黃伍德，車馳東，陳光冶（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

考慮基礎(chǔ)柔性的隔振系統(tǒng)功率流特性分析

黃伍德，車馳東，陳光冶（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

根據(jù)艦船機(jī)械設(shè)備安裝特性及隔振要求，建立包含機(jī)械設(shè)備、隔振器和柔性基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型并對(duì)其求解，得到隔振系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)及傳遞功率流計(jì)算公式，討論了隔振系統(tǒng)中設(shè)備質(zhì)量、隔振器剛度和阻尼、柔性基礎(chǔ)剛度和阻尼等參數(shù)對(duì)隔振能力的影響。理論表明，適當(dāng)增大機(jī)械設(shè)備質(zhì)量、隔振器阻尼及柔性基礎(chǔ)阻尼能提高系統(tǒng)隔振能力，較大的隔振器剛度不利于隔振，而基礎(chǔ)板柔性對(duì)隔振系統(tǒng)的影響與激勵(lì)頻率有關(guān)，并給出了柔性基礎(chǔ)隔振設(shè)計(jì)中參數(shù)選取的一般規(guī)律。

隔振；柔性基礎(chǔ)；功率流

0　引　言

對(duì)于民用船舶，振動(dòng)與噪聲直接影響到船員的舒適性及機(jī)械設(shè)備的疲勞壽命，對(duì)于軍用艦船或潛艇，則直接影響到隱蔽性和作戰(zhàn)性能。隔振是降低機(jī)械設(shè)備通過(guò)基座傳遞結(jié)構(gòu)噪聲的主要手段，艦船、潛艇等的動(dòng)力機(jī)械設(shè)備大多是通過(guò)彈性支撐，如金屬橡膠隔振器安裝在彈性甲板或柔性梁板等非剛性基礎(chǔ)上，以對(duì)振源激勵(lì)向柔性基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的傳遞進(jìn)行隔離。傳統(tǒng)隔振分析中常把甲板等安裝基礎(chǔ)視作剛體［1］，但實(shí)際上基礎(chǔ)的剛度和質(zhì)量均有限，這樣的簡(jiǎn)化會(huì)一定程度上影響到隔振設(shè)計(jì)和效果，特別是在基礎(chǔ)板耦合共振階段。

評(píng)價(jià)隔振效果的指標(biāo)主要包括力傳遞率、振級(jí)落差、插入損失和功率流傳遞率等，其中功率流將傳遞力和響應(yīng)集中考慮，擺脫了力傳遞率和振級(jí)落差在效果評(píng)估上顧此失彼的局面，因此，功率流評(píng)估方法已成為分析柔性基礎(chǔ)隔振的重要工具［2-4］。

目前常見(jiàn)的對(duì)柔性基礎(chǔ)隔振分析的方法有理論、實(shí)驗(yàn)和仿真等方法。童宗鵬等［5］對(duì)帶泵組浮筏隔振裝置的潛艇艙段建立有限元模型以分析各系統(tǒng)參數(shù)對(duì)隔振特性的影響，并做了艙段縮比模型水下試驗(yàn)驗(yàn)證，但該方法僅僅研究了一個(gè)特例，并未從理論上探尋柔性隔振的普遍規(guī)律；程廣利等［6］對(duì)基礎(chǔ)分別為固定剛體、懸浮剛體和漂浮剛體等情況的隔振效率進(jìn)行研究，分析了 3 種情況對(duì)隔振效果的影響，但該模型并未涉及基礎(chǔ)本身的變形及振動(dòng)耦合；李玉龍等［7］運(yùn)用ADAMS 軟件與有限元軟件結(jié)合，仿真了柔性基礎(chǔ)上金屬橡膠隔振器的隔振情況，分析了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響，但阻尼等計(jì)算參數(shù)或邊界條件難以確定，限制了單純的數(shù)值仿真的準(zhǔn)確度；此外，行曉亮等［8］通過(guò)電-力-聲類比方法，建立了浮筏系統(tǒng)理論模型，并采用了導(dǎo)納形式的功率流方法對(duì)該模型進(jìn)行分析。

為進(jìn)一步探尋柔性基礎(chǔ)隔振規(guī)律，建立了圓形柔性基礎(chǔ)板-隔振器-機(jī)械設(shè)備的剛?cè)狁詈细粽衲Ｐ停鶕?jù)諧波平衡原理得到系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧外激力時(shí)的基于貝塞爾函數(shù)的響應(yīng)，推導(dǎo)出通過(guò)隔振器傳入到柔性基礎(chǔ)的功率流或基礎(chǔ)的平均總動(dòng)能，并以此為評(píng)價(jià)指標(biāo)討論了設(shè)備質(zhì)量、隔振器剛度和阻尼、柔性基礎(chǔ)剛度和阻尼等參數(shù)對(duì)隔振系統(tǒng)隔振能力的影響，以期為柔性基礎(chǔ)隔振優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1　柔性圓板基礎(chǔ)上隔振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1模型描述

圖1 是設(shè)備通過(guò)減振器安裝在圓形柔性基礎(chǔ)上的示意圖，減振器通過(guò)其安裝金屬面板焊接或通過(guò)螺栓安裝在基礎(chǔ)板上。為對(duì)該模型進(jìn)行理論分析，將其簡(jiǎn)化為圖2 所示的模型，僅考慮能自由做橫向振動(dòng)的底板，將其簡(jiǎn)化為內(nèi)、外徑為 a、b 的穿孔板，板厚為h；由于幾何、邊界和激勵(lì)等的對(duì)稱性，橫向振動(dòng)的位移僅與半徑 r 有關(guān)；外徑處設(shè)為簡(jiǎn)支邊界；考慮到減振器安裝金屬板剛度較大，內(nèi)徑處邊界條件為徑向轉(zhuǎn)角為 0，剪力與隔振器的作用力平衡。對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題，由于其振幅不大，可將減振器簡(jiǎn)化為剛度系數(shù)為K，阻尼系數(shù)為的線性元件 C。機(jī)械設(shè)備看成集中質(zhì)量M，并有外激勵(lì) Fa·exp（jωt）作用在上面。

為進(jìn)一步描述和求解該模型，建立單自由度 Ox 坐標(biāo)以描述機(jī)械設(shè)備 M 的運(yùn)動(dòng)，建立坐標(biāo)系 Orw 描述柔性基礎(chǔ)板的運(yùn)動(dòng)，其中x=x（t），

圖1　機(jī)械設(shè)備安裝示意圖Fig.1　Sketch map of mechanical device installation

圖2　柔性基礎(chǔ)隔振模型Fig.2　Model of vibration isolation system with flexible foundation

基礎(chǔ)板振動(dòng)滿足振動(dòng)方程：

機(jī)械設(shè)備 M 的運(yùn)動(dòng)滿足以下方程：

隔振器的作用力為：

1.2模型求解

因此方程（5）的解可表示為 waⅠ和 waⅡ的線性組合，和分別滿足下列方程：

由于基礎(chǔ)板是圓形的，采用極坐標(biāo)形式，并考慮極軸對(duì)稱，將式（6）和式（7）改寫成：

方程（8）為零階柱貝塞爾方程，其解可表示為：

式中：A，B 為系數(shù)；J0（r），N0（r）分別為 0 階柱貝塞爾函數(shù)和零階柱諾依曼函數(shù)。

方程（9）為零階虛宗量柱貝塞爾方程，其解可表示為：

其中，G，H 為系數(shù)；I0（r），K0（r）分別為零階虛宗量柱貝塞爾函數(shù)和零階虛宗量柱諾依曼函數(shù)。

wa可表示為：

在外徑 r=b 處，位移和彎矩為 0，即

在內(nèi)徑 r=a 處，徑向轉(zhuǎn)角為 0，橫向剪力與減振器內(nèi)力平衡，即

將式（12）代入式（13）～式（16），可得

解線性方程組（17）～（20）可得 A，B，G 和H，代入式（12）得到 wa。

記基礎(chǔ)板內(nèi)徑處輸入位移阻抗為：

根據(jù)諧波平衡原理，由外激勵(lì)為 F=Fa·ejωt，可設(shè)?、基礎(chǔ)板內(nèi)徑處位移為，代入式（2）、式（3）和式（21）可得：

從而求得系統(tǒng)在外激勵(lì) F=Fa·ejωt下的響應(yīng)。

2　功率流分析

以通過(guò)隔振器傳遞到基礎(chǔ)板的功率流為評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)各因素對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的隔振效率的影響；但當(dāng)考慮基礎(chǔ)板阻尼時(shí)，傳遞到基礎(chǔ)板的功率流并不能直接反應(yīng)基礎(chǔ)板的振動(dòng)強(qiáng)度，為此，本文采用基礎(chǔ)板平均總動(dòng)能來(lái)衡量隔振系統(tǒng)的隔振效率。

2.1傳遞到基礎(chǔ)板的功率流

傳遞到基礎(chǔ)板的瞬時(shí)功率流為：

平均功率流為：

其中 T=2π/ω為振動(dòng)周期。將式（23）代入式（25）和式（26）可求得平均功率流

2.2基礎(chǔ)板平均總動(dòng)能

取圓板上（r，r+dr）的一個(gè)面元，則該面元質(zhì)量為 2πrdr·hρ，其平均振動(dòng)動(dòng)能為：

則整個(gè)圓板的平均總動(dòng)能為：

將式（12）和式（27）代入式（28）可求得基礎(chǔ)板的平均總動(dòng)能 Ek［10］。

3　頻譜分析

設(shè)定相關(guān)參數(shù)，并按上一節(jié)中方法求解傳入基礎(chǔ)板的功率流或基礎(chǔ)板總動(dòng)能，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1設(shè)備質(zhì)量的影響

圖3 是機(jī)械設(shè)備質(zhì)量取值不同時(shí)得到的功率流曲線，其中曲線 1～曲線 3 對(duì)應(yīng)的設(shè)備質(zhì)量依次遞增，從圖中可以看出，功率流曲線隨頻率增加而發(fā)生波動(dòng)，交替呈現(xiàn)出多個(gè)峰值與谷值，變化規(guī)律較復(fù)雜，這由柔性基礎(chǔ)的耦合作用引起。在絕大部分頻段內(nèi)，隨著設(shè)備質(zhì)量的增加，傳遞到柔性基礎(chǔ)上的功率流逐漸減小。

圖3　不同設(shè)備質(zhì)量下的功率流曲線Fig.3　Power flow curves with different equipment mass

3.2減振器剛度的影響

圖4 是隔振器剛度取值不同時(shí)得到的功率流曲線，其中曲線 1～曲線 3 對(duì)應(yīng)的隔振器剛度依次遞增，從圖中可看出，在絕大部分頻段內(nèi)，隨著隔振器剛度的增加，傳遞到柔性基礎(chǔ)上的功率流逐漸增大。

圖4　不同隔振器剛度下的功率流曲線Fig.4　Power flow curves with different isolator stiffness

3.3減振器阻尼的影響

圖5 是隔振器阻尼取值不同時(shí)得到的功率流曲線，其中曲線 1、曲線 2、曲線 3 對(duì)應(yīng)的隔振器阻尼依次遞增。從圖中可看出，阻尼主要是在共振峰值附近起作用，在非共振頻段，阻尼影響不大。隨著隔振器阻尼的增加，傳遞到柔性基礎(chǔ)上的功率流也隨之增大。

3.4基礎(chǔ)板剛度的影響

圖6 是基礎(chǔ)板剛度取值不同時(shí)得到的功率流曲線，其中曲線 1～曲線 3 對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)板剛度依次遞增。從圖中可看出，基礎(chǔ)板剛度對(duì)隔振系統(tǒng)共振頻率有直接影響，基礎(chǔ)板剛度越大，共振頻率越大，反之亦然。在大部分頻段，隨著基礎(chǔ)板剛度的增加，傳遞到柔性基礎(chǔ)上的功率流逐漸減小，較大的基礎(chǔ)板剛度有利于隔振設(shè)計(jì)，但需注意并非在所有頻段上都如此。

圖5　不同隔振器阻尼下的功率流曲線Fig.5　Power flow curves with different isolator damping

圖6　不同基礎(chǔ)剛度下的功率流曲線Fig.6　Power flow curves with different foundation stiffness

3.5基礎(chǔ)板阻尼的影響

當(dāng)考慮到基礎(chǔ)板阻尼時(shí)，由隔振器傳遞到基礎(chǔ)板的能量一部分會(huì)被基礎(chǔ)板材料阻尼消耗掉，剩下的才是基礎(chǔ)板振動(dòng)所具有的能量，因此，僅用傳遞到基礎(chǔ)板的功率流來(lái)衡量隔振系統(tǒng)隔振效率并不準(zhǔn)確。為了更準(zhǔn)確描述基礎(chǔ)板的振動(dòng)強(qiáng)度，本文采用基礎(chǔ)板平均總動(dòng)能作為評(píng)價(jià)隔振系統(tǒng)效率的指標(biāo)。

圖7是基礎(chǔ)板阻尼取值不同時(shí)得到的基礎(chǔ)板平均總動(dòng)能（以下簡(jiǎn)稱總動(dòng)能）曲線，其中曲線 1～曲線 3對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)板阻尼依次遞增。從圖中可看出，隨著振動(dòng)頻率的增加，總動(dòng)能也隨之增加。隨著基礎(chǔ)板阻尼的增加，總動(dòng)能逐漸降低，可見(jiàn)，增大基礎(chǔ)板阻尼有利于隔振設(shè)計(jì)。

圖7　不同基礎(chǔ)阻尼下的功率流曲線Fig.7　Power flow curves with different foundation damping

4　結(jié)　語(yǔ)

通過(guò)建立由柔性基礎(chǔ)板、隔振器及機(jī)械設(shè)備組成的耦合系統(tǒng)的模型，并分析了設(shè)備質(zhì)量、隔振器剛度及阻尼、柔性基礎(chǔ)剛度及阻尼等參數(shù)對(duì)隔振系統(tǒng)隔振效率的影響，由各計(jì)算曲線分析可得以下結(jié)論：

1）機(jī)械設(shè)備的質(zhì)量越大，傳遞到柔性基礎(chǔ)的能量越小，對(duì)系統(tǒng)隔振越有利；

2）隔振器剛度越大，傳遞到柔性基礎(chǔ)的能量越大，對(duì)隔振設(shè)計(jì)不利，應(yīng)在保證靜力要求的前提下合理降低隔振器的剛度；

3）隔振器阻尼越大，傳遞到柔性基礎(chǔ)的能量越小，對(duì)系統(tǒng)隔振越有利，且隔振器阻尼主要在系統(tǒng)固有頻率附近起作用，能有效抑制共振處峰值；

4）在大部分頻段，基礎(chǔ)板剛度越大，傳遞到柔性基礎(chǔ)上的能量越小，適當(dāng)增加基礎(chǔ)板剛度有利于隔振設(shè)計(jì)，但并非在所有頻段上都如此，因此在隔振設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分考慮外激勵(lì)頻率與基礎(chǔ)板柔性的影響；

5）基礎(chǔ)板阻尼越大，其總振動(dòng)能量越小，越有利于隔振設(shè)計(jì)。

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Study on power flow characteristics of isolation system based on flexible foundation

HUANG Wu-de，CHE Chi-dong，CHEN Guang-ye
（School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

According to the installation standards and vibration isolation requirements of ship equipments，a mathematical model of vibration isolation system consisting of equipment，isolator and flexible foundation is developed and solved，and the response and power flow formula of the system under harmonic excitation are worked out.The effects that equipment mass，isolator stiffness and damping as well as flexible foundation stiffness and damping have on the performance of the isolation system is discussed.As theoretical results show，it enhances the performance of the system to properly increase equipment mass，isolator damping or flexible foundation damping；larger isolator stiffness is not beneficial to vibration isolation；the effect of flexible foundation stiffness is related to excitation frequency.General principles of the design of vibration isolation based on flexible foundation is put forward.

vibration isolation；flexible foundation；power flow

TB535+.1

A

1672-7619（2016）06-0070-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.06.014

2015-11-16；

2015-12-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51109131）

黃伍德（1993-），男，碩士研究生，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)減振降噪。