王建宏，朱永紅

（景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電系，江西 景德鎮(zhèn)333403）

兩自由度控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識

王建宏，朱永紅

（景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電系，江西 景德鎮(zhèn)333403）

研究閉環(huán)條件下非線性系統(tǒng)對象存在時，非線性控制器和線性控制器的數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識問題。為避免對非線性系統(tǒng)的建模，對于非線性控制器的設(shè)計(jì)，將其轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)在某基函數(shù)展開下的辨識；對于線性控制器的設(shè)計(jì)，引進(jìn)虛擬參考反饋校正思想，采用遞推最小二乘辨識法來辨識線性控制器參數(shù)。在閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，增加關(guān)于非線性系統(tǒng)的利普希茨連續(xù)性假設(shè)，定義非線性系統(tǒng)的有限增益穩(wěn)定性；推導(dǎo)需保證非線性系統(tǒng)對象的輸出為有限增益時，某特定利普希茨常數(shù)應(yīng)滿足的不等式條件；給出跟蹤誤差的上界值。最后利用某仿真算例來驗(yàn)證方法的有效性。

兩自由度；直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識；虛擬參考反饋校正；支持向量機(jī)

因控制器設(shè)計(jì)的主要困難是在于需同時考慮控制輸入和由反饋帶來的外部擾動之間的相互作用性，此相互性使得整個閉環(huán)系統(tǒng)中的某些變量間存在耦合現(xiàn)象。為避免此耦合性對控制器性能的影響，常需要引入解耦。對于控制器的設(shè)計(jì)，常采用基于模型的控制器設(shè)計(jì)策略，即事先假設(shè)系統(tǒng)中的被控對象的數(shù)學(xué)模型是已知的，控制器的設(shè)計(jì)圍繞已知的系統(tǒng)模型來展開［1］。在實(shí)際的工業(yè)控制應(yīng)用過程中，系統(tǒng)模型的數(shù)學(xué)描述是很難獲得的，獲取過程往往需要付出很大的精力和財力。

當(dāng)被控對象的模型辨識不準(zhǔn)確時，可重復(fù)建模過程，直至得到滿意的模型。此復(fù)雜過程可敘述為:模型辨識—模型檢驗(yàn)—模型辨識—模型檢驗(yàn)—控制器設(shè)計(jì)。其中模型辨識是屬于系統(tǒng)辨識范疇，其過程是僅利用整個閉環(huán)系統(tǒng)的輸入—輸出觀測數(shù)據(jù)對來辨識系統(tǒng)。為簡化控制器設(shè)計(jì)的建模過程，嘗試直接利用輸入—輸出觀測數(shù)據(jù)對設(shè)計(jì)控制器，繞開系統(tǒng)對象的建模。此思路即為直接數(shù)據(jù)驅(qū)動的含義，即不僅利用數(shù)據(jù)來驅(qū)動整個閉環(huán)系統(tǒng)，還讓數(shù)據(jù)來給出合適控制器的大致概貌。

在閉環(huán)系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)對象為非線性形式時，對于非線性控制器的設(shè)計(jì)，需要深入研究非線性系統(tǒng)的本質(zhì)；對于線性控制器的設(shè)計(jì)可采用成熟的方法。文獻(xiàn)［1］采用虛擬參考反饋校正思想，將非線性控制器建模成輸出觀測數(shù)據(jù)序列的直接加權(quán)和形式，采用最優(yōu)必要條件來辨識加權(quán)值。文獻(xiàn)［2］采用數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)法來設(shè)計(jì)非線性控制器，并在集員辨識框架下，定義多個總體和局部誤差來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［3］在非線性系統(tǒng)滿足某些嚴(yán)格塊因果形式下，設(shè)計(jì)虛擬參考反饋式的非線性控制器。文獻(xiàn)［4］考慮在噪聲存在下，稀疏非線性控制器的重構(gòu)；文獻(xiàn)［5］采用最優(yōu)化方法分析機(jī)械大生產(chǎn)下能源發(fā)動機(jī)的非線性控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［6］分析可持續(xù)智能交通的高速實(shí)時非線性控制。文獻(xiàn)［7］提出非線性系統(tǒng)的集員辨識；文獻(xiàn)［8］考慮非線性系統(tǒng)集員辨識的模型質(zhì)量評估性；文獻(xiàn)［9］分析非線性時間序列的集員預(yù)測；文獻(xiàn)［10］提出非線性集員辨識的數(shù)據(jù)濾波設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)［11］分析非線性函數(shù)的稀疏辨識及參數(shù)化的集員辨識最優(yōu)性分析；文獻(xiàn)［12］對非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)直接濾波處理，提出最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)方法。所有關(guān)于非線性系統(tǒng)的集員辨識及非線性控制器設(shè)計(jì)都為本文的理論部分打下牢固基礎(chǔ)。

研究閉環(huán)條件下，非線性系統(tǒng)對象存在時，非線性控制器和線性控制器的數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識設(shè)計(jì)問題。即如何僅利用閉環(huán)系統(tǒng)的輸入-輸出觀測數(shù)據(jù)對直接設(shè)計(jì)非線性控制器和線性控制器，而無需非線性系統(tǒng)對象的模型。對于非線性控制器的設(shè)計(jì)，將其轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)在某種基函數(shù)展開式下的辨識問題。當(dāng)基函數(shù)未知時，對于簡化的優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)增加關(guān)于預(yù)測誤差的約束條件。對于約束最優(yōu)化問題，從基-對偶角度考慮其最優(yōu)解，并分析最優(yōu)解的統(tǒng)計(jì)有偏性。為避免基函數(shù)的先驗(yàn)信息，將支持向量機(jī)引進(jìn)非線性系統(tǒng)辨識中。支持向量機(jī)在無需施加任何關(guān)于動力系統(tǒng)和未知非線性的先驗(yàn)信息下，可辨識估計(jì)出目標(biāo)系統(tǒng)。文獻(xiàn)［13］指出支持向量機(jī)可看作一種特殊的核函數(shù)法，且其核函數(shù)可由某些回歸矢量構(gòu)成；文獻(xiàn)［14］將此聯(lián)合法應(yīng)用于多輸入多輸出Hammerstein模型的參數(shù)辨識；文獻(xiàn)［15］卻將支持向量機(jī)與預(yù)測誤差法相結(jié)合，并用以解決復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)在閉環(huán)反饋條件下的參數(shù)辨識問題。在非線性控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識中，將由線性回歸矢量組成的矩陣定義為Grammian矩陣，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論［16］中的Mercer定理，將Grammian矩陣表示成無需任何關(guān)于回歸矢量先驗(yàn)信息下的核函數(shù)。對于反饋通道中線性控制器的設(shè)計(jì)問題，引進(jìn)虛擬參考反饋校正思想［17］，在無需建模非線性系統(tǒng)對象模型條件下，僅僅使用觀測數(shù)據(jù)序列對來保證閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能跟蹤某個期望給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)。對于參數(shù)化的PID線性控制器，提出采用遞推最小二乘辨識法來辨識線性控制器參數(shù)［18］。在閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，增加對于非線性系統(tǒng)的利普希茨連續(xù)性假設(shè)［19］，定義非線性系統(tǒng)的有限增益穩(wěn)定性概念；推導(dǎo)出保證非線性系統(tǒng)對象的輸出為有限增益穩(wěn)定性時，某特定利普希茨常數(shù)所應(yīng)滿足的不等式條件；給出跟蹤誤差的上界值。

1 問題描述

考慮閉環(huán)條件下，前饋非線性控制器和反饋線性控制器同時作用于單輸入單輸出離散時間非線性系統(tǒng)，其中系統(tǒng)對象和前饋控制器都是未知的非線性形式，反饋控制器是未知的線性形式。兩自由度閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Closed loop feedbak system structure

圖1中S表示非線性系統(tǒng)對象模塊，Knl表示前饋非線性控制器，Klin表示反饋線性控制器，u（t）表示系統(tǒng)對象的輸入變量或兩自由控制器的輸出變量，y（t）表示整個閉環(huán)系統(tǒng)的輸出變量，ε（t）表示作用于系統(tǒng)對象S的外部干擾量。r（t）表示整個閉環(huán)系統(tǒng)的輸入?yún)⒖夹盘枺瑄nl（t）表示非線性控制器Knl的輸出變量，ulin（t）表示線性控制器Klin的輸出變量，σ（t）表示誤差變量或跟蹤誤差，其作為反饋線性控制器Klin的輸入變量。

將圖1中的非線性系統(tǒng)對象模塊描述為

雖然非線性函數(shù)g是未知的，但S左右兩端的輸入和輸出變量可在任意的離散時刻處利用物理裝置來測取。即可獲取的觀測數(shù)據(jù)集為，其中N表示觀測數(shù)據(jù)總個數(shù)。由圖1可見u（t）是由非線性控制器Knl的輸出和線性控制器Klin的輸出相加而得，即u（t）=unl（t）+ulin（t）。兩自由度控制器分別描述為

非線性控制器Knl位于復(fù)合控制中，其目的是用于穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，而線性控制器Klin位于反饋控制中，通過反饋誤差作用來保證降低閉環(huán)誤差，使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的實(shí)時跟蹤性能。

2 非線性控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識

2.1 模型逆方法的缺點(diǎn)

非線性控制器可直接采用模型逆方法來獲取，設(shè)非線性函數(shù)g的辨識模型為

其中規(guī)范常數(shù)ρy和ρu分別定義為

u≥0為設(shè)計(jì)參數(shù)，用以折中跟蹤精度和試驗(yàn)的復(fù)雜程度。由式（3）和式（4）可知，模型逆方法是首先利用機(jī)理分析或系統(tǒng)辨識方法來得到非線性系統(tǒng)對象模塊S的辨識估計(jì)模型，再分別通過求解各個時刻處的一個最優(yōu)化問題來得到各個時刻處時的非線性控制器形式unl（t）。但要得到辨識模型是復(fù)雜過程，為此繞開辨識模型，采用直接數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法來設(shè)計(jì)非線性控制器Knl（r（t））。

非線性控制器Knl（r（t））的輸出變量unl（t）可通過采集裝置來獲取其集信號，而Knl（r（t））的輸入變量r（t）在某給定期望閉環(huán)傳遞函數(shù)M下，利用虛擬參考反饋校正思想有

定義一個虛擬的輸入?yún)⒖甲兞繛?/p>

2.2 最小二乘法

對非線性控制器Knl（y（t））采用參數(shù)化的基函數(shù)展開形式為

式中:ψi為利普希茨連續(xù)基函數(shù)，系數(shù)θi∈R為未知待辨識的參數(shù)，M為基函數(shù)的總個數(shù)。定義如下的未知參數(shù)矢量θ和回歸矢量φ（t）為

式（6）的參數(shù)化形式可改寫成線性回歸形式為

式中e（t）表示預(yù)測誤差，在采用一組基函數(shù)作用下，控制器的設(shè)計(jì)可轉(zhuǎn)化為一個未知參數(shù)矢量θ的辨識。對于式（7）中的辨識，當(dāng)回歸矢量φ（t）已知時，采用最小二乘法的辨識步驟如下。

算法1

步3:通過求解最小化目標(biāo)準(zhǔn)則函數(shù)J1（θ）來得到參數(shù)化控制器中的未知參數(shù)矢量估計(jì)值θ，即

步4:選擇合適的若干充分不等式條件，得以保證非線性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對于式（9）的最小化運(yùn)算，利用最優(yōu)必要條件可得

其中U和Φ分別定義為

因在算法1的計(jì)算過程中，需要已知（6）式的基函數(shù)族。若基函數(shù)族未知，以至于回歸矢量φ（t）和回歸矩陣也是未知的，則算法1的使用已不再適用。為解決基函數(shù)族未知下未知參數(shù)矢量的辨識，此時可引入支持向量機(jī)的概念來近似替換由線性回歸矢量的乘積所構(gòu)成的Grammian矩陣。

2.3 最小二乘支持向量機(jī)

根據(jù)線性回歸關(guān)系式（7），建立性能指標(biāo)函數(shù)的緊湊形式為

由式（28）和式（18）可見，當(dāng)引進(jìn)支持向量機(jī)的核函數(shù)后，非線性函數(shù)可表示成核函數(shù)的加權(quán)和形式。因核函數(shù)可直接由輸入-輸出觀測數(shù)據(jù)對序列構(gòu)成，加權(quán)和形式中起關(guān)鍵逼近作用的量是對偶變量α。而對偶變量α可由式（25）來表示，且式（25）中的Grammian矩陣同樣可由所定義的核函數(shù)來替換。其具體的最小二乘支持向量機(jī)辨識過程可歸納如下。

算法2

步1:令τ←0；

步2:根據(jù)（24）式經(jīng)核函數(shù)K來計(jì)算Grammian矩陣G；

步3:經(jīng)（22）式估計(jì)對偶矢量α（0）；

步4:重復(fù)過程；

步5:τ←τ+1；

步7:重復(fù)步6過程，直至α（τ）收斂或變化的范圍非常小；

將式（28）中的y（t）替換成M-1y（t）即得非線性控制器Knl（M-1y（t））。

3 線性控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識

對于反饋線性控制器Klin的設(shè)計(jì)，采用虛擬參考反饋校正思想，利用線性控制器Klin兩端的采集觀測序列來校正線性控制器。根據(jù)虛擬參考反饋校正的思想，將圖1所示的閉環(huán)反饋系統(tǒng)抽取處局部相關(guān)的部分，該局部部分僅包含線性控制器Klin和非線性系統(tǒng)對象模塊S的閉環(huán)部分結(jié)構(gòu)見圖2所示。

圖2 虛擬參考閉環(huán)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Virtual reference closed loop feedback system structure

圖2中包含給定期望的閉環(huán)傳函M，當(dāng)采集輸出數(shù)據(jù)y（t），可定義一個虛擬的參考信號使得

定義參考跟蹤誤差為

將此參考跟蹤誤差應(yīng)用于虛擬試驗(yàn)中控制器Klin的輸出信號為

由圖1可知，ulin（t）可表示為

控制器Klin的輸入和輸出數(shù)據(jù)分別為σ（t）和δu（t）。線性控制器Klin的參數(shù)化形式可取為

式中:β表示兩已知的線性離散時間傳遞函數(shù)矢量；η表示維數(shù)為n的未知參數(shù)矢量。利用輸入和輸出觀測數(shù)據(jù)和參數(shù)化線性控制器形式式（33），可通過如下的優(yōu)化問題來求解未知的參數(shù)矢量η

式中的未知參數(shù)矢量η可采用常見的最小二乘法來辨識為

算法3

式中對應(yīng)的遞推最小二乘辨識算法為

算法4

4 閉環(huán)穩(wěn)定性分析

將圖1所示的非線性閉環(huán)反饋系統(tǒng)描述為

式中非線性控制器Knl和線性控制器Klin均為滿足利普希茨連續(xù)性的兩函數(shù)，且非線性函數(shù)g頁滿足該利普希茨連續(xù)性。在利普希茨連續(xù)的假設(shè)條件下，非線性函數(shù)g可描述為

其中

定義殘差函數(shù)為殘差函數(shù)也滿足利普希茨連續(xù)性，即存在一個非負(fù)常數(shù)γy使得，對于不同的y和y′有

為分析非線性閉環(huán)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，首先需給出有限增益穩(wěn)定性的概念定義。

定義1 在輸入u（t），輸出y（t）和噪聲ε（t）下，非線性系統(tǒng)為有限增益穩(wěn)定的條件是:存在有限的非負(fù)常數(shù)Γu，Γε和Λ使得成立

根據(jù)式（3）可見:在式（37）所示的非線性控制器和線性控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識形式下，得到一個以y（t）和r（t）為輸入，為輸出的動態(tài)系統(tǒng)，且該動態(tài)系統(tǒng)在定義1的基礎(chǔ)上滿足有限增益穩(wěn)定性，即存在三個有限非負(fù)常數(shù)Γy，Γr和Λf使得成立

利用上述定義和多個不等式條件下，非線性閉環(huán)反饋系統(tǒng)的有限增益穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)果可歸納為定理2。

定理2 對于任意的初始條件y（0），（37）式所代表的兩自由度控制器的非線性閉環(huán)反饋系統(tǒng)滿足有限增益穩(wěn)定性的充分條件是

此時非線性閉環(huán)反饋系統(tǒng)的輸出特性滿足不等式

證明 將圖1所示的反饋系統(tǒng)輸出描述為

對式（43）左右兩端同時取范數(shù)可得到不等式

考慮殘差函數(shù)

將式（46）代入至式（44）的第三個等式中可得

將式（47）代入至式（45）中可得

因式（48）對所有的都成立，即有

對上式整理要得到式（43）的充分條件是

5 仿真算例

考慮圖1所示的兩自由度控制器的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。非線性系統(tǒng)對象描述為

非線性函數(shù)f定義為

前饋非線性控制器Knl定義為

線性控制器Klin定義為

兩自由度控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為前饋非線性控制器Knl中的分段函數(shù)的辨識和線性控制器Klin中的5個未知參數(shù)估計(jì)值的辨識。ε（t）為白噪聲，采集觀測數(shù)據(jù)集，系統(tǒng)利用N=1 000個白色偽隨機(jī)二元輸入序列來激勵，激勵的初始條件取為0值。參數(shù)化前饋非線性控制器為:unl（t）=η1φ1T（r（t））+η2r（t-1）。

其中函數(shù)φ1（y（t））顯式地定義為y（t）的函數(shù)形式。特征映射φ1先驗(yàn)未知，采用徑向基函數(shù)核來代表非線性。因仿真的作用是表征核函數(shù)下非線性系統(tǒng)的辨識精度，對于參數(shù)化的前饋非線性控制器，采用步1到步8的辨識算法。在算法的實(shí)施過程中，徑向基函數(shù)與其中的兩參數(shù)σ2可用于估計(jì)基函數(shù)φ1。此時可令參數(shù)為:σ2=1.5。

仿真過程中，因基函數(shù)φ1是顯式地固定的，參數(shù)η2可直接辨識，而參數(shù)η1卻無法直接估計(jì)，且僅函數(shù)Knl=η1φ1T可計(jì)算出來。利用徑向基函數(shù)和由步7得到的對偶矢量直接將非線性函數(shù)表示成核函數(shù)加權(quán)和形式。其中核函數(shù)加權(quán)和形式與其實(shí)際形式間的比較如圖3所示。由此圖可知，辨識曲線可近似地逼近于原實(shí)際曲線。此即表明，辨識估計(jì)的核函數(shù)加權(quán)和形式可無限地逼近原非線性函數(shù)。

線性控制器Klin為常見PID控制器，其共含有5個未知參數(shù)值需要辨識估計(jì)出來。對于由虛擬參考反饋校正控制下的優(yōu)化問題式（34），利用文中遞推辨識估計(jì)算法來不斷地進(jìn)行迭代求解。在迭代算法的初始化時，選取初始值都為0。5個未知參數(shù)估計(jì)值隨著迭代步驟次數(shù)的變化過程見圖4所示，從圖4可知:當(dāng)?shù)螖?shù)增大到45次迭代時，各個具體的參數(shù)值將無限地趨近于它們各自對應(yīng)的真實(shí)值。

圖3 非線性函數(shù)的辨識估計(jì)Fig.3 The identification estimation of nonlinear function

圖4 5個未知參數(shù)估計(jì)的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of five unknown parameter estimations

6 結(jié)語

將非線性控制器和線性控制器同時存在于非線性閉環(huán)系統(tǒng)中，為避免對非線性系統(tǒng)的建模，考慮兩自由度控制器的直接數(shù)據(jù)驅(qū)動辨識。通過采集觀測數(shù)據(jù)采用基函數(shù)法和最小二乘法來設(shè)計(jì)兩控制器，并分析非線性閉環(huán)系統(tǒng)滿足有限增益穩(wěn)定性的充分條件。因線性控制器的施加是保證閉環(huán)跟蹤誤差始終為零，因此可深入分析閉環(huán)跟蹤誤差的誤差邊界。

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［19］DONOBO D.Recovery of space over complete representation in the presence of noise［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（1）:6-19.

Direct Data-driven Identification for Controllers with Two Degrees of Freedom

Wang Jianhong，Zhu Yonghong
（School of Mechanical and Electronic Engineering，Jingdezhen Ceramic Institute，Jingdezhen 333403，China）

In closed loop structure，the problems of direct data driven identification about nonlinear controller and linear controller are studied when one nonlinear plant exists.Without identifying the nonlinear plant，the problem of designing the nonlinear controller is changed to the nonlinear system identification under one basis function expansion.For devising the closed loop linear conroller，this paper introduces the virtual feedback tuning idea to identify the parameters of linear controller by using recursive least squares method.In closed loop structure，one Lipschitz continuous assumption of the nonliear system is added and one finite gain stability notion is defined.Then some inequalities about Lipschitz constants are derived to guarantee that the nonliear system’s output is finite gain stable.Finally，it verifies the efficiency of the proposed strategy by the simulation example results.

two degrees of freedom；direct data driven identification；virtual reference feedback tuning；support vector machine

TP273

A

1005-0523（2016）05-0065-11

（責(zé)任編輯 姜紅貴）

2016－02－23

國家自然科學(xué)基金（61563022）；江西省重大科技項(xiàng)目（20152ACB20009）

王建宏（1980—），男，副教授，博士后，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識與隨機(jī)預(yù)測控制。