性基下的矢徑，ρ0為未變形梁非中線上任意點S在浮動基下的矢徑，κ為變形位移。由空間矢量法可得:

r=r0+ρ+κ,

(6)

梁上任意點速度在e0下的坐標陣為:

(7)

根據(jù)彈性梁動力學理論，梁上任意一點的位移κ與對應(yīng)中線點位移有:

(8)

式中：λ1為對應(yīng)中線上點在x軸上的縱向位移，λ2為對應(yīng)中線上點在y軸上的橫向位移，λz為中線耦合變形。傳統(tǒng)混合坐標建模理論中，考慮結(jié)構(gòu)動力學中不存在大范圍轉(zhuǎn)動，忽略了中線耦合變形λz對系統(tǒng)動力學的影響。由于并聯(lián)測量機在高速運動下進行大范圍測量，故必須考慮中心變形對系統(tǒng)動力學性能和精度的影響。

3.2彈性梁耦合動力學建模

慣性力所做虛功為：

(9)

其中：γ為彈性梁密度，A為等截面梁的面積，l為梁的長度。

由式(2)～(4)可得：

δW=δW0+δWz,

(10)

式中：δW0為不考慮中線耦合變形所做的虛功，δWz為中線耦合變形所做的虛功，其中：

歐拉-貝努利梁不考慮剪切應(yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)變能，設(shè)彈性梁是由正交各向同性線性材料構(gòu)成[12]。則有:

(11)

式中:E、εxx分別為材料的彈性楊氏模量和x方向的正應(yīng)變。

考慮幾何非線性影響，應(yīng)變與幾何非線性關(guān)系為：

(12)

(13)

式中:I為截面轉(zhuǎn)動慣量，

Π2在動力學方程中以彈性力的形式出現(xiàn)，與大范圍轉(zhuǎn)動沒有直接的聯(lián)系[14]。只考慮線性彈性模型，故其高速下的變形能為：

(14)

基于Galerkin模態(tài)截斷法，假設(shè)彈性梁變形位移為:

?=φq,

(15)

其中:

由于所設(shè)計并聯(lián)測量機的彈性連桿LDi以歐拉貝努利梁為假設(shè)，其橫向尺寸遠小于縱向尺寸，故橫截面轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的縱向變形較小，可忽略不計。基于Hamilton最小作用原理有：

(16)

式中:HL為Hamilton函數(shù)，δ?為外力所做的虛功。

由式(5)、式(9)、式(10)～(11)聯(lián)立得到剛-柔耦合動力學模型為：

(17)

式中：M=M0+Mz，C=C0+Cz，D=D0+Dz，參數(shù)項Mz、Cz、Dz和Fz為考慮中線耦合的動力學模型參數(shù)項[13]。

4　彈性梁振動特性及誤差耦合分析

為便于分析高速下彈性振動對精度的影響，假定6桿并聯(lián)機器人為單自由度振動系統(tǒng)，柔性連桿選取一維彈性梁模型且彈性梁不可伸長，忽略縱向振動對橫向振動的影響，則所得柔性耦合動力學模型中只保留了質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，下面對比分析傳統(tǒng)耦合動力學模型和考慮中線耦合動力學模型的振動特性以及高速運動下產(chǎn)生的振動對測量機精度的影響。

4.1一維彈性梁橫向振動動力學求解

并聯(lián)測量機由平面6個連桿并聯(lián)機構(gòu)和1個高精密移動平臺組成，6連桿在XOY平面轉(zhuǎn)動，取其滿足邊界條件橫向振動的一階假設(shè)模態(tài)：

φ21=sin(πx/2l).

(18)

柔性機構(gòu)無外力作用下，傳統(tǒng)的耦合動力學和考慮中線耦合動力學模型為：

(19)

(20)

4.2一階橫向振動特性分析

表1　并聯(lián)測量機系統(tǒng)參數(shù)

(a) w=100 rad/s 　　　　　 (b) w=300 rad/s

(c) w=500 rad/s 　　　　　　 (d) w=700 rad/s圖4　不同角速度下橫向一階振動曲線Fig.4　Lateral modal vibration curve in different angular velocity

由圖4(a)和圖4(b)可看出：當角速度不是很高時，傳動動力學模型和中線耦合動力學模型的振動頻率相差不大；但隨著角速度進一步增加，接近一階固有頻率時如圖4(c)所示，傳動耦合動力學的振動頻率明顯降低，而考慮了中線變形位移的耦合動力學模型的振動頻率明顯增加，大幅提高了系統(tǒng)自身的振動頻率；當角速度大于一階橫向固有頻率時，傳動耦合動力學的振動幅值出現(xiàn)離散，而本文的柔性機構(gòu)耦合動力學模型仍然呈現(xiàn)連續(xù)的周期振動波形，且系統(tǒng)振動頻率的增加越加明顯，其結(jié)果也符合實際機構(gòu)的運動狀態(tài)。

Kane對大范圍運動彈性梁進行了研究，指出傳統(tǒng)混合坐標建模方法的到的彈性梁變形無限增大的結(jié)果與實際情況相反[13]。傳統(tǒng)柔性動力學模型中出現(xiàn)高速下彈性梁振動離散的原因是動力剛度產(chǎn)生“負剛化”。

為了精確獲得并聯(lián)測量機的驅(qū)動連桿角速度與動力剛度關(guān)系，測試了從100～600 rad/s運行時，兩種動力學模型中速度與動力剛度的耦合關(guān)曲線，如圖5所示。

由圖5的角速度與動力剛度耦合曲線可知：傳動動力學剛度隨著角速度增加，動力剛度逐漸降低，當角速度達到549.2 rad/s時，動力剛度值為-6 531，出現(xiàn)“動力負剛化”問題，進而產(chǎn)生了如圖4(d)中高速振動幅值離散現(xiàn)象，也是基于傳統(tǒng)混合坐標法無法研究高速下精度與速度耦合關(guān)系的根本原因。影響并聯(lián)測量機精度的主要因素來自于結(jié)構(gòu)誤差，研究高速下速度與精度的耦合必須保證機構(gòu)具備高剛度特性，則除柔性連桿材料的選擇之外，其連桿長度對動力剛度的影響也是需要明確的，同時，連桿的加工誤差正是影響精度的主要誤差源之一。故這里測試了柔性連桿從0.5～4.5 m時，不同速度下系統(tǒng)動力剛度的變化。

圖5　角速度與動力剛度耦合曲線Fig.5　Coupling curve of angular velocity and dynamic stiffness

表2　柔性連桿長度與動力剛度耦合數(shù)據(jù)

表2數(shù)據(jù)顯示中線耦合動力學模型的動力剛度低速下，系統(tǒng)固有剛度占主導(dǎo)，傳統(tǒng)和中線耦合動力剛度曲線相差不大；當角速度逐漸提高，接近系統(tǒng)固有頻率時，耦合動力學的轉(zhuǎn)動剛度大幅增高，0.5 m柔性連桿從100 rad/s提高至600 rad/s時，系統(tǒng)整體動力剛度值由2.965×105增加至6.972×105；連桿為4.5 m時，系統(tǒng)整體動力剛度值由0.119×105增加至4.126×105?？梢姡S著連桿長度的增加，高速運動下，系統(tǒng)具有較高的動力剛度，易實現(xiàn)平穩(wěn)控制。

圖6　柔性連桿長與動力剛度耦合曲線Fig.6　Coupling curve of flexible rod and dynamic stiffness

圖6測試的動力剛度曲線，在穩(wěn)定速度下，系統(tǒng)動力剛度與柔性連桿長度的增加而降低；隨著彈性梁的長度增加，系統(tǒng)的固有剛度越小，轉(zhuǎn)動剛度占主導(dǎo)，且轉(zhuǎn)動速度的增加，轉(zhuǎn)動剛度增加比例越大，呈現(xiàn)“動力剛化”，4.5 m彈性連桿600 rad/s時的動力剛度4.126×105是0.5 m彈性梁100 rad/s時的1.38倍?？梢姡咚傧碌霓D(zhuǎn)動剛度為并聯(lián)測量機提供很高的動力剛度；而傳統(tǒng)動力學模型中動力剛度曲線會出現(xiàn)負剛度，且系統(tǒng)振動頻率降低很快，易導(dǎo)致動力負剛化，振動離散失穩(wěn)。

4.3一階橫向振動與誤差耦合

為解決高速與高精度的矛盾，首要解析高速下彈性振動與誤差的耦合機理。并聯(lián)測量機的移動副(P副)與并聯(lián)機構(gòu)不產(chǎn)生任何的振動耦合，故可簡化為分析并聯(lián)機構(gòu)連桿的振動與檢測精度耦合關(guān)系。

為便于分析，只考慮彈性振動誤差，忽略結(jié)構(gòu)誤差和驅(qū)動角誤差，將式(5)、式(13)、式(15)、式(16)聯(lián)立，可得到連桿L為0.5 m時，不同角速度下兩種動力學模型的橫向一階振動與測量誤差的耦合曲線，采樣時間為0.01 s。

圖7　w=100 rad/s時振動與誤差耦合曲線Fig.7　Coupling curve of vibration and error when w=100 rad/s

圖7中, 由于只考慮一階橫向振動，忽略結(jié)構(gòu)誤差和驅(qū)動誤差，當連桿端點振動至原點時，出現(xiàn)耦合誤差為0的情況。當驅(qū)動角速度為100 rad/s時，傳動與中線耦合動力學模型的誤差曲線相差不大，兩種動力學模型的振動耦合最大誤差分別為27.4 μm和26.3 μm。

圖8　w=300 rad/s時振動與誤差耦合曲線Fig.8　Coupling curve of vibration and error when w=300 rad/s

圖9　w=500 rad/s時振動與誤差耦合曲線Fig.9　Coupling curve of vibration and error when w=500 rad/s

圖8和圖9證明了兩種動力學模型的振動耦合誤差被不同程度的放大。角速度增至300 rad/s時，中線耦合動力學振動耦合誤差被放大至28.6 μm，傳統(tǒng)動力學振動耦合誤差為95.4 μm。當轉(zhuǎn)動角速度進一步增加到500 rad/s，傳動動力學振動耦合誤差曲線增至382 μm，提高了一個數(shù)量級；中線耦合動力學振動耦合誤差僅為29.4 μm，相比低速100 rad/s時誤差被提高了3.1 μm，其原因是隨著速度增加，轉(zhuǎn)動剛度所占比重越大，固有剛度越來越小，系統(tǒng)剛度也增加。因此，系統(tǒng)振動頻率被大幅提高，有效抑制了高速下彈性振動幅值的離散。

4.4高速下彈性振動耦合誤差分析

明確了振動與誤差的耦合關(guān)系，為了進一步降低或抑制高速振動誤差對精度的影響，提出通過適當增加粘滯摩擦系數(shù)來降低振動誤差。在并聯(lián)測量機工作過程中，驅(qū)動角速度不為零，該關(guān)節(jié)就存在黏滯摩擦力的作用。Hensen和Kostic提出的非線性摩擦力模型，其中黏滯摩擦力為:

(21)

(22)

應(yīng)用求解式(20)相同的初始條件和系統(tǒng)參數(shù)，測試了角速度為300 rad/s時，黏滯摩擦系數(shù)從0.4調(diào)節(jié)至1.3得到的增加黏滯摩擦系數(shù)后的振動耦合誤差曲線，如圖10所示。

圖10　調(diào)節(jié)黏滯摩擦系數(shù)后的振動耦合誤差曲線Fig.10　Vibration coupling error curve after adjusting viscous friction coefficient

當fvi分布在1.1～1.3時，振動誤差曲線呈紅色，其誤差值已超出了增加前的誤差；fvi=1.0時，誤差曲線接近增加前的振動耦合誤差；fvi在0.6～0.9時，誤差曲線呈綠色，其增加黏滯摩擦后，降低了振動耦合誤差，并使其最大誤差控制在17～27 μm；fvi在0.4～0.5時，振動耦合最大誤差進一步降低到11～15 μm?？梢姡m當調(diào)節(jié)黏滯摩擦系數(shù)有利于降低高速下柔性連桿的振動誤差，有利于提高測量機的檢測精度。

5　結(jié)　論

在高速運動下，傳統(tǒng)混合坐標法建立的柔性結(jié)構(gòu)耦合動力學模型無法準確反映運動和誤差的耦合關(guān)系。當速度達到549.2 rad/s時，動力剛度值為-6 531，出現(xiàn)“動力負剛化”，振幅離散失穩(wěn)，故必須考慮柔性結(jié)構(gòu)體中線變形位移對測量精度的影響；實現(xiàn)高速平穩(wěn)運動，必須保證系統(tǒng)的具有較高的動力剛度。柔性連桿長度的增加雖然能夠提高系統(tǒng)的動力剛度，但放大了阿貝誤差，而驅(qū)動角誤差也會被連桿長度逐級放大。在忽略了結(jié)構(gòu)誤差和驅(qū)動角誤差的基礎(chǔ)上，并聯(lián)測量機的0.5 m柔性驅(qū)動桿在角速度為500 rad/s時，橫向一階自身振動的耦合誤差已達到29.4 μm。若綜合結(jié)構(gòu)誤差，其測量誤差會進一步增加。因此，柔性連桿的選取顯得尤為關(guān)鍵，影響了機構(gòu)整體的動力剛度和精度；基于中線耦合動力學模型，通過適當調(diào)整黏滯摩擦系數(shù)，可降低高速下橫向一階振動耦合誤差。當分布0.4～0.5時，將振動耦合誤差控制在15 μm以內(nèi)，相比增加前28.6 μm的誤差至少提高了13.6 μm。因此，合理調(diào)整黏滯摩擦系數(shù)來降低高速下彈性振動產(chǎn)生的誤差，有助于解決高速與高精度之間的矛盾。

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趙磊(1983-)，男，吉林遼源人，博士，講師，2012年于天津大學獲得博士學位，主要研究方向智能三坐標測量和機電一體化技術(shù)。E-mail:leizhaotjut@163.com

趙新華(1962-)，男，博士，教授，2000年于天津大學獲得博士學位，主要研究方向為機器人技術(shù)和機電一體化技術(shù)。Email:xinhuazhao@tjut.edu.cn

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Flexible dynamic modeling and error coupling of parallel measuring machine

ZHAO Lei1, ZHAO Xin-hua1, ZHOU Hai-bo1,2*,WANG Shou-jun1, Niu Xing-hua1

(1. Tianjin Key Laboratory of Design and Intelligent Control of Advanced Mechatronical System,SchoolofMechanicEngineering,TianjinUniversityofTechnology,Tianjin300384,China;2.Schoolofmechanicengineering,JiamusiUniversity,Jiamusi154007,China)*Correspondingauthor,E-mail:haibo_zhou@163.com

To solve the contradiction between speed and precision for a high speed mechanism, the flexible problem of a 3-RR-P parallel measuring machine was researched. On the basis of the elastic beam kinematics theory and Galerkin modal truncation method, a kinematics deformation model of one-dimensional elastic beam was established. Then, a flexible rod was assumed to be Euler-Bernoulli beam, the flexible structure coupling dynamics model considering the deformation of midline was built based on Hamilton principle. Finally, the measuring error generated by vibration of elastic beam was tested at different speeds based on midline coupling dynamics model. A method to reduce vibration coupling error by adjusting reasonably the viscous friction coefficient was proposed to improve the test accuracy. Experiment results show that the max lateral one-order coupling error is 28.6 μm when angular velocity comes to 300 rad/s in ignoring structure errors. Moreover, when viscous friction coefficient is adjusted to be 0.4-0.5, the vibration coupling error is reduced to less than 15 μm, reducing by 13.6 μm as compared to that of the previous adjustment. These data have been verified to be effective and feasible for solving the contradiction between high speed and high precision. It offers a foundation for research on the coupling principle between high order elastic vibration and accuracy.

parallel measuring machine; flexible dynamics;modeling; high-order elastic vibration; coupling error

2016-05-10；

2016-06-21.

國家自然科學基金資助項目(No.51275353,No.51275209);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃重點項目(No.14JCZDJC39100);天津市高等學?？萍及l(fā)展基金資助項目(No.20140401)

1004-924X(2016)10-2471-09

TP242.6;TH112

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2471