◇　北京　左婧怡

(作者單位：北京四中)

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居安思危防患未然
——教學樓緊急疏散問題研究

◇北京左婧怡

學校的教學樓是一個人員相對集中的公共場所,學生人數(shù)多、密度大．突發(fā)事件如地震、火災等是很難預料、避免的．在意外事件發(fā)生的時候,驚慌和恐懼會造成學生疏散的無序性,并導致產(chǎn)生擁擠和踩踏,進而造成嚴重的人員傷亡．那么如何做到科學有效地疏散?下面對此進行研究．

1問題展示

圖1

以某校一座教學樓為例,平面圖如圖1,學生可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口．通過建立數(shù)學模型分析人員疏散所用最短時間．

2模型假設(shè)

為尋找較為合理的疏散撤離方案,先考慮較簡單的情形,在簡單模型基礎(chǔ)上再作進一步改進．

1) 假設(shè)每班人數(shù)相同，每2間教室距離相等．

2) 假設(shè)疏散時人們是排成單隊單列有序撤離．

3) 假設(shè)撤離人員間隔均勻且行進速度相同、不變．

4) 忽略隊列中人體厚度．

5) 假設(shè)隊列的密集程度與隊列的速度相互獨立．

3　模型建立

假設(shè)疏散撤離的隊列中人與人之間的距離是常數(shù),記為d(單位：m);隊列行進的速度也是常數(shù),記為v(單位：m·s-1)．設(shè)第i個教室中的人數(shù)為(ni+1)人(i=1,2,3,4),第i個教室門口到前一個教室的門口的距離為Li．根據(jù)假設(shè),有n1=n2=n3=n4,L1=L2=L3=L4．設(shè)教室門的寬度為D．疏散時教室內(nèi)第一個人到達教室門口所用的時間忽略不計．

在單行撤離的假設(shè)下,我們還應該考慮到人員可能重疊的情形,如當教室2的第1個撤離者到達教室1門口時,教室1內(nèi)的人還沒有疏散完畢．由于走廊寬度只允許一排隊列通過,因此需要等到教室1撤空以后教室2的隊伍再繼續(xù)前進．現(xiàn)在假設(shè)第i個教室撤離人員在撤離過程中需要等待的時間是ti(i=1,2,3,4)．對于教室2的撤離人員來說,這種情況出現(xiàn)的條件是(n1+1)d/v>(L2+D)/v,即

(n1+1)d>L2+D.

①

教室2的最后一個人到達出口所用時間是

由此可以得到這2個教室內(nèi)人員(單隊單列)完全撤離出教學樓所用時間的數(shù)學模型為

類似的,可以給出4個教室內(nèi)的人員完全撤離所用時間的數(shù)學模型:如果滿足關(guān)系式(n1+1)d≤L2+D,則必滿足(n2+1)d≤L3+D,(n3+1)d≤L4+D．

如果滿足關(guān)系式(n1+1)d>L2+D,則必滿足(n2+1)d>L3+D,(n3+1)d>L4+D.

那么,教室4的最后1個人到達出口所用時間是

由此可以得到4個教室內(nèi)人員(單隊單列)完全撤離出教學樓所用時間的數(shù)學模型為:

4　模型優(yōu)化

這是一個T關(guān)于v、d的二元函數(shù)．運用二元函數(shù)求極值的方法可以證明一定存在一個適當?shù)年犃忻芗潭群完犃行羞M速度,使得人員疏散所用的時間最短．當然,問題的具體結(jié)論還依賴于函數(shù)f(d)的具體形式,這是一個隊列行進的數(shù)學模型問題,不再贅述．

5　模型引申

實際情況中,通常教室外的走廊都是允許多列隊伍同時并行的．因此,如果在該模型中,教室外的走廊比較寬,可以容許2列隊伍同時并行,以下給出該模型的建立.

該數(shù)學模型所設(shè)的量與上述模型對比增加的量:人體厚度w,行進速度v=f(d)．

首先,如果n、L、D3個量滿足關(guān)系式(n+1)(d+w)≤L+D,易知最短的撤離時間是

當(n+1)(d+w)>L+D時,根據(jù)假設(shè),撤離是有序的,那么假設(shè)他們的撤離路線是最易想到,也是最簡單的,大致路線如圖2中黑實線箭頭所示.

圖2

根據(jù)假設(shè),各班人數(shù)n,過道長度L,以及各班撤離速度v均相同,那么當教室2撤離者到達A點時,教室3撤離者到達B點,同時教室4撤離者到達C點．由于(n+1)(d+w)>L+D,也就是說,為了不造成人群的混亂,教室3撤離人員到達B點后不能橫穿過教室2的隊伍,而需要在B點等待到教室1、2撤空后才能繼續(xù)前進．而此時教室4前方C、D2點間還可以撤離．那么就牽涉到教室4撤離者到達D點后是否需要等待的問題．

教室4撤離者到達D點后需要等待的條件是

即

(n2+1)(d+w)>L3+L4+2D.

②

若滿足式②,則教室4撤離者需要等待的時間是

若不滿足式②,即L+D<(n2+1)(d+w)≤L3+L4+2D.

即教室4撤離者到達D點后不需要等待,那么教室4最后1個撤離者到達出口所用時間是

綜上,可得4個教室內(nèi)人員(單隊2列)完全撤離出教學樓所用時間的數(shù)學模型為:

6　建模歸納

為了比較單隊單列、單隊2列2種撤離方式所用時間的多少,現(xiàn)將單對單列的數(shù)學模型模仿上述模型改進,而后將其與單隊兩列的數(shù)學模型比較．比較結(jié)果如下:

2) 當L+D<(n+1)(d+w)≤2(L+D)時,

所以單隊2列的撤離方式所用的時間更短些．

3) 當(n+1)(d+w)>2(L+D)時,

所以單隊2列的撤離方式所用的時間更短些．

結(jié)論:當(n+1)(d+w)≤L+D時,不論過道寬窄能允許幾列隊伍同時并進,撤離所用的時間是一樣的．這是因為單行道已經(jīng)足以使得撤離人員通暢撤離而不出現(xiàn)等待現(xiàn)象了;但是當(n+1)(d+w)>L+D時,雙行道能有效減少因單行道而等待的時間,撤離所用的時間就更短．這與我們的生活常識是一致的．

通過以上論述,可知要使撤離時間最短,至少應該從以下幾個方面開始改進:修建建筑物時過道應該盡量寬一些，找到最合適的隊伍密集程度和隊列行進速，根據(jù)樓層的布局結(jié)構(gòu)確定最快速的撤離路——爭取做到撤離時井然有序．

(作者單位：北京四中)