杜 鵑, 馮思臣, 譚仁俊

(成都理工大學 管理科學學院，成都 610059)

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復函數(shù)矩陣的向量及矩陣導數(shù)的性質

杜 鵑, 馮思臣, 譚仁俊

(成都理工大學 管理科學學院，成都 610059)

復函數(shù)已經(jīng)廣泛應用于自然科學各領域，有必要探討復函數(shù)矩陣的各種分析性質，特別是對向量與矩陣的導數(shù)的研究。本文以實函數(shù)矩陣性質為基礎，針對復函數(shù)矩陣的特征，引入復函數(shù)矩陣及其極限、連續(xù)性、導數(shù)、積分等概念或定義。以綜合類比與推理研究的方法，推導出復矩陣函數(shù)的逆、跡的導數(shù)的算法，尤其是復向量數(shù)量函數(shù)、復多元向量函數(shù)、復向量復合函數(shù)對向量的導數(shù)，以及復合復函數(shù)、復二次型的導數(shù)的性質；進一步揭示了復矩陣函數(shù)、復矩陣函數(shù)對矩陣的導數(shù)以及跡、行列式導數(shù)的重要性質，也得到了復矩陣函數(shù)、復向量矩陣函數(shù)的全微分的算法。研究結果表明復函數(shù)矩陣對向量與對矩陣的導數(shù)的算法雖然源于實函數(shù)矩陣的導數(shù)算法，但卻發(fā)展出非常多的、更廣泛的不同性質。

復向量；復矩陣；復函數(shù)矩陣；矩陣函數(shù)

1 預備知識

函數(shù)矩陣的性質在控制論、信息處理、圖像識別領域有著重要作用，相關結論都主要針對實變量的函數(shù)矩陣[1]；而復變量的函數(shù)矩陣有著重要性質。本文主要討論復變量的函數(shù)矩陣，給出函數(shù)矩陣解析性，以及對向量、矩陣變量的導數(shù)性質。下面的定義將實變量的函數(shù)矩陣性質拓寬到復函數(shù)矩陣。

定義1 若矩陣A=(aij(z))m×n，其中aij(z)是復函數(shù)，即

稱它為復函數(shù)矩陣[2,3]。

首先給與實函數(shù)有類似結果的復函數(shù)矩陣極限、連續(xù)、導數(shù)及積分等概念。

c. 若aij(z)在z=z0處可導或者在區(qū)域D上解析(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，則稱A(z)在z=z0處可導或在區(qū)域D上解析。記

定義2

c. 設矩陣H是以復矩陣Z∈Cm×n為自變量的s×t復多元函數(shù)矩陣[8]

hkq(Z)以Z=(zij)m×n的元素為變量的m×n元復函數(shù)，則定義

其中

d. 設H=(hij)m×n,hij=hij(Z), Z=(z1,z2,…,zn)Τ，

則H的全微分為dH=(dhij)m×n。

由于復變函數(shù)的解析性不同于實函數(shù)的可導性，因而使解析函數(shù)有廣泛的應用。以下主要給出復函數(shù)矩陣導數(shù)的結論。

引理1 復函數(shù)矩陣A(z),B(z)在D上解析，則

a. (A(z)+B(z))′=A′(z)+B′(z)。

b. (A(z)B(z))′=A′(z)B(z)+A(z)B′(z)。

c. (k(z)A(z))′=k(z)A′(z)+k′(z)A(z)[9]。 引理2 設A(z)是復函數(shù)矩陣，A(z)=(aij(z))n×n，

a. 若A(z)與A-1(z)都在區(qū)域D 上解析，則

證明

a. ∵A(z)A-1(z)=I，由復函數(shù)導數(shù)的性質得A′(z)A-1(z)+A(z)(A-1(z))′=0。

∴A(A-1(z))′=-A′(z)A-1(z),即

引理3 設復向量函數(shù)h(Z)=h(z1,z2,…,zn),f(Z)=f(z1,z2,…,zn), 其中Z=(z1,z2,…,zn)Τ, 則

證明b由定義2-a有

=(fz1h,fz2h,…,fznh)Τ+(fhz1+fhz2,…,fhzn)Τ

類似可得a、c。

2 主要結果

定理2 設A=(aij)n×n為復數(shù)矩陣，f(Z)=ZTAZ，其中Z=(z1,z2,…,zn)Τ，則

證明

=AZ+ATZ=(A+AT)Z

定理3W=f(Z)=(w1,w2,…,wn)Τ,Z=(z1,z2,…,zn)。

其中w1=f1(Z)=f1(z1,z2,…,zn);w2=f2(Z)=f2(z1,z2,…,zn); …;wn=fn(Z)=fn(z1,z2,…,zn)。 則

證明 由定義2-b。

定理4

證明

=((0,0,…,zj,0,…,0)AZ+?i列ZΤAΤ(0,0,…,0,zj,0,…,0)Τ)m×n?i列

=((zjai1,zjai2,…,zjain)(z1,z2,…,zn)Τ+ZΤ(zjai1,zjai2,…,zjaim)Τ)m×n

=2AZZΤ。

=(z1,z2,…,zn)Τ(z1,z2,…,zn)=ZZT。

定理5 設f(w)是函數(shù)向量w=(w1,w2,…,wn)Τ的函數(shù)，而wi=wi(Z)，其中

證明

推論

證明

證明 由定義2-c,

3 結 論

從上面的結論可以得出復函數(shù)矩陣的分析性質是實函數(shù)矩陣分析性質的進一步拓展，是由復函數(shù)與實函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系產(chǎn)生的。

復函數(shù)結合矩陣論，在現(xiàn)代許多科學領域都有著比它們各自單獨使用時更廣泛的應用。把這兩者有效地結合起來進行進一步的研究是一個新課題，在實函數(shù)矩陣論范圍內它將會有更多的新成果，這些方法和結果在實際應用中，會使得所需要的運算更加高效與快捷。

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Properties of derivative of complex functions matrix of vector and matrix

DU Juan, FENG Si-chen, TAN Ren-jun

CollegeofManagementScience,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China

Owing to wide application of complex function to most fields of nature sciences, it is necessary to discuss all the analysis properties of complex function matrix, especially the derivative of complex function to the vector variables and matrix variables. Based on the properties of real function matrix, combined with the characters of complex function matrix, the concepts of limits, continuity, derivative and integral are defined. Synthetic analogy and reasoning research are used to deduce the algorithms of derivative of the inverse and trace of complex matrix function, especially the derivative of complex vector quantity function, complex function of several vector variables, and complex vector compound function to vector and properties of derivative of compound complex function and complex quadratic form. Furthermore, the important properties of the derivative of complex matrix function, complex matrix function of complex matrix to matrix and the properties of the derivative of the trace are discovered. Also, the algorithms on the total differentiation of complex vector matrix function and complex matrix function are deduced. It proves that the derivative of complex function matrix to the vector and matrix origins from the derivative of real function matrix, it develops more and wider different properties.

complex vector; complex matrix; complex function matrix; matrix function

10.3969/j.issn.1671-9727.2016.05.15

1671-9727(2016)05-0635-06

2015-05-23。

國家自然科學基金項目(1047112); 四川省教育廳自然科學重點資助項目(08ZA114)。

杜鵑(1961-)，女，教授，主要研究方向:數(shù)值代數(shù), E-mail：dj4078@126.com。

O151.21

A