蘇紅芬

挖掘課本資源，演繹變式精彩
——加權(quán)平均數(shù)的延伸與拓展

蘇紅芬

在小學(xué)階段同學(xué)們就已經(jīng)學(xué)過計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的方法.設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，我們將叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù).平均數(shù)通?？梢杂脕肀硎疽唤M數(shù)據(jù)的“集中趨勢”.而有些實(shí)際問題用算術(shù)平均數(shù)不能解決問題，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)，我們把衡量各個(gè)數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán)，設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的權(quán)w1， w2，…，wn，我們將叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們對“權(quán)”的含義以及“權(quán)”對結(jié)果的影響理解起來往往比較困難，下面我們將結(jié)合蘇科版九年級(jí)上冊3.1平均數(shù)第二課時(shí)的例題進(jìn)行深入探究.

一、還原例題，變式應(yīng)用

問題11：為了解某市九年級(jí)學(xué)生開展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的情況，抽樣調(diào)查了該市200名九年級(jí)學(xué)生上學(xué)期參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的天數(shù)，并根據(jù)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

求這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù).

【解析】這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù)，不僅與參加活動(dòng)的天數(shù)有關(guān)，還與相應(yīng)的人數(shù)有關(guān)，人數(shù)10、30、60、50、50分別是天數(shù)2、3、4、5、6的權(quán)，因此正確的算4.5（天）.

【變式1】為了解某小區(qū)居民的日用電情況，居住在該小區(qū)的一名同學(xué)隨機(jī)抽查了15戶家庭的日用電量，結(jié)果如下表：

日用電量（千瓦/時(shí)）戶數(shù)6 5 5 2 7 4 8 3 10 1

求平均日用電量.

【解析】平均日用電量不僅與日用電量有關(guān)，還與戶數(shù)有關(guān)，戶數(shù)2、5、4、3、1分別是日用電量5、6、7、8、10的權(quán)，因此(千瓦/時(shí)）.

【變式2】為了考察東昌府區(qū)13歲男生的平均身高，從中隨機(jī)抽取了240人，測得他們的身高（單位：厘米）如下表所示：

140 141 142 143 144 145 146 147 148身高人數(shù)2 10 16 56 70 56 20 8 2

計(jì)算這個(gè)樣本的平均數(shù)（精確到1厘米），并由此估算出全區(qū)13歲男孩的平均身高.

【解析】這個(gè)樣本的平均數(shù)不僅與身高有關(guān)，還與人數(shù)有關(guān)，人數(shù)2、10、16、56、70、56、20、8、2分別是身高140、141、142、143、144、145、146、147、148的權(quán)，因此-x=144（厘米）.

問題2：某電視臺(tái)要招聘1名記者，甲、乙、丙三人應(yīng)聘參加了3項(xiàng)素質(zhì)測試，成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

（1）如果采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)的成績按5∶2∶3計(jì)算，那么三個(gè)人的素質(zhì)測試平均成績各為多少？

（2）如果采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)成績按4∶2∶4計(jì)算，那么哪個(gè)人的素質(zhì)測試平均成績高？

甲乙丙采訪寫作70 90 60計(jì)算機(jī)操作60 75 84創(chuàng)意設(shè)計(jì)86 51 78

【解析】采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作、創(chuàng)意設(shè)計(jì)的重要程度不一樣，（1）中5、2、3分別是這三項(xiàng)成績的權(quán)，因此

所以選乙.

（2）中4、2、4分別是這三項(xiàng)成績的權(quán)，因此

所以選甲.

通過（1）與（2）的辨析，再次感受到了權(quán)不同，數(shù)據(jù)的重要程度不同，結(jié)果也就不同.

【變式1】某報(bào)社在面試職員招聘中，甲、

乙、丙三人的各項(xiàng)得分如下表：

丙關(guān)能力86 83 83 79 93

（1）如果根據(jù)三項(xiàng)得分的平均數(shù)從高到低確定名次，那么三人的排名順序怎樣？

（2）如果你是主考官，報(bào)社需要招聘一名記者，該如何設(shè)計(jì)三個(gè)項(xiàng)目的比重？誰是最佳人選？

（3）如果你是主考官，報(bào)社需要招聘一名編輯，又該如何調(diào)整三個(gè)項(xiàng)目的比重？誰又是最佳人選？

甲的平均分

乙的平均分

丙的平均分

讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會(huì)和同學(xué)相互合作、學(xué)會(huì)分析問題，讓所有學(xué)生都可以快樂的學(xué)習(xí)。但根據(jù)現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)模式而言，知識(shí)主要是靠教師和書本來傳播的，效率低、方法單一，不利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。將現(xiàn)代信息技術(shù)帶到課堂，可以擴(kuò)大學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，使他們能高效快速地掌握更多的知識(shí)。例如，當(dāng)教師在講解“地球表面”一課時(shí)，教師可以帶學(xué)生去機(jī)房，通過圖片、視頻等方式能使學(xué)生主動(dòng)去接受這些知識(shí)，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

所以選丙.

如果報(bào)社要招聘的是一名編輯，那么對文字表達(dá)要求比較高，口頭表達(dá)和公關(guān)能力要求相對較弱，所以可以設(shè)計(jì)成文字表達(dá)、口頭表達(dá)、公關(guān)能力分別占50%、25%、25%，于是可以計(jì)算出：

甲的平均分

乙的平均分

丙的平均分

所以選乙.通過剛才三次計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)每一次的結(jié)果都發(fā)生了變化，權(quán)越大，對結(jié)果影響越大.那么在做決策時(shí)如何利用好“權(quán)”，可以按照各個(gè)項(xiàng)目的重要程度來確定比重，如果一個(gè)項(xiàng)目很重要，則分配“權(quán)”要多一些，“權(quán)”對決策起重要作用.

【變式2】某球隊(duì)欲挑選一名籃球新秀，現(xiàn)有3名候選人，教練對其進(jìn)行3項(xiàng)素質(zhì)測試，測試結(jié)果如下表所示.

（注：為了方便計(jì)算，每次籃板或助攻計(jì)1分）.

如果你是教練，你將以怎樣的方式選擇新秀？寫出你的方法并通過計(jì)算說明.

【解析】前鋒：對隊(duì)員的投籃能力要求較高，籃板和助攻次重要.中鋒：對隊(duì)員的籃板能力要求較高，投籃和助攻次重要.后衛(wèi)：對隊(duì)員的助攻能力要求較高，投籃和籃板次重要.作為教練，你想選擇的球員是哪個(gè)位置的？

（1）如果想選擇的是前鋒.投籃所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按6∶2∶2計(jì)算.

所以選乙.

（2）如果想選擇的是中鋒.籃板所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按2∶6∶2計(jì)算.

甲的得分=14.2（分），

乙的得分=14.4（分），

丙的得分=16.2（分）.

所以選丙.

（3）如果想選擇的是后衛(wèi).助攻所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按2∶2∶6計(jì)算.

甲的得分=14.2（分），

乙的得分=9.2（分），

丙的得分=11（分）.

所以選甲.

同學(xué)們通過解決這樣的實(shí)際問題，會(huì)進(jìn)一步體會(huì)加權(quán)平均數(shù)對于計(jì)算平均數(shù)的重要性，同時(shí)開放性問題將會(huì)給同學(xué)們提供更大的思維空間，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和方法，更進(jìn)一步了解“權(quán)”對于各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）