梁志鵬，李杰雄，江泓逸

(1.香港科技大學(xué) 理學(xué)院，香港 999077；2.廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院，廣東 廣州 510006)

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受限切換拓?fù)鋾r(shí)延多智能體系統(tǒng)的指數(shù)一致性

梁志鵬1，李杰雄2，江泓逸2

(1.香港科技大學(xué) 理學(xué)院，香港 999077；2.廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院，廣東 廣州 510006)

針對(duì)多智能體系統(tǒng)的一致性問題，建立一階動(dòng)力學(xué)模型，并考慮時(shí)變時(shí)延和受限拓?fù)淝袚Q，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的一致性控制器，其中有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓鶕?jù)ADT型切換信號(hào)進(jìn)行切換，并通過狀態(tài)變換將一致性問題轉(zhuǎn)化為低階差異系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題，通過構(gòu)造分段Lyapunov-Krasovskii泛函，并借助詹森不等式給出在線性矩陣不等式框架下多智能體系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)一致性的充分條件。

多智能體系統(tǒng)；指數(shù)一致性；一階積分器；時(shí)變時(shí)延；受限切換

LIANG Zhipeng1, LI Jiexiong2, JIANG Hongyi2

(1. School of Science, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong 999077, China;2. School of Finance, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou 510006, China)

多智能體系統(tǒng)的一致性問題研究得較早的是一階積分器型動(dòng)力系統(tǒng)，其中較為經(jīng)典的理論是Ren等證明了：對(duì)于一階系統(tǒng)，當(dāng)信息交互拓?fù)渲写嬖谝粋€(gè)生成樹時(shí)，所施加的控制器能保證系統(tǒng)達(dá)到漸近一致性[1]。對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，Chen等提出運(yùn)用圖論對(duì)系統(tǒng)的同步能力進(jìn)行分析[2]。上述理論均建立在固定信息交互拓?fù)涞幕A(chǔ)上。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，其研究對(duì)象通常存在通信拓?fù)淝袚Q[3]。對(duì)于多智能體網(wǎng)絡(luò)，由于個(gè)體只對(duì)局部區(qū)域內(nèi)信息作出感應(yīng)或?qū)φ系K作出反應(yīng)，網(wǎng)絡(luò)中的通信路徑可能會(huì)斷開或重聯(lián)，這導(dǎo)致系統(tǒng)的通信拓?fù)涫菚r(shí)變或切換的[4]。

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)淝袚Q，Belykh等提出耦合根據(jù)一定概率進(jìn)行切換的閃爍網(wǎng)絡(luò)[5]，但其設(shè)定用于控制拓?fù)淝袚Q的切換信號(hào)通常過于迅速。對(duì)于現(xiàn)實(shí)中大部分多智能體系統(tǒng)，Liu等提出通信網(wǎng)絡(luò)切換過于迅速易縮短機(jī)器的使用壽命[6]。Liberson等提出切換網(wǎng)絡(luò)可能在速度較快的切換信號(hào)下無法保持穩(wěn)定[7]。因此，針對(duì)一階多智能體系統(tǒng)，研究人員開始研究通過限制切換信號(hào)轉(zhuǎn)換的速度來減慢系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞那袚Q速度。其中，Liu等研究拓?fù)淝袚Q下時(shí)延網(wǎng)絡(luò)的局部指數(shù)同步[8]，其通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涓鶕?jù)ADT信號(hào)進(jìn)行切換，但系統(tǒng)針對(duì)的是恒定耦合時(shí)延，在實(shí)際應(yīng)用中具有較大的局限性。

基于以上論述的啟發(fā)，本文主要考察在以下兩個(gè)約束條件下一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題：(1)ADT轉(zhuǎn)換規(guī)則下的受限有向切換信息交互網(wǎng)絡(luò)；(2)時(shí)變的信息交互時(shí)延。

1 動(dòng)力學(xué)模型

假定所研究的多智能體系統(tǒng)中包含智能體的 個(gè)智能體，本文只考慮一階積分器型時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，建立動(dòng)力學(xué)模型如下[9]

(1)

另外，d(t)表示時(shí)變時(shí)延，可定義為一種滿足以下條件的時(shí)變可微函數(shù)

(2)

其中，h>0且μ為常數(shù)。同時(shí)，令x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T，則多智能系統(tǒng)可寫成矩陣形式如下式所示

(3)

其中，Lσ為有限切換拓?fù)涞睦绽咕仃?。在建立一階帶自時(shí)延和有限切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)模型后，本文的目標(biāo)是分析多智能系統(tǒng)在具有ADT特性的切換拓?fù)湎?，達(dá)到指數(shù)一致性的充分條件。因此，需在此引入ADT的定義。

定義1 對(duì)于切換信號(hào)σ(t)和任意T2≥T1≥0，令Nσ(T1,T2)表示σ(t)在區(qū)間(T1,T2)內(nèi)切換的次數(shù)。若存在τa>0和整數(shù)N0≥0使得

(4)

則稱τa為ADT。通常規(guī)定N0=0。

2 一致性分析

2.1 狀態(tài)變換

為分析上述多智能體系統(tǒng)的指數(shù)一致性，本文對(duì)多智能體系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換如下

y(t)[y1(t),y2(t),…,yN-1(t)]，其中，矩陣E=[-1N-1,IN-1]∈R(N-1)×N。對(duì)于i=1，2，…,N-1，有yi(t)=xi+1(t)-x1(t)，則矩陣形式的多智能體系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下降階形式

(6)

其中，Πσ=-ELσF，F(xiàn)=[0N-1,IN-1]T∈RN×(N-1)。通過狀態(tài)變換(5)，向量y(t)∈R(N-1)可用于描述系統(tǒng)(1)中智能體間的差異。因此，經(jīng)轉(zhuǎn)換后的降階系統(tǒng)(6)可用來描述原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)差異，稱其為差異系統(tǒng)。

2.2 指數(shù)一致性分析

(7)

針對(duì)子系統(tǒng)(7)，構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函如下

(8)

其中

(9)

[yT(t)Qiy(t)-e-αhyT(t-h)Qiy(t-h)]

(10)

[μ-e-αh]yT(t-d(t))Riy(t-d(t))

(11)

(12)

綜合式(9)～式(12)，并結(jié)合詹森不等式，可得

其中

假設(shè)Φi<0，則有

(13)

對(duì)其積分可得

Vi(t)≤e-α(t-t0)Vi(t0),?i=M

(14)

針對(duì)整個(gè)系統(tǒng)(6)，構(gòu)造如下的分段Lyapunov-Krasovskii泛函

(15)

其中

假設(shè)存在β≥1，對(duì)于?i,j∈M有

Pi≤βPj,Qi≤βQj,Ri≤βRj,Zi≤βZj

(16)

則根據(jù)式(16)進(jìn)一步可得，對(duì)于切換時(shí)刻tj有

(17)

(18)

同時(shí)，由式(15)可得

a‖y(t)‖2≤Vσ(t)(t)

(19)

(20)

其中

結(jié)合式(18)～式(20)可得

(21)

即

(22)

定理1 考慮以σ(t)作為切換信號(hào)的受限切換拓?fù)湎碌亩嘀悄荏w系統(tǒng)(1)，其中σ(t)滿足式(4)，且時(shí)變時(shí)延d(t)滿足式(2)。令α>0、h>0及μ為給定標(biāo)量，若存在矩陣Pi>0、Qi>0、Ri>0、Zi>0，?i∈M，使得

定理1給出在線性矩陣不等式框架下，檢驗(yàn)受限切換拓?fù)湎乱浑A多智能體系統(tǒng)是否達(dá)到指數(shù)一致性的充分條件。其中，LMI形式下的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)有以下優(yōu)勢：(1)檢驗(yàn)過程中無需改變條件中的矩陣和(或)參數(shù)值；(2)通過LMI計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬能使已執(zhí)行問題得到有效驗(yàn)證。同時(shí)，在ADT滿足式時(shí)，可進(jìn)一步確定切換信號(hào)σ(t)使得多智能體系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)一致性。

此外，定理1所描述的指數(shù)一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則是基于系統(tǒng)存在時(shí)變時(shí)延的情況，因此條件更符合實(shí)際應(yīng)用的要求。同時(shí)，準(zhǔn)則中只要求d(t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)μ為已知量，因此均適用于擁有較快或較慢的時(shí)變時(shí)延信息交互的多智能體系統(tǒng)。然而，當(dāng)d(t)不可導(dǎo)或s(t)的導(dǎo)數(shù)未知時(shí)，定理1就會(huì)失效。此時(shí)，可調(diào)整并設(shè)計(jì)類似的檢驗(yàn)準(zhǔn)則來分析系統(tǒng)的指數(shù)一致性問題。

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Exponential Consensus of Multi-agent Systems with Time-varying Delay Under Constrained Switching Topologies

The consensus protocol is designed under constrained switching topologies orchestrated by switching signal with ADT property to addresses consensus problem of first order multi-agent systems (MASs). By introducing a state transformation, the problem is converted to the exponential stability problem of a reduced-order disagreement system. By constructing the piecewise Lyapunov-Krasovskii functionals, some sufficient conditions in the form of linear matrix inequality for exponential consensus are derived with the help of Jensen’s Inequality.

multi-agent system; exponential consensus; single-integrator; time-varying delay; constrained switching topology

2015- 12- 28

國家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練基金資助項(xiàng)目(201511846024)

梁志鵬(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.10.018

TP273+.5

A

1007-7820(2016)10-062-04