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        數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度知識梳理及典型問題

        2016-11-12 02:31:05薛飛
        初中生世界 2016年39期

        薛飛

        數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度知識梳理及典型問題

        薛飛

        《數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度》這一章中我們主要學習了體現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢的三種“數(shù)”——平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)以及體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度的兩種“差”——極差與方差.

        平均數(shù)分“算術平均數(shù)”與“加權平均數(shù)”,我們重點理解加權平均數(shù).加權平均數(shù)重在理解什么是“權”.課本中是這樣定義“權”的:一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關,而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關.我們把衡量各個數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫做“權”.

        例1學校食堂午餐供應3元、4元和5元三種價格的盒飯,根據(jù)食堂某月銷售午餐盒飯的統(tǒng)計圖,計算該月食堂銷售午餐盒飯的平均價格.

        【分析】這個題目給出的兩組數(shù)據(jù)分別是:①午餐盒飯的價格為3元、4元和5元;②不同價格的盒飯所占的比例.題目最后要求的是午餐盒飯的平均價格,也就是說第①組數(shù)據(jù)是題目研究的數(shù)據(jù)對象,第②組數(shù)據(jù)中盒飯所占的比例是“權”.

        解:該月食堂銷售午餐盒飯的平均價格為

        答:該月食堂銷售的午餐盒飯的平均價格為3.9元.

        求中位數(shù)的一般步驟:①把數(shù)據(jù)從小到大排列;②若該數(shù)據(jù)含有奇數(shù)個數(shù),位于中間位置的數(shù)是中位數(shù),若該數(shù)據(jù)含有偶數(shù)個數(shù),位于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).

        例2有奇數(shù)個數(shù)據(jù)10,20,80,40,30,90,50,40,50,40,60,求這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

        【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90,該數(shù)據(jù)含有奇數(shù)個數(shù),位于中間位置的數(shù)是中位數(shù),所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為40.

        例3一組數(shù)據(jù)分別為1,2,8,4,3,9,5,4,5,6,求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

        【分析】首先把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列1,2,3,4,4,5,5,6,8,9,該組數(shù)據(jù)共有10個,所以第5個和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)4.5為中位數(shù).

        【點評】中位數(shù)的求法一定要注意先排序,后根據(jù)總數(shù)的奇偶來找出中位數(shù),從例3中可以看出中位數(shù)4.5并不是原始數(shù)據(jù),所以中位數(shù)也不一定是原始數(shù)據(jù)中的一個.

        一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).眾數(shù)可以沒有,可以只有一個,也可以有多個.

        例3一次數(shù)學測驗后,老師將全班40名學生的成績整理后繪制成頻數(shù)分布直方圖,判斷下列命題正確的是.

        ①全班成績的中位數(shù)在84~96這一組;②全班成績的眾數(shù)在84~96這一組.

        【分析】命題①正確,命題②在判斷眾數(shù)的時候往往會掉入陷阱,看到84~96這一組最高,所以眾數(shù)確定就在這一組.舉個反例便知錯在哪里:84~96之間一共是12人,其中84分,85分,86分,87分各3人,而72~84這一組中的9人分數(shù)都是80分,顯然全班成績的眾數(shù)不在84~96這一組,所以這題正確的只有命題①.

        極差概念簡單,通俗地說就是最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差,反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍.

        例4某位射擊運動員射擊5次命中的環(huán)數(shù)分別為6,7,9,10,8,求極差.

        【分析】找出最大值和最小值即可,最大值為10環(huán),最小值為6環(huán),所以極差為10-6=4.

        描述一組數(shù)據(jù)的離散程度還有方差,方差的計算公式:

        例6為了從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽,現(xiàn)對他們的射擊成績進行了測試,5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下:甲:8,7,10,7,8;乙:9,5,10,9,7.

        (1)將下表填寫完整:

        平均數(shù)甲乙方差1 . 2 3 . 2極差3 8

        (2)根據(jù)以上信息,若你是教練,選擇誰參加射擊比賽,理由是什么?

        (3)若乙再射擊一次,命中8環(huán),則乙這6次射擊成績的方差會__________.(填變大或變小或不變)

        【分析】通過計算得出甲乙兩人的平均數(shù)都是8環(huán),但是甲的極差比乙小,更重要的是甲的方差也比乙小,方差越小越穩(wěn)定,所以教練會選擇發(fā)揮較為穩(wěn)定的甲參加比賽.第(3)問的解決需要用到方差的計算公式,原來5次射擊的方差是這樣計算的

        不難發(fā)現(xiàn)分子雖然增加了一項,但是分子的值并沒有變化,但是分母卻變大了,所以分子不變,分母變大,最終方差變小.

        (作者單位:江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學)

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